기하 > 공간에서의 벡터

공간벡터 용어 \& 원리

성분과 관련되지 않은 나머지 모든 내용

정의, 성질, 연산 법칙, 평행과 수직 등 모든 내용이 평면벡터에서와 동일하므로 생략합니다.

공간벡터의 성분

공간벡터의 성분의 정의

(a)와 같이 좌표공간 위에서 원점 $\mrm{O}$를 시점으로 하고 두 점 $\xyz[E_1]{1}{0}{0}$, $\xyz[E_2]{0}{1}{0}$, $\xyz[E_3]{0}{0}{1}$을 각각 종점으로 하는 세 단위벡터를 각각 \[\begin{align*}\vrm{OE_1} = \vec{e_1}, \quad \vrm{OE_2} = \vec{e_2}, \quad \vrm{OE_3}=\vec{e_3}\end{align*}\]라 표기합니다.

(b)와 같이 좌표평면 위의 임의의 점 $\xyz[A]{a_1}{a_2}{a_3}$의 위치벡터 $\vec{a}$에 대하여 \[\begin{align*}\vec{a} = a_1\vec{e_1} + a_2\vec{e_2} + a_3\vec{e_3}\end{align*}\]라 나타낼 수 있습니다. 이때 실수 $a_1$, $a_2$, $a_3$를 벡터 $\vec{a}$의 성분이라고 하고, $a_1$을 $x$성분, $a_2$를 $y$성분, $a_3$를 $z$성분이라고 합니다. 또 벡터 $\vec{a}$를 성분을 이용하여 $\vec{a} = \xyz{a_1}{a_2}{a_3}$와 같이 나타냅니다.

공간벡터의 크기, 두 공간벡터가 같을 조건

서로 같을 조건크기

벡터 $\vec{a} = \xyz{a_1}{a_2}{a_3}$의 크기는 $\sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}$이고, 두 벡터 $\vec{a}$, $\vec{b} = \xyz{b_1}{b_2}{b_3}$가 서로 같을 조건은 `$a_1=b_1$이고 $a_2 = b_2$이고 $a_3=b_3$'입니다.

공간벡터의 성분에 의한 연산

연산

$\vec{a}=\xyz{a_1}{a_2}{a_3}$, $\vec{b}=\xyz{b_1}{b_2}{b_3}$와 실수 $k$에 대하여 두 벡터의 성분에 의한 연산은 다음과 같습니다.

  1. $\vec{a} + \vec{b} = \xyz{a_1 + b_1}{a_2 + b_2}{a_3 + b_3}$
  2. $\vec{a} - \vec{b} = \xyz{a_1 - b_1}{a_2 - b_2}{a_3 - b_3}$
  3. $k\vec{a} = \xyz{ka_1}{ka_2}{ka_3}$

두 점에 의한 공간벡터의 성분과 크기

두 점 $\xyz[A]{a_1}{a_2}{a_3}$, $\xyz[B]{b_1}{b_2}{b_3}$에 대하여 다음이 성립합니다.
  1. $\vrm{AB} = \xyz{b_1 - a_1}{b_2 - a_2}{b_3 - a_3}$
  2. $\abv{AB} = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}$

공간벡터의 내적

공간벡터 내적의 정의와 연산법칙은 평면벡터에서와 동일하므로 생략합니다. 성분을 이용한 내적은 $\vec{a} = \xyz{a_1}{a_2}{a_3}$, $\vec{b}=\xyz{b_1}{b_2}{b_3}$이면 다음이 성립합니다. \[\begin{align*}\vec{a}\bcd\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\end{align*}\]

내적을 이용하여 두 벡터가 이루는 각의 크기 구하기

\term[공간벡터]두 벡터가 이루는 각 두 벡터 $\vec{a}=\xyz{a_1}{a_2}{a_3}$, $\vec{b}=\xyz{b_1}{b_2}{b_3}$가 이루는 각의 크기를 $ \theta\: (0 \le \theta \le \pi)$라 할 때 $\vec{a}\bcd\vec{b} = \avi{a}\avi{b}\cos\theta$이므로 다음이 성립합니다. \[\begin{align*}\cos\theta = \dfrac{\vec{a}\bcd\vec{b}}{\avi{a}\avi{b}} = \dfrac{a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3}{\SQRT{{a_1}\spow2 + {a_2}\spow2 + {a_3}\spow2}\SQRT{{b_1}\spow2 + {b_2}\spow2 + {b_3}\spow2}}\end{align*}\]

