Calculus) 함수의 분석과 미적분 > 미적분의 융합과 그래프 그리기
함수의 그래프를 그리는 방법
기본적인 방법
지금까지 배운 내용을 총정리하여 함수의 그래프를 그리는 기본적인 방법을 알아봅시다.정의역을 확인하고, 극한을 통해 점근선을 확인한다.
문제의 조건이나 주어진 식의 형태를 통해 정의역을 확인하여 함수가 그려지는 가로범위를 알아봅니다. 특히 조각함수의 경우 정의역의 범위에 따라 함수식이 달라지므로 유의합니다. 한편 $\lim_{x \to \infty}f\left( x \right) $와 $\lim_{x \to -\infty}f\left( x \right) $를 통해 함숫값의 부호나 가로점근선의 유무를 확인해보아야 합니다.치역의 양상을 체크하고, 극한을 통해 점근선을 확인한다.
정의역에 제한이 생겼을 때, 그 제한이 생긴 곳 주변에서의 극한을 이용해 치역의 양상과 세로 점근선의 유무를 확인해보아야 합니다. 예를 들면, $\OOI{-\infty}{0}$과 $\OOI{0}{\infty}$에서 정의된 함수 $f\left( x \right) $에 대하여 $\lim_{x \to 0+}f\left( x \right) $와 $\lim_{x \to 0-}f\left( x \right) $를 확인하는 것입니다.대칭성과 주기성이 있는지, 있다면 어떠한지를 확인한다.
대칭성이 있다면 정의역의 반만 그려도 전체를 다 그릴 수 있고, 주기성이 있다면 한 주기만 그리면 전체를 다 그릴 수 있으며, 대칭성과 주기성이 모두 있는 경우 주기의 반만 그려도 전체를 다 그릴 수도 있습니다. 대칭성과 주기성이 있는 것으로 추측될 때는 판정하여 찾아줍니다.도함수를 이용하여 증감성과 극점을 확인한다.
도함수를 이용하여 원함수의 증감성과 극점을 확인하여 마무리합니다.가능하다면 다항함수의 성질을 이용한다.
앞서 다룬 이차함수, 삼차함수, 사차함수에서 나타나는 등차수열의 관계를 이용하면 그래프를 보다 쉽게 그릴 수 있습니다.더하기함수와 빼기함수의 그래프를 개략적으로 그리는 방법
두 함수 $f$, $g$에 대하여 덧셈과 뺄셈을 이용해 만들어낸 두 함수 $f+g$, $f-g$를 각각 더하기함수, 빼기함수라 부르기로 합시다.1곱하기함수와 나누기함수도 생각할 수 있지만, 미적분 전용이므로 본 책에서 다루지 않습니다. $f$, $g$, $f'$, $g'$에 대한 정보를 알고 있을 때 각각의 함수의 그래프를 개략적으로 그리는 방법을 알아봅시다.빼기함수 $f\left( x \right) - g\left( x \right) $
더하기함수 $f\left( x \right) + g\left( x \right) $
빼기함수로 생각하기
$f\left( x \right) + g\left( x \right) = f\left( x \right) - \left\{- g\left( x \right) \right\} $로 생각하면 $f\left( x \right) $와 $-g\left( x \right) $의 빼기함수로 생각할 수 있습니다. 그러면 먼저 $y=g\left( x \right) $를 $x$축에 대하여 대칭이동하여 $y=-g\left( x \right) $를 그린 뒤, 빼기함수를 그리는 방법을 이용해 더하기함수를 그릴 수 있습니다.더하여 생각하기
