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섹션 4

\mychapter(준)기본벡터 사이의 최대·최소 (비교적 간단) 2에서 배웠듯이 기본벡터와 준기본벡터는 크기가 일정하므로 두 벡터의 사잇각 $\theta$만 알면 기본벡터와 기본벡터, 기본벡터와 준기본벡터, 준기본벡터와 준기본벡터 사이의 `내적' 또는 `합의 크기'의 최대·최소를 구할 수 있습니다. 이는 (준)기본벡터 사이에서 예외없이 적용됩니다.

그러나, 공간에서 다루다보니 최대·최소의 상황이 어느 때인지 파악하기 곤란한 경우가 있습니다. (준)기본벡터 사이의 관계를 표로 정리해봅시다. 표에서 O로 표시된 것은 사잇각을 구하기 쉬운 경우이고, ?로 표시된 것은 사잇각을 구하기 어려운 경우입니다.

& 고정벡터 & 구벡터 & 돔벡터 & 원벡터 & 콘벡터
고정벡터 & O & O & ? & ? & ?
구벡터 & O & O & O & O & O
돔벡터 & ? & O & ? & ? & ?
원벡터 & ? & O & ? & ? & ?
콘벡터 & ? & O & ? & ? & ?

고정벡터와 고정벡터의 사잇각은 쉽게 구할 수 있습니다. 구벡터의 경우 방향을 자유롭게 설정할 수 있으므로, 그 어떤 (준)기준벡터와의 관계를 따지더라도 사잇각 $\theta$ $(0\le \theta_m \le \theta \le \theta_M \le \pi)$를 $\theta_m=0$, $\theta_M = \pi$가 되도록 할 수 있음을 쉽게 알 수 있습니다.

그러나 다른 (준)기본벡터 사이의 관계를 따질 때에는 `어느 상황에서 $\theta$가 최대 또는 최소가 되는지', `$\theta_M$과 $\theta_m$의 값은 얼마인지'를 곧바로 파악하기 어려울 수 있습니다.1이를 곧잘 파악하는 학생들도 감각, 직관, 경험으로 찍었을 뿐, 논리적인 근거를 제시하지 못하는 경우가 많습니다.

따라서 3, 4, 5에서는 (준)기본벡터 사이의 각의 최대·최소를 알아보겠습니다. 난이도에 따라 분류해보면 다음과 같으며, 쉬운 경우부터 차례대로 살펴봅시다.

  1. 3 비교적 간단한 경우
    원벡터와 원벡터, 고정벡터와 원벡터, 고정벡터와 콘벡터, 고정벡터와 돔벡터
  2. 4 비교적 어려운 경우(두 벡터가 한 구를 결정할 때)
    콘벡터와 콘벡터, 돔벡터와 돔벡터, 돔벡터와 콘벡터
  3. 5 매우 어려운 경우(두 벡터가 한 구를 결정하지 않을 때)
    콘벡터와 콘벡터, 원벡터와 콘벡터, 돔벡터와 돔벡터, 돔벡터와 콘벡터, 돔벡터와 원벡터

원벡터와 원벡터

평행하지 않고 서로 다른 두 평면 $\alpha$, $\beta$에 대하여2두 평면이 서로 평행하면, 한 벡터를 다른 벡터와 같은 평면 위에 있도록 평행이동하면 평면벡터와 동일한 상황이 됩니다. 두 평면이 서로 같으면, 두 원벡터가 한 평면 위에 있으므로 평면벡터와 동일한 상황이 됩니다. $\alpha$ 위에 중심이 $\mrm{A}$인 원 $C_1$이 있고, $\beta$ 위에 중심이 $\mrm{B}$인 원 $C_2$가 있을 때, $\vrm{AP}$와 $\vrm{BQ}$의 사잇각을 $\theta$ $(0\le \theta_m \le \theta \le \theta_M \le \pi)$라 합시다. 이때 $\av{\vrm{AP}+\vrm{BQ}}$, $\vrm{AP} \bcd \vrm{BQ}$의 최대·최소를 알아봅시다.

