미분계수에 대하여

미분계수 존재의 기하학적 의미

미분계수가 존재한다는 것은 극한 $\lim_{h \to 0}\dfrac{f\left( a+h \right) -f\left( a \right) }{h}$가 수렴한다는 것과 동치입니다. 그런데 이 극한이 수렴한다는 것은 좌극한과 우극한인 \[\begin{align*} \lim_{h \to 0-}\dfrac{f\left( a+h \right) -f\left( a \right) }{h}\cdots\text{①}\quad \lim_{h \to 0+}\dfrac{f\left( a+h \right) -f\left( a \right) }{h}\cdots\text{②} \end{align*}\] 가 각각 존재하고, 그 값이 서로 같다는 의미입니다.

이때 ①은 (a)와 같이 한 점 $\xy[A]{a}{f\left( a \right) }$보다 $x$좌표가 작은 $y=f\left( x \right) $ 위의 점 $\mrm{B}$를 잡고, $\mrm{B}$가 $\mrm{A}$로 다가갈 때 할선 $\mrm{AB}$의 기울기가 어떻게 변화하는지를 조사하는 것입니다. 마찬가지로 ②는 (b)와 같이 한 점 $\mrm{A}$보다 $x$좌표가 큰 $y=f\left( x \right) $ 위의 점 $\mrm{C}$를 잡고, $\mrm{C}$가 $\mrm{A}$로 다가갈 때 할선 $\mrm{AC}$의 기울기가 어떻게 변화하는지를 조사하는 것입니다.

미분계수가 존재한다면 ①과 ②가 모두 같은 값 $k$로 수렴할 것이므로, ①에서 할선 $\mrm{AB}$의 기울기의 극한은 $k$이고, ②에서 할선 $\mrm{AC}$의 기울기의 극한은 $k$입니다. 즉 `미분계수의 존재'가 기하학적으로 의미하는 바는, 한 점 $\mrm{A}$를 기준으로 왼쪽 할선의 기울기(왼쪽 기울기)와 오른쪽 할선의 기울기(오른쪽 기울기)를 생각할 때, 왼쪽 기울기와 오른쪽 기울기가 서로 동일한 값으로 수렴한다는 의미입니다. 따라서 다음과 같이 생각할 수 있습니다.

$\lim_{x \to a}f'\left( x \right)$와 $f'\left( a \right) $의 차이

도함수의 극한인 $\lim_{x \to a}f'\left( x \right)$의 기하학적 의미는 교육과정에서 직접적으로 가르치는 내용이 아닙니다. 그러나 극한도 배웠고 도함수도 배웠는데 이를 생각하지 않는 것은 오히려 부자연스럽습니다. 오히려 이를 다루지 않음으로 인해 실제로 많은 학생들이 도함수의 극한을 생각하므로, 한번 다뤄봅시다. 위의 QR코드를 스마트기기로 스캔하면 나오는 영상에서 볼 수 있듯이, 왼쪽 기울기와 도함수의 좌극한은 전혀 다른 의미를 가지고 있습니다. 왼쪽 기울기는 점 $\mrm{A}$가 고정점으로 움직이지 않는 상태에서 왼쪽 할선이 $\mrm{A}$에 근접할 때 할선의 기울기의 변화를 관찰하는 것입니다. 반면 도함수의 좌극한은 곡선 위의 점 $\mrm{P}$를 잡고, 그 점 $\mrm{P}$가 고정점이 되어 각각 미분계수를 확정한 후, 그 확정된 미분계수값들이 어떻게 변화하는지를 관찰하는 것입니다. 이는 오른쪽 기울기와 도함수의 우극한에서도 마찬가지입니다.

일반적으로 우리가 떠올릴 수 있는 함수들에서는 둘의 차이를 느끼기가 어렵습니다. 그냥 어차피 똑같이 접선으로 수렴하는 것이 아니냐고 생각할 수 있습니다. 그러나 영상에서 볼 수 있듯이, 그 함수가 등장하면 둘의 차이는 매우 명확해집니다. 다음과 같은 함수를 생각해봅시다. \[\begin{align*} f\left( x \right) = \begin{cases} x^2 \sin \dfrac{1}{x} & \left( x \ne 0 \right) \\ 0 & \left( x=0 \right) \end{cases} \end{align*}\] 이 함수의 그래프를 그리면 다음과 같습니다.

이 함수는 미분계수의 정의를 수식으로 직접 계산해도 $f'\left( 0 \right) =0 $을 얻고, 기하학적으로 관찰해도 왼쪽 기울기와 오른쪽 기울기가 점점 $0$으로 다가가므로 $f'\left( 0 \right) =0$임을 납득할 수 있습니다.