공간도형의 방정식

직선의 방정식

좌표공간에서 한 점 $\xyz[A]{x_1}{y_1}{z_1}$를 지나고 영벡터가 아닌 벡터 $\vec{u}=\xyz{a}{b}{c}$에 평행한 직선 $l$ 위를 움직이는 임의의 점 $\xyz[P]{x}{y}{z}$에 대하여 두 점 $\mrm{A}$, $\mrm{P}$의 위치벡터를 각각 $\vec{a}$, $\vec{p}$라 하면 다음이 성립합니다. \[\begin{align*} \vec{p} = \vec{a} + t\vec{u} \quad (\text{단, $t$는 실수})\end{align*}\] 이를 직선 $\boldmath{l}$의 벡터방정식이라 하고, 벡터 $\vec{u}$를 직선 $\boldmath{l}$의 방향벡터라 합니다. 이 벡터방정식을 성분으로 나타내면 다음과 같습니다. \[\begin{align*}\begin{cases} x = x_1 + at \\ y = y_1 + bt \\ z = z_1 + ct \end{cases}\end{align*}\] 이를 매개변수로 나타낸 직선 $\boldmath{l}$의 방정식이라고 합니다. 한편 이 식에서 $abc \ne 0$일 때, $t = \dfrac{x-x_1}{a}$, $t=\dfrac{y-y_1}{b}$, $t=\dfrac{z-z_1}{c}$이므로 매개변수 $t$를 소거하면 다음과 같습니다.1이 또한 직선 $l$의 방정식입니다. \[\begin{align*}\dfrac{x-x_1}{a}=\dfrac{y-y_1}{b} = \dfrac{z-z_1}{c}\end{align*}\]

한편 매개변수를 소거한 직선의 방정식의 꼴에서 $a$, $b$, $c$ 중 $0$인 것이 있는 경우, 즉 분모가 $0$인 경우에는 분자를 $0$으로 간주하면 됩니다. 예를 들어 $a=0$, $c=0$이면 직선 $l$의 방정식은 $x=x_1$, $z=z_1$이고, $b=0$이면 직선 $l$의 방정식은 $\dfrac{x-x_1}{a}=\dfrac{z-z_1}{c}$, $y=y_1$입니다.

평면의 방정식

좌표공간에서 한 점 $\xyz[A]{x_1}{y_1}{z_1}$를 지나고 영벡터가 아닌 벡터 $\vec{n}=\xyz{a}{b}{c}$에 수직인 평면 $\alpha$ 위를 움직이는 임의의 점 $\xyz[P]{x}{y}{z}$에 대하여 두 점 $\mrm{A}$, $\mrm{P}$의 위치벡터를 각각 $\vec{a}$, $\vec{p}$라 하면 다음이 성립합니다. \[\begin{align*} (\vec{p} - \vec{a}) \bcd \vec{n} = 0 \end{align*}\] 이를 평면 $\boldmath{\alpha}$의 벡터방정식이라 하고, 벡터 $\vec{n}$을 평면 $\alpha$의 법선벡터라 합니다. 이 벡터방정식을 성분으로 나타내면 다음과 같습니다. \[\begin{align*} &a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1)=0\\ &ax + by + cz + d=0 \quad(\text{단, $d = -ax_1 - by_1 - cz_1$}) \end{align*}\] 이를 음함수로 나타낸 평면 $\boldmath{\alpha}$의 방정식이라고 합니다.