그러면 그림과 같이 각 원의 중심을 지나고 교선과 평행한 직선이 각 원과 만나는 점을 이용하면 두 벡터 $\vrm{AP}$, $\vrm{BQ}$의 방향이 동일하도록 또는 반대가 되도록 할 수 있습니다. 따라서 $\theta_m =0$, $\theta_M = \pi$입니다. 한편 `내적'의 최댓값과 최솟값을 함께 표현하면 $\pm\avr{AP}\avr{BQ}$이고, `합의 크기'의 최댓값과 최솟값은 각각 $\avr{AP} + \avr{BQ}$, $\abs{\avr{AP} - \avr{BQ}}$입니다.

고정벡터와 원벡터

$\alpha$ 위에 있지 않은3두 점이 모두 평면 $\alpha$ 위에 있으면 평면벡터의 상황이 됩니다. $\mrm{A}$와 $\mrm{B}$ 중에서 한 점이 평면 $\alpha$ 위에 있는 것은 괜찮습니다. 두 정점 $\mrm{A}$, $\mrm{B}$와 평면 $\alpha$ 위의 원 $C$, 원의 중심 $\mrm{O}$, 원 $C$ 위를 움직이는 점 $\mrm{P}$에 대하여 $\vrm{AB}$와 $\vrm{OP}$가 이루는 각의 크기를 $\theta$ $(0\le \theta_m \le \theta \le \theta_M \le \pi)$라 할 때, $\av{\vrm{AB}+\vrm{OP}}$와 $\vrm{AB} \bcd \vrm{OP}$의 최대·최소를 알아봅시다.

그림과 같이 원 $C$의 중심이 $\mrm{A}$가 되도록 평행이동한 것을 $C'$이라 하고, $\mrm{P}$가 평행이동된 점을 $\mrm{P'}$이라 할 때, $\vrm{AP'}$의 방향을 $\vrm{A'B'}$와 동일하도록 하면 $\theta$의 최솟값 $\theta_m$을 얻고, 이는 $\vrm{AB}$와 $\alpha$가 이루는 각의 크기와 동일합니다. 마찬가지로 $\vrm{AP'}$의 방향을 $\vrm{A'B'}$와 반대가 되도록 하면 $\theta$의 최댓값 $\theta_M$을 얻고, 이는 $\pi$에서 $\vrm{AB}$와 $\alpha$가 이루는 각의 크기인 $\theta_m$을 뺀 값과 동일합니다.4증명은 부록에 수록하였습니다.

고정벡터와 콘벡터 : `고정벡터와 원벡터'의 방법으로 해석하기

고정벡터 $\vec{a}$, 콘벡터 $\vec{b}$의 사잇각을 $\theta$ $(0\le \theta_m \le \theta \le \theta_M \le \pi)$라 할 때, $\av{\vec{a} + \vec{b}}$와 $\vec{a}\bcd\vec{b}$의 최대·최소를 알아봅시다.

콘벡터 $\vec{b}$의 밑면인 원 $C$를 포함하는 평면을 $\alpha$라 할 때, `고정벡터와 원벡터'에서와 같이 $\vec{a}$, $\vec{b}$를 각각 `$\alpha$와 강직인 벡터'인 $\vec{a_1}$, $\vec{b_1}$과 `$\alpha$와 평행한 벡터'인 $\vec{a_2}$, $\vec{b_2}$로 쪼개면 $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$, $\vec{b_1}$은 고정벡터이고, $\vec{b_2}$는 원벡터입니다.
그러면 그림과 같이 원 $C$의 중심이 $\mrm{A}$가 되도록 평행이동한 것을 $C'$이라 할 때, $\vec{b_2}$의 방향을 $\vec{a_2}$와 동일하도록 하면 $\theta$의 최솟값 $\theta_m$을 얻습니다. 마찬가지로 $\vec{b_2}$의 방향을 $\vec{a_2}$와 반대가 되도록 하면 $\theta$의 최댓값 $\theta_M$을 얻습니다.5증명은 부록에 수록하였습니다.

그러나 이 방법만으로는 $\theta_M$, $\theta_m$의 값을 곧바로 구하기 어렵고, 매번 두 벡터를 쪼개야 하는 번거로움이 있습니다. 따라서 이 방법으로 얻은 결과를 역이용하여 `고정벡터와 콘벡터의 사잇각'을 쉽게 구하는 방법을 알아보겠습니다.

