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기본벡터와 준기본벡터

평면에서의 기본벡터는 고정벡터, 원벡터, 호벡터였습니다. 공간에서의 기본벡터는 무엇인지 알아보고, 기본벡터가 아님에도 매우 중요하게 다뤄지는 준기본벡터에는 무엇이 있는지를 알아봅시다.

공간에서의 기본벡터

공간에서의 기본벡터는 고정벡터, 구벡터, 돔벡터1여기서 돔은 `둥근 천장 구조'인 dome을 말합니다. 돔벡터를 설명할 때 `돔'이 정확히 무엇을 말하는 것인지 설명드리겠습니다.입니다. 평면에서의 원벡터, 호벡터의 역할은 각각 구벡터와 돔벡터가 대신하게 됩니다.
  1. 고정벡터 : 시점과 종점이 모두 정점
  2. 구벡터 : 시점은 구의 중심이고, 종점이 구 위를 움직이는 점
  3. 돔벡터 : 시점은 구의 중심이고, 종점은 그 구에 포함된 돔 위를 움직이는 점

고정벡터

$\mrm{A}$, $\mrm{B}$ 모두 정점일 때 $\vrm{AB}$를 고정벡터라 부르기로 합시다. 고정벡터는 크기와 방향이 일정합니다. 거꾸로, $\vec{a}$의 크기와 방향이 일정하면 $\vec{a}$는 고정벡터입니다.

구벡터

시점 $\mrm{A}$는 구의 중심, 종점 $\mrm{B}$는 구 위를 움직이는 점일 때 $\vrm{AB}$를 구벡터라 부르기로 합시다. 구벡터의 크기는 구의 반지름으로 일정하고, 방향은 자유롭게 설정할 수 있습니다. 거꾸로, 벡터 $\vec{a}$의 크기는 일정하고 방향은 자유롭게 설정할 수 있다면 $\vec{a}$는 구벡터입니다.

그림과 같이 종점이 구의 중심이고 시점이 구 위를 움직이는 벡터도 구벡터입니다. 시점이 구의 중심에 놓이도록 평행이동하면 구벡터가 되기 때문입니다.

돔벡터

돔벡터를 설명하기 이전에 구결(spherical cap, spherical dome)에 대해 설명하겠습니다.

구결이란 `구와 평면이 만나서 구가 잘린 두 개의 부분 중 반구보다 크지 않은 부분'을 말합니다. 이 도형 자체가 교육과정 외인 것은 아니지만, 교육과정에선 이 도형의 이름을 정의하지 않았습니다. 따라서 많은 학생들에게 용어가 생소하므로, 이 책에서는 `구결'을 돔이라 부르기로 하고, 앞으로 구결이라는 용어는 사용하지 않도록 합시다.

정리하면, 돔이란 `구와 평면이 만나서 구가 잘린 두 개의 부분 중 반구보다 크지 않은 부분'을 말합니다. 이때 구와 평면이 만나서 생긴 도형(교선이자 원)을 돔의 밑면이라 부르기로 하고 돔의 밑면을 제외한 돔의 나머지 부분을 돔의 옆면이라 부르기로 합시다. 이를 등식으로 나타내면 다음과 같습니다. \[\begin{align*}\text{돔} =\text{(`돔의 밑면'인 `원')} + \text{(`돔의 옆면'인 `구면의 일부')}\end{align*}\]

시점 $\mrm{A}$는 구의 중심, 종점 $\mrm{B}$는 그 구에 포함된 돔 위를 움직이는 점일 때 $\vrm{AB}$를 돔벡터라 부르기로 합시다. 돔벡터의 크기는 구의 반지름으로 일정하고, 방향은 제한된 범위 내에서2여기서 말하는 제한된 범위가 정확히 어떤 것인지는 `돔벡터와 콘벡터의 연관성'에서 설명하겠습니다. 설정할 수 있습니다. 거꾸로, 벡터 $\vec{a}$의 크기는 일정하고 방향은 제한된 범위 내에서 설정할 수 있다면 $\vec{a}$는 돔벡터입니다.

그림과 같이 종점이 구의 중심이고 시점이 그 구에 포함된 돔 위를 움직이는 벡터, 즉 돔벡터의 역벡터는 평행이동하면 또다른 돔벡터를 나타냅니다. 단, 구벡터처럼 완전히 동일한 상황이 되는 것이 아니라 서로 마주보는 형태의 돔이 되므로 주의해야 합니다.