구의 방정식

점 $\mrm{C}$를 중심으로 하고 반지름이 $r$인 구 위를 움직이는 임의의 점 $\mrm{P}$에 대하여 다음이 성립합니다. \[\begin{align*}\ovr{CP}=\avr{CP}=\av{\vec{p} - \vec{c}}=r\end{align*}\] 이때 양변을 제곱하면 $\av{\vec{p} - \vec{c}}^2 = r^2$이고, 이를 내적을 이용하여 나타내면 다음과 같습니다. \[\begin{align*} (\vec{p} - \vec{c})\bcd(\vec{p} - \vec{c}) = r^2\end{align*}\] 이를 구의 벡터방정식이라 합니다.

벡터로 설명하는 공간도형

한 점에서 만나는 직선과 평면의 교점

서로 한 점에서 만나는 직선 $l$과 평면 $\alpha$의 방정식이 각각 \[\begin{align*} l : \dfrac{x-x_1}{a} = \dfrac{y-y_1}{b} = \dfrac{z-z_1}{c},\quad \alpha : a'x+b'y+c'z+d = 0 \end{align*}\] 일 때 직선의 방정식 위의 점을 매개변수 $t$로 나타낸 후 평면의 방정식에 대입하면 교점에 대응하는 $t$의 값을 구할 수 있고, 그 값을 이용하여 교점의 좌표를 구할 수 있습니다.

만나는 두 평면의 교선의 방정식

교선의 방정식 서로 만나는 두 평면의 방정식이 각각 \[\begin{align*} \alpha : ax+by+cz+d=0, \quad \beta : a'x + b'y + c'z + d' = 0 \end{align*}\] 일 때, 두 평면 $\alpha$, $\beta$에 동시에 포함되는 점 $\xyz{x}{y}{z}$ 전체의 집합은 두 평면 $\alpha$, $\beta$의 교선이므로 두 식을 연립하면 두 평면의 교선의 방정식을 구할 수 있습니다.

직직각, 직평각, 이면각

직직각직평각이면각

방향벡터가 각각 $\vec{u_1}$, $\vec{u_2}$인 두 직선 $l$, $m$이 이루는 각의 크기 $\theta$는 두 방향벡터 $\vec{u_1}$, $\vec{u_2}$가 이루는 각의 크기와 같습니다. 따라서 다음이 성립합니다. \[\begin{align*}\cos\theta = \dfrac{\av{\vec{u_1}\bcd\vec{u_2}}}{\avi{u_1}\avi{u_2}} \end{align*}\]

방향벡터가 $\vec{u}$인 직선과 법선벡터가 $\vec{n}$인 평면이 이루는 각의 크기 $\theta$에 대하여 $\vec{u}$와 $\vec{n}$이 이루는 각의 크기는 $\dfrac{\pi}{2} - \theta$입니다. 따라서 다음이 성립합니다. \[\begin{align*}\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right) = \sin\theta = \dfrac{\av{\vec{u}\bcd\vec{n}}}{\avi{u}\avi{n}} \end{align*}\]

법선벡터가 각각 $\vec{n_1}$, $\vec{n_2}$인 두 평면 $\alpha$, $\beta$가 이루는 각의 크기 $\theta$는 두 법선벡터 $\vec{n_1}$, $\vec{n_2}$가 이루는 각의 크기와 같습니다. 따라서 다음이 성립합니다. \[\begin{align*}\cos\theta = \dfrac{\av{\vec{n_1}\bcd\vec{n_2}}}{\avi{n_1}\avi{n_2}} \end{align*}\]

점과 평면 사이의 거리

점과 평면 사이의 거리 점 $\xyz[P]{x_1}{y_1}{z_1}$과 평면 $ax+by+cz+d=0$ 사이의 거리 $D$는 다음과 같습니다. \[\begin{align*}D = \dfrac{\abs{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\end{align*}\]

공간벡터의 해석

공간벡터의 해석 (1) 평면벡터의 아이디어를 그대로 적용 가능하다

도형으로 해석하는 공간벡터
벡터는 평행이동이 자유로우므로, 두 공간벡터는 적절한 평행이동을 통해 항상 한 평면 위에 놓일 수 있습니다. 즉 공간벡터를 도형으로 해석할 때, Vector에서 배웠던 평면벡터의 `쪼개기'와 `합치기'를 공간벡터에서도 그대로 이용할 수 있습니다.