고정벡터와 콘벡터 : 높이벡터와의 사잇각을 이용해 해석하기

콘벡터 $\vec{b}$의 높이벡터 $\vec{h}$에 대하여 $\vec{h}$와 $\vec{a}$의 사잇각을 $\theta_1$ ($0 \le \theta_1 \le \pi$), $\vec{h}$와 $\vec{b}$의 사잇각을 $\theta_2$ $\left(0 < \theta_2 < \dfrac{\pi}{2}\right)$라 합시다. $\theta_1$과 $\theta_2$의 대소관계에 따라 다음과 같이 네 가지 경우가 있습니다. 앞서 공부했듯이, 어느 경우든 $\vec{a_2}$와 $\vec{b_2}$가 방향이 동일하도록 하면 $\theta_m$을 얻고, 방향이 반대이도록 하면 $\theta_M$를 얻을 것입니다.
  1. $\theta_1 < \theta_2$인 경우, $\theta_m = \theta_2 - \theta_1$, $\theta_M = \theta_1 + \theta_2$입니다.

  2. $\theta_1 = \theta_2$인 경우, $\theta_m = \theta_2 - \theta_1 = 0$, $\theta_M = \theta_1 + \theta_2 = 2\theta_1$입니다.6$\theta_1 = \theta_2$이므로 $\theta_M = 2\theta_2$라 해도 무방합니다.

  3. $\theta_2 < \theta_1 < \pi - \theta_2 $인 경우, $\theta_m = \theta_1 - \theta_2$, $\theta_M = \theta_1 + \theta_2$입니다.

  4. $\theta_1 = \pi - \theta_2$인 경우7$\theta_1 + \theta_2=\pi$인 경우이므로 두 벡터의 방향이 서로 반대입니다., $\theta_m = \theta_1 - \theta_2$, $\theta_M = \pi$입니다.

  5. $\pi - \theta_2 < \theta_1 \le \pi$인 경우, $\theta_m = \theta_1 - \theta_2$, $\theta_M = 2\pi-(\theta_1 + \theta_2)$입니다.8주어진 상황에서 $\theta_1 + \theta_2 > \pi$입니다. 그런데 두 벡터의 사잇각은 $\pi$보다 클 수 없습니다. 따라서 두 벡터의 사잇각은 $2\pi - (\theta_1 + \theta_2)$입니다.

정리하면, 고정벡터와 콘벡터의 사잇각인 $\theta$의 최솟값 $\theta_m$, 최댓값 $\theta_M$은 `고정벡터와 높이벡터의 사잇각'인 $\theta_1$과 `콘각'인 $\theta_2$만으로 다음과 같이 간단히 구할 수 있습니다. \[\begin{align*} \theta_m = |\theta_1 - \theta_2|, \quad\quad \theta_M= \begin{cases} \theta_1 + \theta_2& (\theta_1 + \theta_2 \le \pi) \\ 2\pi - (\theta_1 + \theta_2) & (\theta_1 + \theta_2 > \pi) \end{cases} \end{align*}\]

고정벡터와 돔벡터

고정벡터 $\vec{a}$, 돔벡터 $\vec{b}$의 사잇각을 $\theta$ $(0\le \theta_m \le \theta \le \theta_M \le \pi)$라 할 때, $\vec{a}\bcd\vec{b}$와 $\av{\vec{a} + \vec{b}}$의 최대·최소를 알아내기 위해서는 $\theta_m$과 $\theta_M$을 알아내면 됩니다.

`돔벡터와 콘벡터의 연관성'에서 배웠듯이 돔벡터는 여러 개의 콘벡터가 층층이 쌓여 있는 것과 같으므로, 사잇각 $\theta$의 최대·최소는 돔벡터를 이루고 있는 콘벡터 중에서 적절한 것을 택하여 구하면 됩니다.

돔벡터 $\vec{b}$의 높이벡터 $\vec{h}$에 대하여 $\vec{h}$와 $\vec{a}$의 사잇각을 $\theta_1$ ($0 \le \theta_1 \le \pi$), $\vec{h}$와 $\vec{b}$의 사잇각(돔각)을 $\theta_2$ $\left(0 \le \theta_2 \le \alpha \le \dfrac{\pi}{2}\right)$9$\theta_2$의 최댓값인 $\alpha$에 대하여 $0< \alpha < \tfrac{\pi}{2}$이면 $\vec{b}$는 돔벡터입니다. $\alpha=\tfrac{\pi}{2}$이면 종점이 반구 위를 움직이는 돔벡터가 됩니다.라 하겠습니다. `고정벡터와 콘벡터'에서와 동일하게 $\theta_m$, $\theta_M$을 구하면 다음과 같습니다.

