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생략된 증명
연속함수의 증감성과 극점
연속함수 $f\left( x \right) $에 대하여 $f\left( x \right) $가 $x=a$에서 증감성이 바뀌면 $\xy{a}{f\left( a \right) }$가 극점이다.
극대일 때에만 증명하면, 극소일 때에는 같은 방법을 이용하여 증명할 수 있다. 연속함수 $f(x)$가 $\CCI{p}{a}$에서 증가하고 $\CCI{a}{q}$에서 감소한다고 가정하자. 증가의 정의에 의하여 $p<x_1<a$인 임의의 실수 $x_1$에 대하여 $f(x_1)\le f(a)$이고, 감소의 정의에 의하여 $a<x_2<q$인 임의의 실수 $x_2$에 대하여 $f(x_2)\le f(a) $이다. 따라서 $x=a$를 포함하는 열린구간 $\OOI{x_1}{x_2}$에 속하는 모든 $x$에 대하여 $f(x)\leq f(a)$이다. 그러므로 $\xy{a}{f\left( a \right) }$는 극대점이다.
이계도함수를 갖는 함수의 증감성과 극점
이계도함수를 갖는 함수 $f\left( x \right) $에 대하여 $f'\left( a \right) =0$이고 $f''\left( a \right) \ne 0$이면 $\xy{a}{f\left( a \right) }$는 극점이다.
$f$가 이계도함수를 가지므로 $f'$는 미분가능하다. $f'$가 미분가능하므로 $f'$은 연속이다.
$f'\left( a \right) =0$이고 $f''\left( a \right)>0 $이면 $x=a$를 포함한 어떤 열린구간에서 도함수가 증가한다. 그러면 $x=a$에서 도함수의 부호는 $(-)$에서 $(+)$로 바뀌며, 원함수는 $x=a$에서 극소이다.
마찬가지로 $f'\left( a \right) =0$이고 $f''\left( a \right)<0 $이면 $x=a$를 포함한 어떤 열린구간에서 도함수가 감소한다다. 그러면 $x=a$에서 도함수의 부호는 $(+)$에서 $(-)$로 바뀌며, 원함수는 $x=a$에서 극대이다.
수식으로 다루는 홀짝성
홀짝성과 실수배
실수 $k$, 홀함수 $f$, 짝함수 $g$에 대하여
$f$, $g$는 모든 실수 $x$에 대하여 각각 다음을 만족시킨다.
\[\begin{align*}
f\left( x \right) &= -f\left( -x \right) \\
g\left( x \right) &= g\left( -x \right)
\end{align*}\]
$kf=h$, $kg=i$라 두고, 각 변에 $k$를 곱하면 다음을 얻는다.
\[\begin{align*}
h\left( x \right) &= -h\left( -x \right) \\
i\left( x \right) &= i\left( -x \right)
\end{align*}\]
- $kf$는 홀함수이다.
- $kg$는 짝함수이다.
홀짝성이 같은 함수끼리의 합, 차
- 수열 $\left\{ a_n \right\} $과 $n$개의 홀함수 $f_1$, $f_2$, $f_3$, $\cdots$, $f_n$에 대하여,
함수 $g\left( x \right) = \sum_{k=1}^{n}a_kf_k\left( x \right)$는 홀함수이다. - 수열 $\left\{ a_n \right\} $과 $n$개의 짝함수 $f_1$, $f_2$, $f_3$, $\cdots$, $f_n$에 대하여,
함수 $g\left( x \right) = \sum_{k=1}^{n}a_kf_k\left( x \right)$는 짝함수이다.
- $k\le n$인 모든 자연수 $k$에 대하여 $f_k(-x)=-f_k(x)$이므로 다음이 성립한다. \[\begin{align*} g\left( -x \right) =\sum_{k=1}^{n}a_kf_k\left( -x \right)=-\sum_{k=1}^{n}a_kf_k\left( x \right)=-g(x)\end{align*}\] 따라서 $g(-x)=-g(x)$이므로 $g(x)$는 홀함수이다.