단 `각의 크기 측정'은 주의해야 할 점이 있습니다. 평면에서는 두 직선이 평행하거나 만나지만, 공간에서는 두 직선이 평행하지도 않고 만나지도 않을 수 있기 때문입니다. 그럴 때에는 '공간에서의 직직각'을 구할 때처럼 한 직선을 적절히 평행이동하여 두 직선이 만나도록 한 후 같은 논리를 적용해주면 됩니다.

연산으로 해석하는 공간벡터
공간벡터를 성분으로 다루는 경우도 $(x,\: y)$가 아니라 $(x,\: y,\: z)$로 $z$성분만 추가될 뿐이고 나머지 모든 유도 과정은 동일합니다. 따라서 공간벡터를 연산으로 해석할 때, Vector에서 배웠던 평면벡터의 `벡터식'과 `성분화'를 공간벡터에서도 그대로 이용할 수 있습니다.
도형과 연산의 혼합 해석
도형으로 해석해도, 연산으로 해석해도 평면벡터와 동일했으므로 `도형과 연산의 혼합 해석' 또한 그대로 적용할 수 있습니다. 따라서 공간벡터를 해석할 때 3에서 배웠던 `내분점과 외분점', `중점을 이용한 내적', `삼각형의 넓이와 길이', `평행사변형의 두 대각선의 교점', `정다각형에 외접하는 원의 중심' 등을 모두 그대로 이용할 수 있습니다.

공간벡터의 해석 (2) 특정 평면을 고려한 쪼개기 : $공간벡터 = 평행벡터 + 강직벡터$

법선벡터가 $\vec{n}$인 평면 $\alpha$와 어떤 공간벡터 $\vec{a}$의 관계를 생각해봅시다. $\vec{a}$의 시점이 $\alpha$ 위에 놓이도록 평행이동했을 때, $\vec{a}$의 종점은 $\alpha$ 위에 있거나, $\alpha$ 위에 있지 않을 것입니다.
만약 $\vec{a}$의 종점이 $\alpha$ 위에 있다면, $\vec{a}$는 $\alpha$에 포함되어 있습니다. 이때 $\vec{n}$은 $\alpha$에 강직이므로 $\alpha$에 포함된 모든 직선과 약직입니다. 따라서 $\vec{a} \bcd \vec{n} = 0$입니다. 이러할 때 `$\vec{a}$는 평면 $\alpha$와 평행하다'고 부르기로 합시다.@공간벡터와 평면의 평행}
만약 $\vec{a}$의 종점이 $\alpha$ 위에 있지 않다면, 종점에서 $\alpha$에 내린 수선의 발을 $\mrm{H}$라 하면 $\vec{a}$는 `$\vec{a}$의 시점을 시점으로 하고, $\mrm{H}$를 종점으로 하는 벡터' $\vec{b}$와 `$\mrm{H}$를 시점으로 하고, $\vec{a}$의 종점을 종점으로 하는 벡터' $\vec{c}$의 합으로 나타낼 수 있습니다. 즉 $\vec{a} = \vec{b} + \vec{c}$입니다. 이때 $\vec{b}$는 $\alpha$와 평행하고, $\vec{c}$는 $\alpha$와 강직입니다.2이때 $\vec{c} \prl \vec{n}$입니다.

이와 같이 공간벡터 $\vec{a}$를 $\vec{b}$와 $\vec{c}$의 합으로 쪼개는 아이디어는 Space 3.3)에서 배운 `수선의 발을 내리는 상황'과 맥락이 동일합니다. 이 아이디어는 이후 Special에서 다양한 최대·최소를 구할 때 요긴하게 쓰이고, 문제풀이에 상당히 많이 이용되므로 꼭 익히도록 합시다.