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그런데 도함수를 구해보면 $x\ne0$일 때 $f'\left( x \right) = 2x\sin\dfrac{1}{x} - \cos\dfrac{1}{x}$이므로¹미적분을 선택하지 않았다면 도함수식은 증명없이 받아들이고 넘어가기로 합니다. $x \to 0-$일 때에도 $x \to 0+$일 때에도 수렴하지 않고, 최소 $-1$과 최대 $1$ 사이의 값을 계속 바꾸어가며 도함숫값을 가집니다. 실제로 그래프를 따라 각 점에서의 접선을 생각하면 기울기가 $-1$과 $1$ 사이에서 급격하게 요동치는 것을 알 수 있습니다.²본문에는 접선의 기울기가 $-1$과 $1$ 사이라고 설명되어 있는데, 그림에서는 왜 직선의 기울기가 매우 크거나 매우 작게 나타나는지 의문이 들 수 있습니다. 이는 $y=x^2\sin\dfrac{1}{x}$의 그래프를 그리면 그림이 너무 촘촘하여 잘 보이지 않아서, 그래프의 특징이 잘 드러나도록 상하로 신축한 $y=kx^2\sin\dfrac{1}{x}$을 표현했기 때문입니다. 그래서 그림 상에서는 기울기가 $k$배된 $k$, $-k$로 나타납니다.

이러한 예외가 있기 때문에, 도함수는 구간 내에서 전환점이 없이 하나의 함수식으로 표현될 때에만 사용하는 것이 좋습니다. 그 함수조차도 모든 점에서 접선이 요동치는 현상이 발생했던 것이 아니라, 전환점인 $x=0$ 부근에서만 발생했던 것입니다. $x=0$을 포함하지 않는 구간(이를테면 $\OOI{1}{2}$)에서는 그러한 현상이 없었습니다.

그렇지만 포기하기에는 너무 아쉬운 도함수의 극한

도함수의 극한은 오류의 위험이 있으므로, 도함수의 극한을 쓰지 않고 미분계수의 정의를 활용해야 하는 이유를 배웠습니다. 이상적으로는 미분가능성을 묻는 문제에 대해 즉각적으로 미분계수의 정의를 쓰면 될 것입니다.

그러나 현실적으로는 도함수의 극한을 완전히 버리기에는 아쉽습니다. 미분계수의 정의는 상대적으로 `불편한 계산'이라 느껴지지만, 도함수를 구하는 미분법과 그 이후 극한을 취하는 것은 상대적으로 `편하고 익숙한 계산'이기 때문입니다. 게다가 도함수의 극한을 썼을 때 틀리도록 출제된 문항이 지금까지 모의평가와 수능에서 나온 적이 없어서, 일각에서는 이러한 주제를 다루는 것 자체가 수능에 적합하지 않다고 주장하기도 합니다.³다만 수험생 입장에서 이러한 주장은 조심할 필요가 있습니다. 17학년도 이후 당시 유명 인강강사들이 `절대 나올 수 없다'고 주장하던 주제들이 속속 모의평가/수능에 출제된 역사가 있기 때문입니다.

그래서 맑은개념에서는 `도함수의 극한에서 장점만 취하고 단점은 피할 수 있는 프로세스'를 제시하겠습니다 다만 `미분가능성은 미분계수의 정의로 판단하는 것이 원칙'임을 꼭 명심해야 합니다.

도함수의 극한을 현명하게 사용하는 프로세스

우리는 다음을 교육과정 내의 내용만으로 논리적으로 다음의 명제를 증명할 수 있습니다. $x>a$인 경우를 먼저 증명하면, $x<a$인 경우도 같은 방법으로 증명할 수 있다. $x>a$일 때, 평균값 정리에 의하여 다음을 만족하는 실수 $c$가 구간 $\OOI{a}{x}$에 적어도 하나 존재한다. \[\begin{align*} \dfrac{f\left( x \right) -f\left( a \right) }{x-a} = f'\left( c \right) \end{align*}\] 양변에 $\lim_{x \to a+}$를 취하면 $x \to a+$일 때 $c \to a+$이므로 다음이 성립한다. \[\begin{align*} \text{(좌변)} &= \lim_{x \to a+} \dfrac{f\left( x \right) -f\left( a \right) }{x-a} = f'\left( a \right) \\ \text{(우변)} &= \lim_{x \to a+} f'\left( c \right) = \lim_{c \to a+} f'\left( c \right) = k \end{align*}\] 따라서 $f'\left( a \right) = k$이다.

