기하 > 공간에서의 벡터

섹션 5

\mychapter(준)기본벡터 사이의 최대·최소 2 : 비교적 어려움 콘벡터와 콘벡터, 돔벡터와 돔벡터, 돔벡터와 콘벡터의 `내적' 또는 `합의 크기'의 최대·최소는 고정벡터가 없고, 두 벡터의 종점이 모두 움직이고 있기 때문에 앞서 다룬 것보다 더 복잡합니다. 그 중 두 벡터의 크기가 $r$로 같은 경우라면, 여전히 어렵기는 하지만 그나마 다루기가 수월한 편입니다. 이는 두 벡터의 시점을 $\mrm{O}$로 일치시키면 두 벡터의 종점은 모두 `중심이 $\mrm{O}$이고 반지름이 $r$인 구' 위를 움직이기 때문입니다. 이러한 상황은 수능 고난도 문제에 자주 등장한 주제이므로 함께 다루어봅시다.

콘벡터와 콘벡터

그림과 같이 두 평면 $\alpha$, $\beta$가 중심이 $\mrm{O}$이고 반지름이 $r$인 구 $S$와 만날 때, 구 $S$가 두 평면 $\alpha$, $\beta$와 만나서 생기는 원을 각각 $C_1$, $C_2$라 합시다. 또한 원 $C_1$, $C_2$의 중심을 각각 $\mrm{A}$, $\mrm{B}$라 합시다. 이때 $C_1$ 위의 점 $\mrm{P}$와 $C_2$ 위의 점 $\mrm{Q}$에 대하여 $\vrm{OP}$, $\vrm{OQ}$는 각각 콘벡터입니다.

한편 $C_1$과 $C_2$의 위치관계는 두 가지입니다. 하나는 만나는 경우이고, 다른 하나는 만나지 않는 경우입니다.

$\ovr{PQ}$의 최대·최소로 두 벡터의 사잇각 $\theta$의 최대·최소를 알 수 있다

$\vrm{OP}$와 $\vrm{OQ}$의 사잇각을 $\theta$라 할 때, $\ovr{PQ}$가 최대이면 $\theta$가 최대이고, $\ovr{PQ}$가 최소이면 $\theta$가 최소입니다.1증명은 부록에 수록하였습니다. 따라서 $\ovr{PQ}$만 관찰하면 $\theta$의 최대·최소를 알 수 있습니다. 또한 $\theta$의 최대·최소와 `내적' 또는 `합의 크기'의 최대·최소는 서로 반대이므로, $\ovr{PQ}$의 최대·최소를 통해 `내적' 또는 `합의 크기'의 최대·최소 또한 알 수 있습니다.

`내적' 또는 `합의 크기'가 최소 : $\ovr{PQ}$와 $\theta$가 최대

$\alpha$와 평행하고 구의 중심과의 거리가 $\ovr{OA}$인 평면을 $\alpha'$라 하고, $\beta$와 평행하고 구의 중심과의 거리가 $\ovr{OB}$인 평면을 $\beta'$라 하고, 구 $S$가 두 평면 $\alpha'$, $\beta'$과 만나서 생기는 원을 각각 $C_3$, $C_4$라 할 때, 다음과 같이 두 가지의 경우로 분류할 수 있습니다.
  1. $C_2$가 $C_3$과 만날 때2이때 $C_1$도 $C_4$와 만납니다. : $\ovr{PQ}$의 최댓값은 지름이다.

    그림과 같이 $C_2$와 $C_3$의 교점 중 하나를 $\mrm{Q}$로 잡고, $C_1$과 $C_4$의 교점 중 직선 $\mrm{OQ}$ 위에 있는 점을 $\mrm{P}$로 잡으면 $\ovr{PQ}$가 구의 지름이 됩니다. 그러면 $\theta=\pi$이므로, 이때 `내적' 또는 `합의 크기'가 최소입니다.

  2. $C_2$가 $C_3$과 만나지 않을 때3이때 $C_1$도 $C_4$와 만나지 않습니다. : $\ovr{PQ}$의 최댓값이 지름보다는 작다.

    그림과 같이 $C_1$ 위의 점 중 $\beta'$과의 거리가 가장 작은 점을 $\mrm{P}_M$이라 하고, $C_2$ 위의 점 중 $\alpha'$과의 거리가 가장 작은 점을 $\mrm{Q}_M$이라 할 때, $\ovr{P_\mit{M} Q_\mit{M}}$이 $\ovr{PQ}$의 최댓값입니다.4증명은 부록에 수록하였습니다. 그러면 $\theta=\angle\mrm{P_\mit{M} O Q_\mit{M}}$일 때 `내적' 또는 `합의 크기'가 최소입니다.