주어진 벡터를 기본벡터로 나타내기

문제에서 주어지는 벡터들이 모두 기본벡터인 것은 아닙니다. 따라서 필요하다면 주어진 벡터를 적당히 쪼개어 기본벡터의 합 또는 차로 나타내어야 합니다.
시점과 종점 중 하나가 어떤 구 위를 움직이는 벡터는 그 구의 중심을 이용하여 두 개의 벡터로 쪼개는 것이 좋습니다. 이렇게 쪼개면 구벡터 $1$개를 얻을 수 있기 때문에 편리합니다. 만약 시점과 종점이 각각 다른 두 구 위의 점이라면 각 구의 중심을 이용하여 세 개의 벡터로 쪼개면 구벡터 $2$개를 얻을 수 있습니다.
시점과 종점 중 하나가 어떤 돔 위를 움직이는 벡터는 그 돔을 포함하는 구의 중심을 이용하여 두 개의 벡터로 쪼개는 것이 좋습니다. 이렇게 쪼개면 돔벡터 $1$개를 얻을 수 있기 때문에 편리합니다. 만약 시점과 종점이 각각 중심이 다른 두 돔 위의 점이라면 각각의 돔을 포함하는 구의 중심을 이용하여 세 개의 벡터로 쪼개면 돔벡터 $2$개를 얻을 수 있습니다.

공간에서의 준기본벡터

공간에서의 기본벡터가 아님에도 매우 중요하게 다뤄지는 벡터를 준기본벡터라고 부르기로 합시다. 준기본벡터에는 원벡터와 콘벡터3여기서 콘은 원뿔을 의미하는 cone입니다. 아이스크림 콘이나 꼬깔콘의 고깔 모양을 생각하면 됩니다. 두 가지가 있습니다. 실제로 기본벡터인 돔벡터를 다룬 기출문제는 단 하나에 불과한데 반해, 준기본벡터인 원벡터와 콘벡터를 다룬 문제는 상당히 많습니다.

원벡터

평면벡터에서와 마찬가지로, 어떤 평면에 포함된 원의 중심을 시점으로 하고 그 원 위를 움직이는 점을 종점으로 하는 벡터를 원벡터라고 부르기로 합시다. 원이 한 평면을 결정하므로, 원벡터는 항상 한 평면 위에 있습니다. 따라서 원벡터와 연관된 상황에서는 항상 원벡터를 포함한 평면을 고려하며 풀이를 진행하는 것이 편리합니다.

콘벡터

어떤 원뿔4여기서는 직원뿔, 즉 꼭짓점의 밑면 위로의 정사영이 밑면의 중심과 동일한 경우만을 다룹니다.의 꼭짓점을 시점으로 하고 종점이 그 원뿔의 밑면인 원 위를 움직이는 벡터를 콘벡터라고 부르기로 합시다. 또한 원뿔의 꼭짓점을 시점으로 하고 원뿔의 밑면의 중심을 종점으로 하는 고정벡터를 높이벡터라고 부르기로 합시다. 콘벡터는 다음과 같은 특징이 있으며, 거꾸로 다음의 특징을 갖는 벡터는 콘벡터입니다.

  • 크기가 원뿔의 모선의 길이로 일정하다.
  • 높이벡터와의 사잇각이 일정하다.

    • 그림과 같이 종점이 원뿔의 꼭짓점이고, 시점이 원뿔의 밑면 위를 움직이는 벡터, 즉 콘벡터의 역벡터는 평행이동하면 또다른 콘벡터를 나타냅니다. 돔벡터에서와 마찬가지로 서로 마주보는 형태의 원뿔이 되므로 주의해야 합니다.

    기본벡터와 준기본벡터 사이의 관계

    기본벡터와 준기본벡터의 공통점 : 크기 일정

    고정벡터, 콘벡터, 원벡터의 연관성

    `크기가 일정한 벡터 $\vec{a}$'와 `고정벡터 $\vec{b}$'의 사잇각을 $\theta$ $(0 \le \theta \le \pi)$라 합시다. $\theta$가 어떤 값을 갖는지에 따라 $\vec{a}$가 어떤 (준)기본벡터인지 알아보겠습니다.
    1. $\theta=0$이면 $\vec{a}$는 $\vec{b}$와 방향이 동일한 고정벡터입니다.
    2. $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$이면 $\vec{a}$는 콘벡터입니다.
    3. $\theta=\dfrac{\pi}{2}$이면 $\vec{a}$는 원벡터입니다.
    4. $\dfrac{\pi}{2} < \theta <\pi$이면 $\vec{a}$는 콘벡터입니다.5이때는 $0 < \theta < \tfrac{\pi}{2}$일 때의 역벡터가 됩니다. 앞서 콘벡터의 역벡터는 반대 방향의 콘벡터가 됨을 배운 바 있습니다.
    5. $\theta=\pi$이면 $\vec{a}$는 $\vec{b}$와 방향이 반대인 고정벡터입니다.