- $k\le n$인 모든 자연수 $k$에 대하여 $f_k(-x)=f_k(x)$이므로 다음이 성립한다. \[\begin{align*}g\left( -x \right) = \sum_{k=1}^{n}a_kf_k\left( -x \right)=\sum_{k=1}^{n}a_kf_k\left( x \right)=g(x)\end{align*}\] 따라서 $g(-x)=g(x)$이므로 $g(x)$는 짝함수이다.
홀함수와 짝함수의 곱
- $f \times g$는 짝함수이다.
- $h \times i$는 짝함수이다.
- $f \times h$는 홀함수이다.
- $f(-x)=-f(x)$, $g(-x)=-g(x)$이므로
$f(-x)g(-x)=-f(x)g(-x)=f(x)g(x)$이다. 따라서 $f \times g$는 짝함수이다. - $h(-x)=h(x)$, $i(-x)=i(x)$이므로
$h(-x)i(-x)=h(x)i(-x)=h(x)i(x)$이다. 따라서 $h \times i$는 짝함수이다. - $f(-x)=-f(x)$, $h(-x)=h(x)$이므로
$f(-x)h(-x)=-f(x)h(-x)=-f(x)h(x)$이다. 따라서 $f \times h$는 홀함수이다.
홀함수와 짝함수의 합성
- $\comp{f}{g}$는 홀함수이다.
- $\comp hi$는 짝함수이다.
- $\comp fh$는 짝함수이다.
- $\comp hf$는 짝함수이다.
- $f(-x)=-f(x)$, $g(-x)=-g(x)$이므로
$f(g(-x))=f(-g(x))=-f(g(x))$이다. 따라서 $\comp{f}{g}$는 홀함수이다. - $h(-x)=h(x)$, $i(-x)=i(x)$이므로
$h(i(-x))=h(i(x))$이다. 따라서 $\comp hi$는 짝함수이다. - $f(-x)=-f(x)$, $h(-x)=h(x)$이므로
$f(h(-x))=f(h(x))$이다. 따라서 $\comp fh$는 짝함수이다. - $h(-x)=h(x)$, $f(-x)=-f(x)$이므로
$h(f(-x))=h(-f(x))=h(f(x))$이다. 따라서 $\comp hf$는 짝함수이다.
홀짝성과 미적분
홀짝성과 정적분
홀함수 $f$, 짝함수 $g$에 대하여
- $\int_{-a}^{a}f\left( x \right) dx = 0$
- $\int_{-a}^{a}g\left( x \right) dx = 2\int_{0}^{a}g\left( x \right)dx$
- $f(x)=-f(-x)$이므로 좌변과 우변을 각각 $-a$부터 $a$까지 정적분하면 다음과 같다. \[\begin{alignat*}{2} \left( \text{좌변} \right) &= \int_{-a}^{a}f\left( x \right) dx && \\ \left( \text{우변} \right) &= -\int_{-a}^{a}f(-x)dx = -\int_{-a}^{a}f\left( t \right) dt && = -\int_{-a}^{a}f\left( x \right) dx \end{alignat*}\] 따라서 우변을 좌변으로 이항하고 $2$로 나누면 $\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$을 얻는다.
- $g(x)=g(-x)$이므로
$\int_{-a}^{a}g\left( x \right) dx= \int_{0}^{a}g(x)dx + \int_{-a}^{0}g(x)dx$이고,
$\int_{-a}^{0}g(x)dx=\int_{-a}^{0}g(-x)dx=\int_{0}^{a}g(x)dx$이므로
$\int_{-a}^{a}g\left( x \right) dx=2\int_{0}^{a}g(x)dx$이다.