`내적' 또는 `합의 크기'가 최대 : $\ovr{PQ}$와 $\theta$가 최소

(a)와 같이 $C_1$과 $C_2$가 만나는 경우, $\mrm{P}$와 $\mrm{Q}$가 같은 점이 될 수 있습니다. 그러면 $\ovr{PQ}=0$이므로 $m = 0$입니다.

(b)와 같이 $C_1$과 $C_2$가 만나지 않는 경우, $\mrm{P}$와 $\mrm{Q}$가 같은 점이 될 수 없습니다. 이러한 상황에서는 두 평면 $\alpha$, $\beta$의 교선 $l$에 대하여 $\mrm{O}$에서 $l$에 내린 수선의 발을 $\mrm{H}$라 하고, $\ovr{AH}$와 원 $C_1$이 만나는 점을 $\mrm{P}_m$, $\ovr{BH}$와 원 $C_2$가 만나는 점을 $\mrm{Q}_m$이라 할 때, $\ovr{P_\mit{m} Q_\mit{m}}$이 $\ovr{PQ}$의 최솟값입니다.5증명은 부록에 수록하였습니다. 그러면 $\theta=\angle\mrm{P_\mit{m} O Q_\mit{m}}$일 때 `내적' 또는 `합의 크기'가 최소입니다.

돔벡터와 돔벡터

그림과 같이 두 평면 $\alpha$, $\beta$가 중심이 $\mrm{O}$이고 반지름이 $r$인 구 $S$와 만날 때, 구 $S$가 두 평면 $\alpha$, $\beta$와 만나서 생기는 원을 각각 $C_1$, $C_2$라 합시다. 이때 $C_1$을 밑면으로 하는 돔 위를 움직이는 점 $\mrm{P}$와 $C_2$를 밑면으로 하는 돔 위를 움직이는 점 $\mrm{Q}$에 대하여 $\vrm{OP}$, $\vrm{OQ}$는 각각 돔벡터입니다.

11에서와 마찬가지로, 밑면을 $\mrm{O}$에 대하여 대칭시켜 얻은 도형을 이용하여 위치관계를 파악하고, 그 상황에서 나타나는 $\ovr{PQ}$의 최대·최소를 통하여 $\vrm{OP}$, $\vrm{OQ}$의 `내적'과 `합의 크기'의 최대·최소를 구할 것입니다.6$\ovr{PQ}$로 최대·최소를 구하는 이유는 콘벡터에서와 동일하므로 생략합니다.

돔의 위치관계는 `돔의 밑면'인 $C_1$, $C_2$의 위치관계로 바꾸어 생각할 수 있습니다. (a)와 같이 밑면끼리 만나지 않으면 두 돔은 만나지 않고, (b)와 같이 밑면끼리 두 점에서 만나면 두 돔은 겹치는 부분이 존재합니다.7한 점에서만 만날 수도 있습니다.

이러한 위치관계를 고려했을 때, `돔벡터와 돔벡터'는 돔의 밑면 사이의 위치관계만 따지면 돔 전체의 위치관계를 알 수 있습니다. 그러면 41 `콘벡터와 콘벡터'에서와 동일한 방법으로 $\theta$의 최대·최소를 알 수 있습니다.8`돔벡터의 시점'을 시점으로 하고, 종점이 `돔벡터의 밑면'을 움직이는 벡터는 콘벡터이기 때문입니다.

돔벡터와 콘벡터

돔벡터와 콘벡터 또한 최대·최소 또한 밑면의 위치관계를 이용하여 따지면 되므로 4 `콘벡터와 콘벡터'에서와 동일한 방법으로 구할 수 있습니다.
  1. 1. 증명은 부록에 수록하였습니다.
  2. 2. 이때 $C_1$도 $C_4$와 만납니다.
  3. 3. 이때 $C_1$도 $C_4$와 만나지 않습니다.
  4. 4. 증명은 부록에 수록하였습니다.
  5. 5. 증명은 부록에 수록하였습니다.
  6. 6. $\ovr{PQ}$로 최대·최소를 구하는 이유는 콘벡터에서와 동일하므로 생략합니다.
  7. 7. 한 점에서만 만날 수도 있습니다.
  8. 8. `돔벡터의 시점'을 시점으로 하고, 종점이 `돔벡터의 밑면'을 움직이는 벡터는 콘벡터이기 때문입니다.