공간도형을 공간벡터로, 공간벡터를 공간도형으로

공간도형 문제를 풀 때, 주어진 상황을 모조리 공간벡터로 해석하면 공간벡터 문제가 됩니다. 예를 들어 직직각, 직평각, 이면각, 정사영의 길이나 넓이 등을 구할 때 방향벡터 또는 법선벡터를 설정하여 풀이하는 것이 가능합니다. 이렇게 방향벡터 또는 법선벡터를 이용하면 아무리 복잡한 상황이더라도 헷갈릴 위험 없이 깔끔하게 풀이할 수 있으므로, 공간도형의 방법만으로는 풀이하기 힘들 때 유용할 것입니다.

반대로 공간벡터 문제를 풀어가는 과정에서 Space 3.1)에서 배운 기본 명제들을 활용하며 전개해나갈 수도 있습니다. 심지어 공간벡터를 사용하지 않고 공간도형만으로 문제를 풀이할 수 있는 경우도 있습니다. 그런 특별한 경우가 아니더라도 공간도형의 개념을 사용할 수 있는 경우가 많은데, 대표적인 예로 삼수선의 정리가 있습니다. 공간벡터는 항상 좌표공간에서의 상황으로 나타낼 수 있으므로, 좌표축이나 $xy$평면, $yz$평면, $zx$평면 등에 수선의 발을 내릴 수 있는 경우가 많아 삼수선의 정리를 사용하면 편리한 상황이 자주 나타납니다.

이처럼 공간도형과 공간벡터는 별개의 내용이 아니므로 공간도형 문제를 풀 때 공간벡터로도 접근해보고, 공간벡터 문제를 풀 때 공간도형의 아이디어를 사용해보기도 하는 것이 좋습니다. 어떤 경우에는 공간도형 문제를 공간벡터로 접근하는 것이 좋을지, 어떤 경우에는 공간벡터로 접근하는 것이 불리한지 등을 스스로 고민해보는 것도 좋을 것입니다.

이제 지금까지 배우지 않았던 여러가지 공간에서의 상황을 공간벡터로 해석해보겠습니다.

공간에서의 점과 직선 사이의 거리 구하기

점과 직선 사이의 거리

(a)와 같이 $\xyz[P]{x_1}{y_1}{z_1}$와 $ l\::\: \dfrac{x-x_2}{a}=\dfrac{y-y_2}{b}=\dfrac{z-z_2}{c}$가 만나지 않을 때, $\mrm{P}$와 $l$ 사이의 거리 $d$는 주어진 직선에 수직인 직선을 이용하여 구합니다. (b)와 같이 점 $\mrm{P}$를 지나고 방향벡터가 $\vec{u}$이며 $\vec{u}\bcd\xyz{a}{b}{c}=0$을 만족시키는 직선 $m$을 설정한 후, $l$과 $m$의 교점을 $\mrm{Q}$라 하면 $\mrm{Q}$는 $\mrm{P}$에서 $l$에 내린 수선의 발입니다. 따라서 $d = \ovr{PQ}$입니다.

공간에서의 `직선의 방정식'에서 한 성분을 생략하면

그 직선을 포함한 평면의 방정식
$l : \dfrac{x-x_1}{a} = \dfrac{y-y_1}{b} = \dfrac{z-z_1}{c}$에서 $z$와 관련된 식을 생략하면 \[\begin{align*}\dfrac{x-x_1}{a} = \dfrac{y-y_1}{b}\end{align*}\]입니다. 이를 정리하면 $b(x-x_1)-a(y-y_1)=0$이고, 이 식은 법선벡터가 $\xyz{b}{-a}{0}$이고 한 점 $\xyz{x_1}{y_1}{z_1}$을 지나는 평면의 방정식임을 알 수 있습니다. $l$은 이 평면에 포함되어 있으며, 이 평면은 그림과 같이 $xy$평면에 $\dfrac{x-x_1}{a} = \dfrac{y-y_1}{b}$이 나타내는 직선 $m$을 그린 후, $m$을 $z$축의 양의 방향과 음의 방향을 따라 움직이며 그려집니다.
그 직선의 좌표평면 위로의 정사영
한편 $l$과 $m$의 관계를 생각해보면, $m$의 방향벡터는 $l$의 방향벡터에서 $xy$평면($z=0$)에 강직인 성분($z$성분)을 $0$으로 만들고 $xy$평면에 포함된 성분만 남긴 것이므로, $l$의 $xy$평면 위로의 정사영이 $m$임을 알 수 있습니다.