홀짝성을 갖는 함수의 도함수와 부정적분
홀함수 $f$, 짝함수 $g$에 대하여
미적분을 선택하지 않는 학생들은 다항함수 또는 다항함수로 구성된 조각함수만 다루므로, 다항함수 $f\left( x \right)$의 일반적인 함수식을 세워 미분하거나 적분하여 증명하고, 일반적인 함수에 대해서는 증명 없이 받아들입니다.
다음은 미적분 선택자 전용 증명입니다.
- $f$가 미분가능하면 $f'$은 짝함수이다.
- $g$가 미분가능하면 $g'$은 홀함수이다.
- $f$의 부정적분 $F$는 짝함수이다.
- $g$의 부정적분 $G$는 일반적으로 홀함수가 아니다.1대신 $G$는 중심이 $\xy{0}{G\left( 0 \right) }$인 점대칭함수입니다. 즉 $G\left( 0 \right) =0$일 때만 홀함수이고, 나머지 일반적인 경우는 홀함수가 아닙니다.
- 모든 실수에 대하여 $f(x)=-f(-x)$이므로 양변을 미분하면 $f'(x)=f'(-x)$이다. 따라서 $f'$은 짝함수이다.
- 모든 실수에 대하여 $g(x)=g(-x)$이므로 양변을 미분하면 $g'(x)=-g'(-x)$이다. 따라서 $g'$은 홀함수이다.
- $f$의 한 부정적분이 $F$이므로 $f(x)=-f(-x)$의 양변을 부정적분하면 모든 실수 $x$에 대하여 $F(x)=F(-x)+C$이다. 이때 $x=0$을 대입하면 $C=0$을 얻는다. 따라서 모든 실수 $x$에 대하여 $F\left( x \right) = F\left( -x \right) $이므로, 함수 $F$는 짝함수이다.
- $g$의 한 부정적분이 $G$이므로 양변을 부정적분하면 모든 실수 $x$에 대하여 $G(x)=-G(-x)+C'$이다. 이때 $x=0$을 대입하면 $2G\left( 0 \right)=C' $임을 알 수 있다. 따라서 $y=G(x)$는 중심이 $\xy{0}{\dfrac{C'}{2}}$인 점대칭함수이고, 오직 $C'=0$일 때만 홀함수이다.
선대칭함수와 점대칭함수의 실수배
대칭축이 $x=a$인 선대칭함수 $f$, 중심이 $\xy pq$인 점대칭함수 $g$, 실수 $k$에 대하여
$f$, $g$는 모든 실수 $x$에 대하여 각각 다음을 만족시킨다.
\[\begin{align*}
f\left( x \right) = f\left( 2a-x \right) \\
g\left( x \right) + g\left( 2p-x \right) = 2q
\end{align*}\]
각 변에 $k$를 곱하면 $h\left( x \right) = h\left( 2a-x \right) $, $i\left( x \right) + i\left( 2p-x \right) =2kq $를 얻는다.
- $h=kf$는 대칭축이 $x=a$인 선대칭함수이다. (대칭성이 유지된다.)
- $i=kg$는 중심이 $\xy{p}{kq}$인 점대칭함수이다. (점대칭성은 유지되지만 중심이 달라진다.)
대칭의 기준이 같은 함수끼리의 합, 차
함수 $f\left( x \right) $가 대칭성이 있는 여러 함수의 덧셈, 뺄셈으로 이루어져 있을 때,
`홀짝성이 같은 함수끼리의 합, 차, 실수배'에서 증명한 과정을 동일하게 활용할 수 있다.
- 각 함수들이 모두 선대칭함수이고 대칭축이 모두 $x=p$이면 $f$도 선대칭함수이고, 대칭축은 $x=p$이다.
- 각 함수들이 모두 점대칭함수이고 중심의 $x$좌표가 모두 $p$이면 $f$도 점대칭함수이고, 중심의 $x$좌표는 $p$이다.
