Calculus) 함수의 분석과 미적분 > 미분계수, 적분, 물리학

섹션 2

\mychapter수학 II 적분의 모든 것

적분은 계산이다

적분은 `미분법의 역'으로 정의되었고, 미분법은 도함수를 찾아내는 계산의 방법이었습니다. 즉 적분은 수학 II에서는 다항함수의 적분만을 다루므로, 다양한 테크닉보다는 적분 계산 실력을 높이는 것이 가장 중요합니다.1사실 수학 II에는 이렇다 할 테크닉이 없고,미적분 선택자들의 선택과목에서만 테크닉이라 부를 만한 내용들을 다룹니다. 미분법을 뒤집어 얻은 \[\begin{align*} \int_{}^{}x^n dx = \dfrac{1}{n+1}x^{n+1} +C\quad \text{(단, $C$는 적분상수)} \end{align*}\] 을 실수 없이 빠르게 구사하는 것이 이 단원의 처음이자 끝이라 할 수 있습니다.

계산단축의 도구들

대칭성과 정적분

Basic 1)에서 배웠듯이 홀수차수 다항함수는 홀함수임을, 짝수차수 다항함수는 짝함수임을 적극적으로 활용한다면 정적분의 계산량을 대폭 줄일 수 있을 것입니다.
이는 선대칭함수와 점대칭함수의 정적분에서도 마찬가지입니다. 대칭성에 의해 넓이가 같은 부분들을 찾으면 계산을 단축할 수 있습니다.

평행이동과 정적분

평행이동에 의해 다음이 성립합니다. \[\begin{align*} \int_{a}^{b}f\left( x \right) dx = \int_{a+c}^{b+c}f\left( x-c \right) dx =\int_{a-d}^{b-d}f\left( x+d \right) dx \end{align*}\]

그 밖의 여러가지 정적분

Graph 단원에서 다룬 여러가지 상황에서의 정적분을 문제풀이에 필요할 때마다 적절히 이용하면 계산을 단축할 수 있습니다.

정적분과 적분변수

변수만 다른 두 정적분

$\int_{a}^{b}f\left( x \right) dx$의 값은 $\int_{a}^{b}f\left( t \right) dt$의 값과 같습니다. 이는 기하학적으로 두 식이 나타내는 넓이가 동일하기 때문이고, 실제로 수식으로 계산하여도 동일한 값을 얻습니다.

달리 말하면, $x$와 $t$는 함수 $f$가 나타내는 정의역과 치역이 맺고 있는 관계($y=f\left( x \right) $ 또는 $y=f\left( t \right) $)를 나타내기 위하여 도입된 징검다리2그래서 영어로는 dummy variable이라는 용어를 쓰기도 합니다.입니다. 그러니 이 관계를 드러내는 그래프가 $xy$좌표평면에 그려진 모습과 $ty$좌표평면에 그려진 모습은 서로 동일합니다. 그래서 정적분 값도 동일합니다.

정적분을 $x$에 대한 함수로 나타낼 때 적분변수를 $t$로 쓰는 이유

정적분을 처음 배우는 학생들이 $a$부터 $x$까지 함수 $f$의 정적분을 표현하기 위한 의도로 $\int_{a}^{x}f\left( x \right)dx $라 표현하는 경우가 있는데, 이러한 표현은 피하는 것이 좋습니다.정적분에서 피적분함수--적분변수--위끝이 서로 꼬이는 현상이 발생하기 때문입니다. 예를 들어 주어진 식에 $x=2$, $x=b$를 대입하면 각각 $\int_{a}^{2}f\left( 2 \right) d2$, $\int_{a}^{b}f\left( b \right) db$가 되는데, 이러한 식에서 본래 의도했던 것은 피적분함수와 적분변수는 그대로 둔 채 위끝에만 대입한 $\int_{a}^{2}f\left( x \right) dx$, $\int_{a}^{b}f\left( x \right) dx$이었을 것입니다.3그럼에도 불구하고, 이런 혼동 없이 피적분함수는 피적분함수대로, 위끝은 위끝대로 각각 독립적으로 생각하면 이런 표현을 쓰는 것이 불가능한 것은 아닙니다. 실제로 지학사 수학 II 149p에서는 $\int_{t_0}^{t}v\left( t \right)dt$라는 표현을 사용하고 있습니다. 그렇다고 하더라도, 되도록 이런 표현은 지양하는 것이 좋습니다.
이와 같은 문제를 해결하기 위해서는 피적분함수의 독립변수와 정적분의 적분변수를 또다른 변수 $t$로 바꾸면 됩니다.4함수를 배울 때 일부러 독립변수라는 표현을 쓰지 않았지만, 함수의 독립변수가 가질 수 있는 값의 집합이 `정의역'입니다. 참고로 함수의 종속변수가 가질 수 있는 값의 집합은 `치역'이 됩니다. $\int_{a}^{x}f\left( t \right)dt $라 나타내면 `$t=a$, $t=x$, $y=f\left( t \right) $ 및 $t$축으로 둘러싸인 구간넓이'도 무리없이 정의되고, $x$가 변함에 따라 위끝 $x$만 바뀔 뿐 $y=f\left( t \right) $에는 아무런 영향이 없으므로 매우 자연스럽습니다. 이때 함수 $F(x)=\int_{a}^{x}f\left( t \right)dt $는 위끝인 $x$의 값에 따라 유일한 값이 잘 정의되므로 $x$에 대한 함수입니다. 예를 들어 $x=2$, $x=b$를 대입하면 각각 $F\left( 2 \right) =\int_{a}^{2}f\left( t \right) dt$, $F\left( b \right) =\int_{a}^{b}f\left( t \right) dt$이 됩니다.
  1. 1. 사실 수학 II에는 이렇다 할 테크닉이 없고,미적분 선택자들의 선택과목에서만 테크닉이라 부를 만한 내용들을 다룹니다.
  2. 2. 그래서 영어로는 dummy variable이라는 용어를 쓰기도 합니다.
  3. 3. 그럼에도 불구하고, 이런 혼동 없이 피적분함수는 피적분함수대로, 위끝은 위끝대로 각각 독립적으로 생각하면 이런 표현을 쓰는 것이 불가능한 것은 아닙니다. 실제로 지학사 수학 II 149p에서는 $\int_{t_0}^{t}v\left( t \right)dt$라는 표현을 사용하고 있습니다. 그렇다고 하더라도, 되도록 이런 표현은 지양하는 것이 좋습니다.
  4. 4. 함수를 배울 때 일부러 독립변수라는 표현을 쓰지 않았지만, 함수의 독립변수가 가질 수 있는 값의 집합이 `정의역'입니다. 참고로 함수의 종속변수가 가질 수 있는 값의 집합은 `치역'이 됩니다.