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원리 : 평면도형으로서의 이차곡선(논증기하)

`평면도형으로서의 이차곡선' 문제의 해법

`평면도형으로서의 이차곡선' 문제의 해법을 요약하면 다음과 같습니다.1평면기하의 3요소가 무엇인지는 맑은개념 중학도형에서 다루었습니다.
  1. 이차곡선의 정의와 대칭성을 통해 얻은 정보를 그림에 표시한다.
  2. 평면기하의 $3$요소를 활용하여 정답에 다가가는 방향으로 새로운 정보를 얻는다.
대부분의 문제을 풀이하는 흐름에 따라 언급하였지만, 우리에게 익숙한 내용은 ①보다는 ②입니다. 그렇기 때문에 익숙한 ②를 먼저 살펴본 뒤 ①을 짚어봅시다.

② 이차곡선은 사실 중학도형 문제이다.

이차곡선을 평면도형으로 다루는 문제라면 중학도형이 문제의 답을 내는 중요한 조건이 되는 경우가 대부분입니다. 따라서 도형을 다루는 이차곡선 문제에서는 이차곡선의 개념과 다양한 중학도형의 개념을 넘나드는 것이 매우 중요합니다.

물론 수능에서는 중학도형의 지엽적인 내용이 아니라 핵심적인 내용을 다룰 뿐이므로, 중학도형에 과몰입해서 경시대회 수준의 고난도 내용을 공부하는 것은 권장하지 않습니다. 맑은개념 중학도형의 워크북까지 다루었던 내용만으로 충분합니다.

①-1 : 이차곡선의 대칭성

이차곡선인 원, 포물선, 타원, 쌍곡선은 모두 대칭성을 갖는 도형입니다. 그러나 `이차곡선의 정의'와 달리 `이차곡선의 대칭성'은 문제풀이 과정에서 간과하기 쉽습니다. 출제자가 넌지시 대칭성에 관련된 조건을 제시하는 경우가 많으므로 유의합시다.

원, 타원, 쌍곡선의 대칭성

원 $C$, 타원 $e$, 쌍곡선 $h$는 기본형2여기서 기본형이란 다음과 같은 꼴을 말합니다. \[\begin{align*} C &: x^2 + y^2 = r^2 \\ e &: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \\ h &: \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = \pm1 \end{align*}\]에 한해 원점, $x$축, $y$축에 대하여 대칭입니다.

포물선의 대칭성

포물선 $p$는 $p$의 축에 대하여 대칭입니다.

①-2 : `이차곡선의 정의'를 이용하여 그림에 정보를 표시하기

포물선

포물선
초점이 $\mrm{F}$이고 준선이 $l$인 포물선 위의 한 점 $\mrm{P}$에 대하여 `$\mrm{P}$와 $\mrm{F}$ 사이의 거리'와 `$\mrm{P}$와 $l$ 사이의 거리'가 서로 같음을 표시합시다. 두 거리 중 한 값을 안다면 그 값을 각각 그림에 표기해주고, 길이를 모른다면 적당한 미지수를 설정하여 미지수로 표기해줍시다.

타원, 쌍곡선과 달리 포물선에서 간과하기 쉬운 점은 두 가지입니다. 하나는 `준선 $l$이 그림에 주어지지 않는다'는 것이고, 나머지 하나는 `$\mrm{P}$와 $l$ 사이의 거리'에서 나타나는 직각입니다. 포물선이 주어진 경우 준선 $l$을 꼭 표시하도록 하고, $\mrm{P}$에서 $l$에 내린 수선의 발을 $\mrm{H}$라 할 때 $\ovr{PH} \ppd l$임을 꼭 표시하도록 합시다.

타원

타원 두 초점이 각각 $\mrm{F}$, $\mrm{F'}$인 타원 위의 한 점 $\mrm{P}$에 대하여 $\ovr{PF}$와 $\ovr{PF'}$의 합이 `장축의 길이'와 같음을 표시합시다. 이때 $\ovr{PF}$, $\ovr{PF'}$, `장축의 길이' 값 중 어느 값을 아는지에 따라 표기 방법이 조금씩 달라집니다.