- 대칭축이 $x=p$인 선대칭함수는 짝함수를 $x$축의 방향으로 $p$만큼 평행이동한 것과 같다.
- 중심이 $\xy{p}{q}$인 점대칭함수는 홀함수를 $x$축의 방향으로 $p$만큼, $y$축의 방향으로 $q$만큼 평행이동한 것과 같다.
선대칭함수와 점대칭함수의 곱, 합성의 특별한 상황
대칭축이 $x=a$인 선대칭함수와 중심이 $\xy a0$인 점대칭함수의 곱은 중심이 $\xy a0$인 점대칭함수이다.2이는 홀함수와 짝함수를 $x$축 방향으로 $a$만큼 평행이동한 것과 동일한 상황이므로, 대칭성이 절묘하게 맞아 떨어지는 상황입니다.
대칭축이 $x=a$인 선대칭함수를 $f(x)$라 하면 $f(x)=f(2a-x)$이다. 중심이 $\xy a0$인 점대칭함수를 $g(x)$라 하면 $g(x)=-g(2a-x)$이다. 따라서 다음이 성립한다. \[\begin{align*}f(x)g(x)=-f(2a-x)g(2a-x)\end{align*}\]그러므로 함수 $f(x)g(x)$는 중심이 $\xy a0$인 점대칭함수이다.
대칭성과 미적분
대칭축이 $x=a$인 선대칭함수 $f$와 중심이 $\xy{a}{b}$인 점대칭함수 $g$에 대하여
미적분을 선택하지 않는 학생들은 다항함수 또는 다항함수로 구성된 조각함수만 다루므로, 다항함수 $f\left( x \right)$의 일반적인 함수식을 세워 미분하거나 적분하여 증명하고, 일반적인 함수에 대해서는 증명 없이 받아들입니다.
다음은 미적분 선택자 전용 증명입니다.- 함수 $f$가 미분가능할 때, $f'$은 중심이 $\xy{a}{0}$인 점대칭함수이다.
- 함수 $g$가 미분가능할 때, $g'$은 대칭축이 $x=a$인 선대칭함수이다.
- 함수 $f$의 한 부정적분을 $F$라 할 때, $F$는 중심이 $\xy{a}{F\left( a \right) }$인 점대칭함수이다.
- 함수 $g$의 한 부정적분을 $G$라 할 때, $G$는 일반적으로 대칭성이 없다.3오직 $b=0$인 경우에만 $G$가 대칭축이 $x=a$인 선대칭함수입니다.
$f(x)$는 대칭축이 $x=a$인 선대칭함수, $g(x)$는 중심이 $\xy{a}{b}$인 점대칭함수이므로 \[\begin{align*}f(x)=f(2a-x)\cdots \text{(a)} , \quad g(x)=-g(2a-x)+2b\cdots\text{(b)} \end{align*}\]이다.
- (a)의 양변을 미분하면 $f'(x)=-f'(2a-x)$이므로 함수 $f'(x)$는 중심이 $\xy{a}{0}$인 점대칭함수이다.
- (b)의 양변을 미분하면 $g'(x)=g'(2a-x)$이므로 함수 $g'(x)$은 대칭축이 $x=a$인 선대칭함수이다.
- (a)의 양변을 적분하면 $F(x)=-F(2a-x)+C$이다. 이때 $x=a$를 대입하면 $2F\left( a \right) = C$이고, 이를 대입하고 정리하면 $F\left( x \right) + F\left( 2a-x \right) =2F\left( a \right) $이므로 함수 $F(x)$는 중심이 $\xy{a}{F\left( a \right) }$인 점대칭함수이다.
- (b)의 양변을 적분하면 $G(x)=G(2a-x)+2bx+C$이다. 따라서 특별한 경우(ex: $b=0$인 경우)가 아니면 대칭성이 없다.