방향벡터와 법선벡터로 직선과 평면의 위치관계 해석하기

두 직선의 위치관계
방향벡터가 각각 $\vec{u_1}$, $\vec{u_2}$인 두 직선 $l$, $m$과 $0$이 아닌 실수 $k$에 대하여 $\vec{u_1} = k\vec{u_2}$이면 두 직선은 평행하거나 일치합니다. 이때 $l$ 위의 한 점이 $m$ 위의 점이면 일치하고, $m$ 위의 점이 아니면 평행합니다.

임의의 실수 $k$에 대하여 $\vec{u_1} \ne k\vec{u_2}$이면 두 직선은 한 점에서 만나거나 꼬인 위치에 있습니다.

두 평면의 위치관계
법선벡터가 각각 $\vec{n_1}$, $\vec{n_2}$인 두 평면 $\alpha$, $\beta$와 $0$이 아닌 실수 $k$에 대하여 $\vec{n_1} = k\vec{n_2}$이면 두 평면은 평행하거나 일치합니다. 이때 $\alpha$ 위의 한 점이 $\beta$ 위의 점이면 일치하고, $\beta$ 위의 점이 아니면 평행합니다. $\vec{n_1} \ne k\vec{n_2}$이면, 즉 두 법선벡터가 평행하지 않으면 두 평면은 교선을 이룹니다.

직선과 평면의 위치관계
방향벡터가 $\vec{u}$인 직선 $l$과 법선벡터가 $\vec{n}$인 평면 $\alpha$에 대하여 $\vec{u} \bcd \vec{n} \ne 0$이면 $l$은 $\alpha$와 한 점에서 만납니다. $\vec{u} \ppd \vec{n}$이면, 즉 $\vec{u} \bcd \vec{n} = 0$이면 $l$은 $\alpha$에 포함되거나 평행합니다. 이때 $l$ 위의 한 점이 $\alpha$ 위의 점이면 포함되고, $\alpha$ 위의 점이 아니면 평행합니다.

꼬인 위치를 벡터로 해석하기

꼬인 위치에 있는 두 직선과 동시에 수직인 직선

꼬인 위치에 있는 두 직선 $l$, $m$에 대하여 $l$을 평행이동한 $l'$이 $m$과 한 점 $\mrm{P}$에서 만나도록 하면 $l'$과 $m$은 한 평면 $\alpha$를 결정합니다. 이때 $\alpha$의 법선벡터를 $\vec{n}$이라 하고, $l$, $m$의 방향벡터를 각각 $\vec{u_1}$, $\vec{u_2}$라 하면 $\vec{n}$은 $\alpha$에 강직이므로 $\alpha$에 포함된 모든 직선과 약직입니다. 따라서 $\vec{u_1} \ppd \vec{n}$, $\vec{u_2} \ppd \vec{n}$이므로 두 직선 $l$, $m$은 방향벡터가 $\vec{n}$인 직선과 수직입니다.

꼬인 위치에 있는 두 직선 사이의 거리
꼬인 위치에 있는 두 직선 $l$과 $m$은 한 평면 위에 있지 않지만 각각 법선벡터가 $\vec{n}$으로 같은 평면, 즉 서로 평행한 평면에 포함되어 있습니다. $l$, $m$을 포함하는 각각의 평면을 $\alpha$, $\beta$라 하고, $l$의 $\beta$ 위로의 정사영을 $l'$이라 하면 $l'$과 $m$은 한 점에서 만납니다. $l'$과 $m$의 교점을 $\mrm{P'}$이라 하고, $l$ 위의 점 중 $\beta$ 위로의 정사영이 $\mrm{P'}$인 점을 $\mrm{P}$라 할 때, $\ovr{PP'}$이 $l$과 $m$ 사이의 거리입니다.
  1. 1. 이 또한 직선 $l$의 방정식입니다.
  2. 2. 이때 $\vec{c} \prl \vec{n}$입니다.