  1. $\theta_1 < \alpha$인 경우, $\theta_2 = \theta_1$이 되도록 잡으면 $\vec{a}$와 $\vec{b}$의 방향이 동일하도록 할 수 있습니다. 따라서 $\theta_m = 0$입니다. 한편 $\theta_M = \theta_1 + \alpha$입니다.

  2. $\theta_1 = \alpha$인 경우, $\theta_m = \theta_1 - \alpha = 0$, $\theta_M = \theta_1 + \alpha = 2\theta_1$입니다.10$\theta_1 = \alpha$이므로 $\theta_M = 2\alpha$라 해도 무방합니다.

  3. $\alpha < \theta_1 < \pi - \alpha $인 경우, $\theta_m = \theta_1 - \alpha$, $\theta_M = \theta_1 + \alpha$입니다.

  4. $\theta_1 = \pi - \alpha$인 경우, $\theta_m = \theta_1 - \alpha$, $\theta_M = \pi$입니다.

  5. $\pi - \alpha < \theta_1 \le \pi$인 경우, $\theta_m = \theta_1 - \alpha$입니다. 한편 $\theta_2 = \pi - \theta_1$이 되도록 잡으면 $\vec{a}$와 $\vec{b}$의 방향이 반대가 되도록 할 수 있습니다. 따라서 $\theta_M = \pi$입니다

정리하면, 고정벡터와 돔벡터의 사잇각인 $\theta$의 최솟값 $\theta_m$, 최댓값 $\theta_M$은 $\theta_1$과 $\alpha$만으로 다음과 같이 간단히 구할 수 있습니다. \[\begin{align*} \theta_m= \begin{cases} 0 & (\theta_1 \le \alpha)\\ \theta_1 - \alpha & (\theta_1 > \alpha) \end{cases} \quad\quad \theta_M= \begin{cases} \theta_1 + \alpha& (\theta_1 + \alpha \le \pi) \\ \pi & (\theta_1 + \alpha > \pi) \end{cases} \end{align*}\]

  1. 1. 이를 곧잘 파악하는 학생들도 감각, 직관, 경험으로 찍었을 뿐, 논리적인 근거를 제시하지 못하는 경우가 많습니다.
  2. 2. 두 평면이 서로 평행하면, 한 벡터를 다른 벡터와 같은 평면 위에 있도록 평행이동하면 평면벡터와 동일한 상황이 됩니다. 두 평면이 서로 같으면, 두 원벡터가 한 평면 위에 있으므로 평면벡터와 동일한 상황이 됩니다.
  3. 3. 두 점이 모두 평면 $\alpha$ 위에 있으면 평면벡터의 상황이 됩니다. $\mrm{A}$와 $\mrm{B}$ 중에서 한 점이 평면 $\alpha$ 위에 있는 것은 괜찮습니다.
  4. 4. 증명은 부록에 수록하였습니다.
  5. 5. 증명은 부록에 수록하였습니다.
  6. 6. $\theta_1 = \theta_2$이므로 $\theta_M = 2\theta_2$라 해도 무방합니다.
  7. 7. $\theta_1 + \theta_2=\pi$인 경우이므로 두 벡터의 방향이 서로 반대입니다.
  8. 8. 주어진 상황에서 $\theta_1 + \theta_2 > \pi$입니다. 그런데 두 벡터의 사잇각은 $\pi$보다 클 수 없습니다. 따라서 두 벡터의 사잇각은 $2\pi - (\theta_1 + \theta_2)$입니다.
  9. 9. $\theta_2$의 최댓값인 $\alpha$에 대하여 $0< \alpha < \tfrac{\pi}{2}$이면 $\vec{b}$는 돔벡터입니다. $\alpha=\tfrac{\pi}{2}$이면 종점이 반구 위를 움직이는 돔벡터가 됩니다.
  10. 10. $\theta_1 = \alpha$이므로 $\theta_M = 2\alpha$라 해도 무방합니다.