지금까지 배운 내용에 따라, 일차함수를 부정적분한 이차함수가 왜 선대칭함수인지, 이차함수를 부정적분한 삼차함수가 왜 점대칭함수인지, 왜 삼차함수의 변곡점(중심)의 위치에 따라 사차함수의 개형이 다양하게 나타나는지를 알 수 있습니다.
지금까지 배운 도함수의 정적분을 이용하여 삼차함수와 사차함수의 특별한 성질을 분석해봅시다.
삼차함수 (1) : 삼차함수에서 극점과 변곡점으로 등차수열 찾기
두 실근 $\alpha$, $\beta$ $\left( \alpha < \beta \right) $를 갖는 임의의 이차함수에 대하여 $\alpha$, `대칭축의 $x$좌표', $\beta$가 이 순서대로 등차수열을 이룬다는 점에 착안하여 $\beta = \alpha + 2d$라 두면 대칭축의 $x$좌표는 $\alpha+d$입니다. 이때 그림과 같이 $x=a$, $x=b$를 생각하여 넓이가 같은 세 영역을 생각할 수 있을 것입니다. 정적분을 이용하여 구하면 (계산 생략)
1 $a=\alpha - d$, $b=\alpha + 3d$입니다.
이를 도함수의 정적분으로 이해하면, 이 이차함수의 원시함수인 삼차함수 $f\left( x \right) $에 대하여 두 극점과 변곡점을 이용해 등차수열을 만들고, 이 등차수열을 좌우로 한 칸씩 확장하여 얻은 두 점이 각각 극점과 함숫값이 같은 점임을 알 수 있습니다.
삼차함수 (2) : 변곡점과 함숫값이 같은 점 찾기
이번에는 이차함수의 대칭축을 $k$라 두고 두 근을 $k-d$, $k+d$로 잡고, 그림과 같이 $x=m$, $x=n$을 생각하여 넓이가 같은 네 영역을 생각해봅시다. 정적분을 이용하여 구하면 (계산 생략)
2 $m=k-\sqrt{3}d$, $n=k+\sqrt{3}d$입니다.
이를 도함수의 정적분으로 이해하면, 이 이차함수의 원시함수인 삼차함수 $f\left( x \right) $에 대하여 두 극점과 변곡점을 이용해 등차수열을 만들고, 이 등차수열을 좌우로 한칸씩 확장한 것보다는 약간 못 미쳤을 때 얻는 두 점이 각각 변곡점과 함숫값이 같은 점임을 알 수 있습니다. 이 $1$과 $\sqrt3$의 비율 때문에 삼차함수 문제에서 $\sqrt3$이 자주 등장할 수밖에 없는 것입니다.
사차함수
사차함수의 세 극점의 $x$좌표가 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ($\alpha<\beta<\gamma$)일 때, 두 극솟값이 같으면 $\beta=\dfrac{\alpha+\gamma}{2}$인 이유를 알아봅시다. $f'\left( x \right) $의 세 근이 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$인데, 세 값이 등차수열을 이루지 않으면 $y=f'\left( x \right) $의 변곡점을 지나는 직선 $y=k$를 생각했을 때, 점대칭에 의해 $y=f'\left( x \right) $와 직선 $y=k$로 둘러싸인 두 영역의 넓이가 같으므로, 색칠된 두 영역의 넓이가 달라집니다. 그러면 두 극솟값이 같지 않으므로 조건에 위배됩니다. 세 값이 등차수열을 이루면 점대칭에 의해 두 영역의 넓이가 같으므로 두 극솟값이 같습니다.
사차함수가 쉼점인 변곡점을 가질 때, `극점의 $x$좌표', `다른 변곡점의 $x$좌표', `쉼점과 함숫값이 같은 점의 $x$좌표'를 간단하게 나타내봅시다. (b)와 같이 쉼점의 $x$좌표를 $a$라 하면 $f'\left( x \right) = \left( x-a \right)^2 \left( x-b \right) $입니다. 이때 삼차함수의 성질을 이용하기 위해 $b=a+3d$라 하면 삼차함수의 극소점의 $x$좌표가 $a+2d$임을 알 수 있습니다.
한편 (a)에서 색칠된 두 영역의 넓이가 같도록 하는 $c$값을 정적분을 이용하여 구하면 $c=a+4d$이므로, 사차함수가 $x=c$에서 쉼점에서와 같은 함숫값을 갖습니다. 이를 모두 정리하면 (b)와 같이 $x=a$에서 사차함수가 변곡점인 쉼점을 갖고, $x=a+2d$에서 변곡하고, $x=a+3d$에서 극소이고, $x=a+4d$에서 쉼점과 동일한 함숫값을 같습니다.