선대칭함수
$\mrm{P}$와 대칭점 $\mrm{P'}$의 관계
대칭축에 수직인 직선 $l$과의 교점의 개수
어떤 선대칭함수 $f\left( x \right) $의 대칭축에 수직인 직선 $l$을 그었을 때, $l$과 $y=f\left( x \right) $의 서로 다른 교점의 개수를 생각해봅시다.
미분계수
증감성과 볼록성
선대칭함수의 그래프의 절반인 도형 $C$를 대칭축에 대하여 대칭이동하여 얻은 도형을 $C'$이라 할 때, 증감성과 볼록성에 대하여 알아봅시다.증감성과 극점
볼록성과 변곡점
정적분
대칭축과 그래프가 만날 때
한편 $x=a$를 기준으로 볼록성이 바뀔 수 없으므로, $\xy{a}{f\left( a \right) }$는 절대로 변곡점이 될 수 없습니다. $f''(x)=f''(2a-x)$이다. 따라서 $x=a$의 근방에서 이계도함수의 부호가 같으므로 변곡점이 될 수 없다.
점대칭함수
$\mrm{P}$와 대칭점 $\mrm{P'}$의 관계
중심을 지나는 직선 $l$과의 교점의 개수
어떤 점대칭함수 $f\left( x \right) $의 중심을 지나는 직선 $l$을 그었을 때, $l$과 $y=f\left( x \right) $의 서로 다른 교점의 개수를 생각해봅시다.
이와 같이 교점의 개수가 홀수개이면 그 중 한 교점은 중심(자기 자신과 점대칭)이고, 나머지 점들은 두 점씩 짝을 이루어 점대칭 관계입니다. 교점의 개수가 짝수개이면 중심은 곡선 위의 점이 아니고, 교점들은 두 점씩 짝을 이루어 점대칭 관계입니다. $f(x)=-f(2p-x)+2q$이면 중심이 $\xy pq$인 점대칭함수이다. 따라서 직선 $y=m(x-p)+q$와 함수 $f(x)$의 그래프의 교점의 $x$좌표를 $k$라 하면 점 $\xy{k}{f(k)}$는 직선 $y=m(x-p)+q$ 위의 점이고 $y=m(x-p)+q$는 중심이 $\xy pq$인 점대칭함수이므로 점 $\xy{2p-k}{2q-f(k)}$도 직선 $y=m(x-p)+q$ 위의 점이다. 그런데 $f(x)=-f(2p-x)+2q$이므로 $2q-f(k)= f(2p-k)$이고, $x=2p-k$에서도 교점이 생긴다. 따라서 중심이 아닌 교점의 개수는 짝수이다. 그러므로 교점의 개수가 홀수인 경우는 한 교점이 중심(자신이 자신과 점대칭)인 경우이다. 이 경우 $k=2p-k$, 즉 $k=p$이다.
미분계수
증감성과 볼록성
점대칭함수의 그래프의 절반인 도형 $C$를 중심에 대하여 대칭이동하여 얻은 도형을 $C'$이라 할 때, 증감성과 볼록성에 대하여 알아봅시다.증감성과 극점
볼록성
정적분
중심이 그래프 위의 점일 때
주기함수와 준주기함수
주기성과 미적분
- $f'\left( x \right) = f'\left( x+p \right) $
- $\int_{a}^{b}f\left( x \right)dx = \int_{a+p}^{b+p}f\left( x \right)dx $
- $f$의 원시함수는 주기가 $\xy{p}{q}$인 준주기함수 또는 주기가 $p$인 주기함수이다.
- $f(x)=f(x+p)$이므로 양변을 미분하면 $f'(x)=f'(x+p)$이다.
- $f(x)=f(x+p)$이므로 $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(x+p)dx=\int_{a+p}^{b+p}f(x)dx$이다.
- $f(x)=f(x+p)$의 양변을 적분하면 $F(x)=F(x+p)+C$이다. $C=-q$라 하면 $F(x+p)-F(x)=q$이다. 따라서 $q\ne0$이면 $F$는 주기가 $\xy pq$인 준주기함수이고, $q=0$이면 $F$는 주기가 $p$인 주기함수이다.