이 명제가 말하는 내용은 `도함수의 극한이 존재하면 그 값은 미분계수'입니다.<sup>4</sup>달리 말하면 `도함수가 수렴하면 연속이다'고 말할 수도 있습니다. 이는 교육과정에서는 강조되지 않지만, 사실 도함수의 정체는 `사잇값 성질을 갖는 함수(다르부 함수)'인데, 이를 다르부 정리라 합니다. 다르부 정리를 증명 없이 참으로 받아들이면 본문의 정리는 곧바로 유도됩니다. 따라서 도함수 $f'\left( x \right) $를 구한 뒤, $f'\left( x \right) $가 $x=a$에서 수렴하는 것으로 예상된다면 극한값을 구한 뒤 그 값을 미분계수라 말할 수 있습니다. 수렴하지 않으면 다시 원칙으로 돌아가 미분계수의 정의를 통해 미분계수를 구할 수 있습니다. 아래 예제를 풀이하며 배운 프로세스를 적용해봅시다. ⁵답지에는 미분계수의 정의를 제시하였으니, 미분계수 풀이와 비교해보시기 바랍니다.

미분가능하면 연속이므로, 연속조건에 의해 $a+3=2+b$를 얻습니다. 한편 $g$를 미분하면 $g'\left( x \right) = \begin{cases} 2ax & \left( x<1 \right) \\ 2 & \left( x > 1 \right) \end{cases} $이므로⁶$x\ge1$에서 미분하는 과정에서 구간의 끝인 $x=1$은 도함수의 정의역에서 제외됩니다. $g'\left( x \right) $에 $x=1$을 대입할 수는 없지만, 대신 $g$가 미분가능하므로 프로세스를 적용할 수 있습니다. \[\begin{alignat*}{2} \lim_{x \to 1-}g'\left( x \right) &=\lim_{x \to 1-}2ax&&= 2a \\ \lim_{x \to 1+}g'\left( x \right) &=\lim_{x \to 1-}2 && = 2 \end{alignat*}\] 도함수가 연속이므로 두 극한값이 같아 $a=1$입니다. 따라서 $b=2$이고 $a+b=3$입니다.

앞서 언급한 그 함수에도 이 프로세스를 적용해봅시다. $\lim_{x \to 0+} \left( 2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x} \right) $가 존재하지 않으므로,⁷$\lim_{x \to 0} 2x \sin \frac{1}{x}=0$이지만 $\lim_{x \to 0}f\left( x \right) \cos \frac{1}{x}$은 발산합니다. 원칙으로 돌아가 미분계수의 정의를 사용하여 $x=0$에서의 미분계수가 $0$임을 계산할 수 있습니다. (계산 생략)

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1. 1. 미적분을 선택하지 않았다면 도함수식은 증명없이 받아들이고 넘어가기로 합니다.
2. 2. 본문에는 접선의 기울기가 $-1$과 $1$ 사이라고 설명되어 있는데, 그림에서는 왜 직선의 기울기가 매우 크거나 매우 작게 나타나는지 의문이 들 수 있습니다. 이는 $y=x^2\sin\dfrac{1}{x}$의 그래프를 그리면 그림이 너무 촘촘하여 잘 보이지 않아서, 그래프의 특징이 잘 드러나도록 상하로 신축한 $y=kx^2\sin\dfrac{1}{x}$을 표현했기 때문입니다. 그래서 그림 상에서는 기울기가 $k$배된 $k$, $-k$로 나타납니다.
3. 3. 다만 수험생 입장에서 이러한 주장은 조심할 필요가 있습니다. 17학년도 이후 당시 유명 인강강사들이 `절대 나올 수 없다'고 주장하던 주제들이 속속 모의평가/수능에 출제된 역사가 있기 때문입니다.
4. 4. 달리 말하면 `도함수가 수렴하면 연속이다'고 말할 수도 있습니다. 이는 교육과정에서는 강조되지 않지만, 사실 도함수의 정체는 `사잇값 성질을 갖는 함수(다르부 함수)'인데, 이를 다르부 정리라 합니다. 다르부 정리를 증명 없이 참으로 받아들이면 본문의 정리는 곧바로 유도됩니다.
5. 5. 답지에는 미분계수의 정의를 제시하였으니, 미분계수 풀이와 비교해보시기 바랍니다.
6. 6. $x\ge1$에서 미분하는 과정에서 구간의 끝인 $x=1$은 도함수의 정의역에서 제외됩니다.
7. 7. $\lim_{x \to 0} 2x \sin \frac{1}{x}=0$이지만 $\lim_{x \to 0}f\left( x \right) \cos \frac{1}{x}$은 발산합니다.