세 개의 값 중에서 두 개의 이상의 값을 안다면 각각의 길이를 표시합시다.3세 개의 값을 모두 안다면 바로 표기하면 됩니다. 두 개의 값을 안다면 그 두 값을 \[\begin{align*}\ovr{PF} + \ovr{PF'} = (\text{장축의 길이})\end{align*}\] 에 대입하여 나머지 한 값을 구한 후 표기하면 됩니다. 주로 난이도가 낮은 문제에서 이러한 경우를 만나게 됩니다.
세 개의 값 중에서 `장축의 길이'만 안다면, $\ovr{PF}=m$, $\ovr{PF'}=n$이라 표시하고 \[\begin{align*}m+n=(\text{장축의 길이})\end{align*}\]라는 방정식을 세우면 됩니다. 이를 단축하여 $\ovr{PF}=m$, $\ovr{PF'} = (\text{장축의 길이}) - m$이라 표기해도 됩니다. 그 후 문제에서 주어진 다른 조건을 이용하면 $m$ 또는 $n$의 값을 구할 수 있을 것입니다.
세 개의 값 중에서 $\ovr{PF} = k$의 값만 안다면, 장축의 길이를 $2a$라 하고 $\ovr{PF'}= 2a - k$라 하거나, $\ovr{PF'}=l$라 하고 $(\text{장축의 길이}) = k+l$라 하면 됩니다. 문제의 상황에 따라 더 편리할 것으로 예상되는 쪽으로 미지수를 설정하세요. 미지수들의 값은 문제에 주어진 다른 조건을 이용하면 구할 수 있을 것입니다.4세 개의 값 중에서 $\ovr{PF'}$만 아는 경우 $\ovr{PF}$와 $\ovr{PF'}$만 반대로 생각하면 동일합니다.

쌍곡선

쌍곡선 두 초점이 각각 $\mrm{F}$, $\mrm{F'}$인 쌍곡선 위의 한 점 $\mrm{P}$에 대하여 $\ovr{PF}$와 $\ovr{PF'}$의 차가 `주축의 길이'와 같음을 표시합시다.5편의상 $\ovr{PF}<\ovr{PF'}$이라 합시다. 이때 $\ovr{PF}$, $\ovr{PF'}$, `주축의 길이' 값 중 어느 값을 아는지에 따라 표기 방법이 약간 달라집니다.
세 개의 값 중에서 두 개 이상의 값을 안다면 각각의 길이를 표시합시다.6세 개의 값을 모두 안다면 바로 표기하면 됩니다. 두 개의 값을 안다면 그 두 값을 \[\begin{align*}\ovr{PF'} - \ovr{PF} = (\text{주축의 길이})\end{align*}\] 에 대입하여 나머지 한 값을 구한 후 표기하면 됩니다. 주로 난이도가 낮은 문제에서 이러한 경우를 만나게 됩니다.
세 개의 값 중에서 `주축의 길이'만 안다면, $\ovr{PF}=m$, $\ovr{PF'}=n$이라 표시하고 \[\begin{align*}n-m=(\text{주축의 길이})\end{align*}\]라는 방정식을 세우면 됩니다. 이를 단축하여 $\ovr{PF}=m$, $\ovr{PF'} = (\text{주축의 길이}) + m$이라 표기해도 됩니다. 그 후에 문제에서 주어진 다른 조건을 이용하면 $m$ 또는 $n$의 값을 구할 수 있을 것입니다.
세 개의 값 중에서 $\ovr{PF} = k$의 값만 안다면, 주축의 길이를 $2a$라 하고 $\ovr{PF'}= 2a + k$라 하거나, $\ovr{PF'}=l$이라 하고 $(\text{주축의 길이}) = l-k$라 하면 됩니다. 문제의 상황에 따라 더 편리할 것으로 예상되는 쪽으로 미지수를 설정하세요. 미지수들의 값은 문제에 주어진 다른 조건을 이용하면 구할 수 있을 것입니다.7세 개의 값 중에서 $\ovr{PF'}=l$만 아는 경우 $\ovr{PF} = l - 2a$라 하면 동일합니다.
  1. 1. 평면기하의 3요소가 무엇인지는 맑은개념 중학도형에서 다루었습니다.
  2. 2. 여기서 기본형이란 다음과 같은 꼴을 말합니다. \[\begin{align*} C &: x^2 + y^2 = r^2 \\ e &: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \\ h &: \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = \pm1 \end{align*}\]
  3. 3. 세 개의 값을 모두 안다면 바로 표기하면 됩니다. 두 개의 값을 안다면 그 두 값을 \[\begin{align*}\ovr{PF} + \ovr{PF'} = (\text{장축의 길이})\end{align*}\] 에 대입하여 나머지 한 값을 구한 후 표기하면 됩니다.
  4. 4. 세 개의 값 중에서 $\ovr{PF'}$만 아는 경우 $\ovr{PF}$와 $\ovr{PF'}$만 반대로 생각하면 동일합니다.
  5. 5. 편의상 $\ovr{PF}<\ovr{PF'}$이라 합시다.
  6. 6. 세 개의 값을 모두 안다면 바로 표기하면 됩니다. 두 개의 값을 안다면 그 두 값을 \[\begin{align*}\ovr{PF'} - \ovr{PF} = (\text{주축의 길이})\end{align*}\] 에 대입하여 나머지 한 값을 구한 후 표기하면 됩니다.
  7. 7. 세 개의 값 중에서 $\ovr{PF'}=l$만 아는 경우 $\ovr{PF} = l - 2a$라 하면 동일합니다.