포물선
평면 위의 한 점 $\mrm{F}$와 $\mrm{F}$를 지나지 않는 직선 $l$에 대하여, 점 $\mrm{P}$가
\[\begin{align*}(\text{$\mrm{P}$와 $\mrm{F}$ 사이의 거리})=(\text{$\mrm{P}$와 $l$ 사이의 거리})\end{align*}\]
를 만족시킬 때, 점 $\mrm{P}$가 나타내는 도형을
포물선이라고 합니다. 이때 $\mrm{F}$와 $l$을 각각 포물선의
초점, 포물선의
준선이라고 하며, 포물선의 초점을 지나고 준선에 수직인 직선을 포물선의
축이라 하고, 포물선과 축이 만나는 점을 포물선의
꼭짓점이라고 합니다.
$p\ne 0$인 실수 $p$에 대하여 초점이 $\mrm{F}(p,\:0)$, 준선이 $x=-p$인 포물선의 방정식은 $y^2=4px$이고, 초점이 $\mrm{F}(0,\:p)$, 준선이 $y=-p$인 포물선의 방정식은 $x^2=4py$입니다.
타원
평면 위의 서로 다른 두 점 $\mrm{F}$, $\mrm{F'}$와 양의 상수 $k$에 대하여, 점 $\mrm{P}$가 \[\begin{align*}\ovr{PF} + \ovr{PF'} = k\end{align*}\]
를 만족시킬 때, 점 $\mrm{P}$가 나타내는 도형을
타원이라고 합니다. 이때 두 점 $\mrm{F}$, $\mrm{F'}$을 타원의
초점이라 하고, 선분 $\mrm{FF'}$의 중점을 타원의
중심이라고 합니다.
직선 $\mrm{FF'}$과 타원이 만나는 두 점을 잇는 선분을 장축이라 합니다. 타원의 중심을 지나고 직선 $\mrm{FF'}$에 수직인 직선이 타원과 만나는 두 점을 잇는 선분을 단축이라 합니다. 그리고 타원의 장축과 단축의 양 끝점을 타원의 꼭짓점이라고 합니다. 타원의 장축의 길이는 $\ovr{PF} + \ovr{PF'}$의 값과 같습니다.
$a>c>0$, $b^2=a^2-c^2$인 상수 $a$, $b$, $c$에 대하여 두 초점이 각각 $\mrm{F}(c,\:0)$, $\mrm{F'}(-c,\:0)$이고 $\ovr{PF} + \ovr{PF'} = 2a$를 만족시키는 점 $\mrm{P}$가 나타내는 타원의 방정식은 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$입니다. 한편 $b>c>0$, $a^2 = b^2 - c^2$인
상수 $a$, $b$, $c$에 대하여 두 초점이 각각 $\mrm{F}(0,\: c)$, $\mrm{F'}(0,\:-c)$이고 $\ovr{PF} + \ovr{PF'} = 2b$를 만족시키는 점 $\mrm{P}$가 나타내는 타원의 방정식은 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$입니다.
쌍곡선
평면 위의 서로 다른 두 점 $\mrm{F}$, $\mrm{F'}$와 양의 상수 $k$에 대하여, 점 $\mrm{P}$가 \[\begin{align*}\abs{\ovr{PF} - \ovr{PF'}} = k\end{align*}\]
를 만족시킬 때, 점 $\mrm{P}$가 나타내는 도형을
쌍곡선이라고 합니다.
이때 두 점 $\mrm{F}$, $\mrm{F'}$을 쌍곡선의 초점이라 하고, 선분 $\mrm{FF'}$의 중점을 쌍곡선의 중심이라고 합니다. 또한 선분 $\mrm{FF'}$이 쌍곡선과 만나는 두 점을 각각 $\mrm{A}$, $\mrm{A'}$이라 할 때 선분 $\mrm{AA'}$을 쌍곡선의 주축이라 하고, 두 점 $\mrm{A}$, $\mrm{A'}$을 쌍곡선의 꼭짓점이라 합니다. 쌍곡선의 주축의 길이는 $\abs{\ovr{PF} - \ovr{PF'}}$의 값과 같은 $k$입니다.
$c>a>0$, $b^2=c^2-a^2$인 상수 $a$, $b$, $c$에 대하여 두 초점이 각각 $\mrm{F}(c,\:0)$, $\mrm{F'}(-c,\:0)$이고 $\abs{\ovr{PF} - \ovr{PF'}} = 2a$를 만족시키는 점 $\mrm{P}$가 나타내는 쌍곡선의 방정식은 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$입니다. 한편 $c>b>0$, $a^2 = c^2 - b^2$인
상수 $a$, $b$, $c$에 대하여 두 초점이 각각 $\mrm{F}(0,\: c)$, $\mrm{F'}(0,\:-c)$이고 $\abs{\ovr{PF} - \ovr{PF'}} = 2b$를 만족시키는 점 $\mrm{P}$가 나타내는 쌍곡선의 방정식은 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = -1$입니다. 두 쌍곡선의 점근선의 방정식은 $y=\pm\dfrac{b}{a}x$로 동일합니다.
이차곡선의 접선의 방정식
포물선
기울기 공식
포물선 $y^2= 4px$에 접하고 기울기가 $m$인 접선의 방정식은 $y=mx+\dfrac{p}{m}$ (단, $m \ne 0$)입니다. 포물선 $x^2 = 4py$에 접하고 기울기가 $m$인 접선의 방정식은 $y=mx-pm^2$입니다.
접점 공식
포물선 $y^2 = 4px$ 위의 점 $\xy[P]{x_1}{y_1}$에서의 접선의 방정식은 $y_1y = 2p\left( x+x_1 \right) $입니다. 포물선 $x^2 = 4py$ 위의 점 $\xy[P]{x_1}{y_1}$에서의 접선의 방정식은 $x_1 x = 2p\left( y+y_1 \right) $입니다.
타원
기울기 공식
타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$에 접하고 기울기가 $m$인 접선의 방정식은 $y=mx\pm\sqrt{a^2m^2 +b^2}$입니다.
접점 공식
타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\xy[P]{x_1}{y_1}$에서의 접선의 방정식은 $\dfrac{x_1x}{a^2} + \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1$입니다.
쌍곡선
기울기 공식
쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$에 접하고 기울기가 $m$인 접선의 방정식은 $y=mx\pm\sqrt{a^2m^2 -b^2}$ (단, $a^2m^2 - b^2>0$)입니다. 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = -1$에 접하고 기울기가 $m$인 접선의 방정식은 $y=mx\pm\sqrt{b^2 -a^2m^2}$ (단, $b^2 - a^2m^2>0$)입니다.
접점 공식
쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\xy[P]{x_1}{y_1}$에서의 접선의 방정식은 $\dfrac{x_1x}{a^2} - \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1$입니다.
쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = -1$ 위의 점 $\xy[P]{x_1}{y_1}$에서의 접선의 방정식은 $\dfrac{x_1x}{a^2} - \dfrac{y_1 y}{b^2} = -1$입니다.
