물리학(위치, 속도, 가속도, 거리)

물리학이라 부르는 이유

수학 II에서는 수직선 위를 움직이는 점의 위치, 속도, 가속도, 거리를 다루고 있고, 미적분에서는 좌표평면 위를 움직이는 점의 위치, 속도, 가속도, 거리를 다루고 있습니다. 이는 사실 수학이라기보다는 물리학에 가까운 내용인데, 미적분을 적용하기에 아주 적절한 상황이기에 수학 교과서에서 물리학의 기본을 다루는 것입니다. 이러한 이유에서, 이 책에서는 위치, 속도, 가속도, 거리를 `물리학'이라 칭합니다.

수직선 위에서의 운동

위치, 평균속도, 순간속도

수직선 위를 움직이는 점 $\mrm{P}$의 시각 $t$에서의 수직선에서의 위치를 $s\left( t \right) $라 합시다. 위치는 시각 $t$에 대한 함수이므로 위치함수라 부를 수 있습니다. 위치함수 $s\left( t \right) $가 $t=a$에서 $t=b$까지 변할 때의 평균변화율을 수직선에서의 평균속도라 부르기로 합시다. 한편 위치함수의 시각 $t=a$에서의 순간변화율인 $s'\left( a \right) $를 평면에서의 순간속도라 합니다.

즉 위치, 평균속도, 순간속도는 함수 $f$의 평균변화율과 순간변화율을 수직선 위에서의 운동에 그대로 대응시킨 것입니다.

속도, 가속도의 정의와 위치, 속도, 가속도의 관계

한편 위치함수의 도함수를 속도함수 또는 수직선에서의 속도라 하며, $v\left( t \right) $라 표기합니다. 또한 속도함수의 도함수를 가속도함수 또는 수직선에서의 가속도라 하며, $a\left( t \right) $라 표기합니다. 위치함수, 속도함수, 가속도함수를 부를 때 편의상 `함수'를 떼고 위치, 속도, 가속도라 부릅니다.

정의에 따라 위치의 도함수는 속도이고, 속도의 도함수는 가속도이므로 $s'\left( t \right) =v\left( t \right) $, $v'\left( t \right) =a\left( t \right) $가 성립합니다.¹자연스럽게 $v'=\left( s' \right)' = s''$이라는 표현을 생각할 수 있을 것입니다. 실제로 미적분에서는 $f''$과 같은 표현을 배우고 사용하며, 이러한 개념을 이계도함수라 합니다. 역으로 $\int_{}^{}a\left( t \right) dt = v\left( t \right) +C$, $\int_{}^{}v\left( t \right) dt = s\left( t \right) + C$ (단, $C$는 적분상수)가 성립합니다.

즉 위치와 속도의 관계는 원함수와 도함수 관계, 속도와 가속도의 관계는 원함수와 도함수의 관계임을 알 수 있습니다.

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속도-위치 관계는 도함수-원함수 관계와 같다

$v\left( t \right) >0$이면 위치가 증가하고, $v\left( t \right) <0$이면 위치가 감소합니다. 위치의 증가는 곧 수직선 위에서의 점 $\mrm{P}$의 위치가 양의 방향(오른쪽)을 향해 이동한다는 의미이고, 위치의 감소는 곧 수직선 위의 점 $\mrm{P}$의 위치가 음의 방향(왼쪽)을 향해 이동한다는 의미이므로, 속도의 부호는 곧 점 $\mrm{P}$의 이동방향을 나타냅니다.

점 $\mrm{P}$의 시각 $t=t_1$에서의 위치 $s\left( t_1 \right)$을 알고 점 $\mrm{P}$의 속도를 알 때, 점 $\mrm{P}$의 시각 $t=t_2$에서의 위치는 $s\left( t_1 \right) + \int_{t_1}^{t_2}v\left( t \right) dt$입니다. 이는 처음 위치가 $s\left( t_1 \right) $이었고, 그 이후 $t=t_1$부터 $t=t_2$ 사이에 일어난 위치의 변화를 모두 누적한 값인 $\int_{t_1}^{t_2}v\left( t \right) dt$를 더하는 것이라 생각할 수 있습니다.

이때 (a)와 같이 $v\left( t \right) >0$인 구간에서는 $\mrm{P}$가 오른쪽으로 움직이고, $v\left( t \right) <0$인 구간에서는 $\mrm{P}$가 왼쪽으로 움직입니다. (b)와 같이 각 구간에서의 $v\left( t \right) $의 정적분값이 각각 $3$, $-1$, $2$일 때, $\int_{t_1}^{t_2}v\left( t \right) dt = 3 + (-1) + 2 = 4$입니다.

속력의 정의, 속력과 이동 거리의 관계

수직선에서의 이동 거리 속도의 값에서 부호를 떼낸 값, 즉 속도함수에 절댓값을 취한 $\abs{v\left( t \right) }$은 `위치의 변화가 얼마나 급격한지', 즉 점 $\mrm{P}$가 얼마나 빠르게 움직이는지를 나타냅니다. 이를 속력이라 합니다. ">