- $f'\left( x \right) = f'\left( x+p \right) $
- $\int_{a+p}^{b+p}f\left( x \right)dx = \int_{a}^{b}f\left( x \right)dx + (b-a)q$
- $f(x+p)-f(x)=q$이므로 양변을 미분하면 $f'(x+p)=f'(x)$이다.
- $f(x+p) = f(x) + q$이고 $\int_{a}^{b}f(x+p)dx = \int_{a+p}^{b+p}f(x)dx$이므로 \[\begin{align*} \int_{a}^{b}f(x+p)dx = \int_{a+p}^{b+p}f(x)dx &=\int_{a}^{b}\left\{ f(x)+q \right\} dx\\ &=\int_{a}^{b}f(x)dx+(b-a)q \end{align*}\] 이다.
주기함수의 경우
연속성과 미분가능성
미분계수
증감성과 볼록성
증감성과 극점
$C$와 $C'$은 각각 연속이더라도 $C$와 $C'$의 경계에서 불연속인 경우, 주기함수의 `불연속인 극점'이 될 가능성이 있습니다. (a)에서는 극점이 아니고, (b), (c)에서는 극점입니다.
볼록성과 변곡점
준주기함수의 경우
연속성과 미분가능성
미분계수
증감성과 볼록성
증감성과 극점
$x=a$에서 경계라 할 때, 극대 또는 극소가 되려면 $x=a$를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 $x$에 대하여 $f(x)\leq f(a)$이거나 $f(x)\geq f(a)$이어야 한다. (a)의 경우 어떤 열린구간을 잡아도 경계에서 이 명제를 만족하지 않는다. (b)의 경우 어떤 열린구간을 잡으면 $f(x)\geq f(a)$를 만족한다. 따라서 경계에서 극소이다. (c)의 경우 어떤 열린구간을 잡으면 $f(x)\leq f(a)$를 만족한다. 따라서 경계에서 극대이다.
볼록성과 변곡점
그래프의 신축과 미적분
신축된 그래프는 원래의 그래프 위의 점과 일대일대응됩니다. 원래의 그래프와 신축된 그래프의 관계를 미적분을 이용하여 더 알아봅시다.좌우로의 신축과 미적분
- $kf'\left( a \right) = g'\left( p \right) $
- $\int_{a}^{b}f\left( x \right) dx = k\int_{p}^{q}g\left( x \right) dx$
- $g(x)=f(kx)$이므로 $g(p)=f(kp)=f(a)$이다. 또한 양변을 미분하면 $g'(x)=kf'(kx)$이다. $kp=a$이므로 $g'(p)=kf'(kp)=kf'(a)$이다.
- $g(x)=f(kx)$이므로 $g(p)=f(kp)=f(a)$이므로 $kp=a$, $kq=b$이다. 한편 $\int_{p}^{q}g(x)dx=\int_{p}^{q}f(kx)dx$에서 $kx=t$로 치환하면 $\dfrac{dt}{dx}=k$이므로 $\int_{p}^{q}f(kx)dx=\dfrac{1}{k}\int_{a}^{b}f(t)dt$이다. 따라서 $\int_{a}^{b}f\left( x \right) dx = k\int_{p}^{q}g\left( x \right) dx$이다.
상하로의 신축과 미적분
- $kf'\left( a \right) = h'\left( a \right) $
- $k\int_{a}^{b}f\left( x \right) dx = \int_{a}^{b}h\left( x \right) dx$
- $h(x)=kf(x)$에서 양변을 미분하면 $h'(x)=kf'(x)$이다. 따라서 $kf'(a)=h'(a)$이다.
- $h(x)=kf(x)$이므로 $\int_{a}^{b}h(x)dx=\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx$이다.