    따라서 고정벡터, 콘벡터, 원벡터는 다음과 같은 공통점이 있음을 알 수 있습니다.

  • 크기가 일정하다.
  • 어떤 고정벡터 $\vec{b}$와의 사잇각이 일정하다.
    (고정벡터는 $0$ 또는 $\pi$, 콘벡터는 예각 또는 둔각, 원벡터는 직각.)

    • 돔벡터와 콘벡터의 연관성, 돔각과 콘각의 관계

    중심이 $\mrm{O}$인 구 $S$에 포함된 돔 위를 움직이는 점을 $\mrm{P}$, 돔의 밑면의 중심을 $\mrm{H}$, 돔의 밑면 위를 움직이는 점을 $\mrm{Q}$라 합시다. $\vrm{OP} = \vec{p}$, $\vrm{OQ}=\vec{q}$, $\vrm{OH} = \vec{h}$라 할 때, $\vec{p}$, $\vec{q}$, $\vec{h}$는 각각 돔벡터, 콘벡터, 높이벡터입니다.

    이때 중심이 $\mrm{H}$이고 반지름이 $\mrm{HQ}$인 원은 돔벡터 $\vec{p}$의 종점이 움직이는 돔의 밑면이므로, 이 원을 돔벡터 $\vec{p}$의 밑면이라 부르기로 합시다. 또한 이 원은 콘벡터 $\mrm{p}$의 종점이 움직이는 원뿔의 밑면이기도 하므로, 이 원을 콘벡터 $\vec{q}$의 밑면이라 부르기로 합시다.

    이때 $\vec{q}$와 $\vec{h}$의 사잇각을 $\alpha$ $(0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2})$6$\alpha=0$이거나 $\alpha=\tfrac{\pi}{2}$이면 원뿔이 정의되지 않으므로 $\vec{q}$가 정의되지 않습니다.라 할 때, 콘벡터의 성질에 의해 $\alpha$는 일정한 값을 갖습니다. 이 일정한 값 $\alpha$를 콘각이라 부르기로 합시다.
    한편 $\vec{p}$와 $\vec{h}$의 사잇각을 $\beta$라 하면, $\vec{p}$의 종점 $\mrm{P}$가 돔의 밑면에 위치할 때는 $\beta=\alpha$이고, 돔의 옆면에 위치할 때는 $0 \le \beta < \alpha$입니다. 따라서 $\vec{p}$와 $\vec{h}$의 사잇각 $\beta$는 구간 $[0, \alpha]$ 사이의 모든 값을 가질 수 있습니다. 이 범위로 나타나는 값 $\beta$를 돔각이라 부르기로 합시다.
    $\vec{p}$의 돔각 $\beta$와 $\vec{q}$의 콘각 $\alpha$에 대하여 $\beta$의 범위가 $0 \le \beta \le \alpha$임을 해석하면, 돔벡터는 `서로 다른 여러 개의 콘벡터'를 한꺼번에 나타낸 것이라고 볼 수도 있습니다. 그림과 같이 $\beta$의 값이 $\beta=0$에서 $\beta=\alpha$에 이르기까지 점점 증가함에 따라 층층이 나타나는 원7단 $\beta=0$일 때에는 콘벡터가 아니라 고정벡터이므로 한 점을 나타냅니다.이 모여 돔이 그려짐을 알 수 있습니다.
    1. 1. 여기서 돔은 `둥근 천장 구조'인 dome을 말합니다. 돔벡터를 설명할 때 `돔'이 정확히 무엇을 말하는 것인지 설명드리겠습니다.
    2. 2. 여기서 말하는 제한된 범위가 정확히 어떤 것인지는 `돔벡터와 콘벡터의 연관성'에서 설명하겠습니다.
    3. 3. 여기서 콘은 원뿔을 의미하는 cone입니다. 아이스크림 콘이나 꼬깔콘의 고깔 모양을 생각하면 됩니다.
    4. 4. 여기서는 직원뿔, 즉 꼭짓점의 밑면 위로의 정사영이 밑면의 중심과 동일한 경우만을 다룹니다.
    5. 5. 이때는 $0 < \theta < \tfrac{\pi}{2}$일 때의 역벡터가 됩니다. 앞서 콘벡터의 역벡터는 반대 방향의 콘벡터가 됨을 배운 바 있습니다.
    6. 6. $\alpha=0$이거나 $\alpha=\tfrac{\pi}{2}$이면 원뿔이 정의되지 않으므로 $\vec{q}$가 정의되지 않습니다.
    7. 7. 단 $\beta=0$일 때에는 콘벡터가 아니라 고정벡터이므로 한 점을 나타냅니다.