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평면벡터와 동일한 아이디어로 공간벡터 다루기

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평면벡터에서 배운 내용을 정리해봅시다.

최대·최소 : 사잇각을 이용해 해석
1. 두 개 : 내적, `합의 크기'의 최대·최소
2. 세 개 이상 : `합의 크기'의 최대·최소 (원벡터와 고정벡터에 한함)
최대·최소 : 도형을 이용하여 해석
1. 직선이 등장하는 경우의 합의 크기 : `합치기 : 덧셈' 이용
2. 시점이 일치하지 않는 경우의 내적 : 수선의 발
성분화 : 성분화를 통하여 주어진 상황이나 계산을 간단히 할 수 있음

이 내용을 동일하게 이용하거나, 더 확장하여 다룰 수 있는 공간에서의 최대·최소를 탐구해봅시다.

(준)기본벡터 사이의 `내적' 또는 `합의 크기'의 최대·최소

공간에서 기본벡터와 준기본벡터는 크기가 일정하다는 공통점이 있습니다. 따라서 두 벡터의 사잇각만 알면 (준)기본벡터¹ 사이의 `합의 크기'나 `내적'을 구할 수 있습니다.

두 개의 (준)기본벡터

두 (준)기본벡터의 사잇각 $\theta$만 알면 기본벡터와 기본벡터, 기본벡터와 준기본벡터, 준기본벡터와 준기본벡터 사이의 `내적' 또는 `합의 크기'의 최대·최소를 구할 수 있습니다. Vector 2.5)에서와 동일하게 $\theta$가 최대일 때 `내적'과 `합의 크기'는 최소가 되고, $\theta$가 최소일 때 `내적'과 `합의 크기'는 최대가 됩니다.

이는 (준)기본벡터 사이에서 예외없이 적용되지만, 공간에서 다루다 보니 최대·최소의 상황이 어느 때인지 파악하기 곤란한 경우가 있습니다. 그러한 사례는 3, 4, 5에서 더 깊게 공부해보도록 합시다.

$n$개의 벡터가 각각 구벡터 또는 고정벡터일 때의 `합의 크기'의 최대·최소

Vector 2.5)에서 배운 $n$개의 벡터가 원벡터 또는 고정벡터일 때의 `합의 크기'의 최대·최소와 동일합니다.

도형을 이용한 해석 : `합의 크기'

평면벡터에서는 종점이 직선 또는 선분 위를 움직이는 경우에서 `합의 크기'의 최대·최소를 다루었습니다. 공간벡터에서도 동일한 방법으로 종점이 `직선' 또는 `선분' 위를 움직일 때 최댓값과 최솟값을 구할 수 있습니다.

공간벡터에서는 추가적으로 종점이 `평면' 또는 `평면의 일부' 위를 움직이는 점에 대하여 최댓값과 최솟값을 구할 수 있습니다.

도형을 이용한 해석 : `내적'

평면벡터에서는 시점과 종점의 수선의 발을 이용하여 내적의 최대·최소를 구하였습니다. 공간벡터에서도 동일한 방법으로 내적의 최대·최소를 구할 수 있습니다.

공간벡터의 성분화

Vector 2.6)의 `성분화'에서 언급했듯이 성분화는 공간벡터에서 더 빛을 발합니다. 공간벡터에서 성분화가 편리한 예시를 설명하도록 합시다.

$\text{[math]}$

그림과 같이 중심의 좌표가 $(4,\: 4,\: 4)$이고 반지름이 $2\sqrt3$인 구 $S$에 대하여 직선 $x+y=0$, $z=0$을 포함하고 $S$와 접하는 두 평면을 각각 $\alpha$, $\beta$라 합시다. $\alpha$와 $\beta$의 법선벡터는 각각 $(1, \: 1, \: -8+3\sqrt{6})$, $(1, \: 1, \: -8-3\sqrt{6})$입니다.²

$\text{[math]}$

이때 주어진 상황을 Space 2.2)에서 배웠듯이 간단히 나타내면 그림과 같은데, 이 상황에서 기준벡터를 새로이 설정하면 $\alpha$, $\beta$의 법선벡터를 각각 $(0,\: 0,\: 1)$, $(0,\: \sqrt{3},\: -1)$로 설정할 수 있습니다. 이처럼 기준벡터를 새로이 설정하면 주어진 상황에서 법선벡터를 구하는 것보다 훨씬 간결한 계산으로 풀이를 진행할 수 있습니다.

1. 앞으로 기본벡터와 준기본벡터를 함께 일컬을 때 `(준)기본벡터'라 칭하겠습니다.
2. 이 두 벡터를 어떻게 구하는지는 스스로 해결해보시기 바랍니다. 잘 되지 않을 경우 ggultam.com에 방문하여 질문해주세요.