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\mychapter(준)기본벡터 사이의 최대·최소 3 : 매우 어려움 한 구 위에서의 상황이 아닌 일반적인 상황에서의 원벡터, 돔벡터, 콘벡터에 대한 최대·최소를 공부해봅시다. `두 벡터가 이루는 각의 크기의 최소'는 2018학년도 9월 모의평가에 최초로 출제되었고 비교적 간단하므로 향후 출제 가능성이 높습니다. 그렇지만 `두 벡터가 이루는 각의 크기의 최대'는 복잡한 유도과정을 거쳐 얻을 수 있는 `특정 조건'에 따라 상황이 달라지기 때문에 출제 가능성이 매우 떨어집니다.
본문에서는 출제 가능성이 높은 `두 벡터가 이루는 각의 크기의 최소'를 쉽게 구하는 방법만 배우겠습니다. 일반적인 경우의 최대·최소는 부록에서 다루겠습니다.
두 벡터가 이루는 각의 크기의 최솟값을 쉽게 구하는 방법
두 벡터가 이루는 각의 크기의 최댓값을 쉽게 구하는 방법은 없지만, 최솟값 $\theta_m$을 쉽게 구하는 방법은 있습니다. 그 방법을 배워보도록 합시다.콘벡터와 콘벡터
꼭짓점이 $\mrm{O}$로 동일하고 높이벡터가 각각 $\vec{h_1}$, $\vec{h_2}$인 두 콘벡터 $\vec{a}$, $\vec{b}$에 대하여 $\vec{h_1}$과 $\vec{h_2}$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하고, $\vec{h_1}$과 $\vec{a}$가 이루는 각의 크기를 $\alpha$, $\vec{h_2}$와 $\vec{b}$가 이루는 각의 크기를 $\beta$라 할 때, $\alpha+\beta$와 $\theta$의 관계에 따라 두 원뿔의 위치관계는 세 가지로 나뉩니다.
(a)와 같이 $\alpha+\beta<\theta$이면 두 원뿔은 만나지 않습니다. 그러면 두 벡터 $\vec{a}$와 $\vec{b}$의 방향이 동일할 수 없으며, $\theta$의 최솟값은 $\theta_m=\theta-(\alpha+\beta)$입니다. (b)와 같이 $\alpha+\beta=\theta$이면 두 원뿔은 한 모선을 공유하며 만납니다. 따라서 그 모선과 평행하도록 $\vec{a}$, $\vec{b}$를 잡으면 두 벡터의 방향이 동일하므로 $\theta_m=0$입니다. (c)와 같이 $\alpha+\beta>\theta$이면 두 원뿔은 두 모선을 공유하며 만납니다. 따라서 두 모선 중 하나와 평행하도록 $\vec{a}$, $\vec{b}$를 잡으면 두 벡터의 방향이 동일하므로 $\theta_m=0$입니다.
돔벡터와 돔벡터
꼭짓점이 $\mrm{O}$로 동일하고 높이벡터가 각각 $\vec{h_1}$, $\vec{h_2}$인 두 돔벡터 $\vec{a}$, $\vec{b}$에 대하여 $\vec{h_1}$과 $\vec{h_2}$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하고, $\vec{h_1}$과 $\vec{a}$가 이루는 각의 크기의 최댓값을 $\alpha$, $\vec{h_2}$와 $\vec{b}$가 이루는 각의 크기의 최댓값을 $\beta$라 할 때, $\alpha+\beta$와 $\theta$의 관계에 따라 두 돔의 위치관계는 세 가지로 나뉩니다.
(a)와 같이 $\alpha+\beta<\theta$이면 두 벡터 $\vec{a}$와 $\vec{b}$의 방향이 동일할 수 없으며, $\theta_m=\theta-(\alpha+\beta)$입니다. (b)와 같이 $\alpha+\beta=\theta$이면 두 벡터 $\vec{a}$와 $\vec{b}$의 방향이 동일한 $\vec{a}$, $\vec{b}$가 오직 한 쌍 존재합니다. 따라서 $\theta_m=0$입니다. (c)와 같이 $\alpha+\beta>\theta$이면 $\vec{a}$, $\vec{b}$가 같은 방향을 향할 수 있는 돔 위의 점이 무수히 많이 존재합니다. 따라서 $\theta_m=0$입니다.
돔벡터와 콘벡터
꼭짓점이 $\mrm{O}$로 동일하고 높이벡터가 각각 $\vec{h_1}$, $\vec{h_2}$인 돔벡터 $\vec{a}$와 콘벡터 $\vec{b}$에 대하여 $\vec{h_1}$과 $\vec{h_2}$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하고, $\vec{h_1}$과 $\vec{a}$가 이루는 각의 크기의 최댓값을 $\alpha$, $\vec{h_2}$와 $\vec{b}$가 이루는 각의 크기를 $\beta$라 할 때, $\alpha+\beta$와 $\theta$의 관계에 따라 돔과 콘의 위치관계는 세 가지로 나뉩니다.
(a)와 같이 $\alpha+\beta<\theta$이면 두 벡터 $\vec{a}$와 $\vec{b}$의 방향이 동일할 수 없으며, $\theta_m=\theta-(\alpha+\beta)$입니다. (b)와 같이 $\alpha+\beta=\theta$이면 두 벡터 $\vec{a}$와 $\vec{b}$의 방향이 동일한 $\vec{a}$, $\vec{b}$가 오직 한 쌍 존재합니다. 따라서 $\theta_m=0$입니다. (c)와 같이 $\alpha+\beta>\theta$이면 $\vec{a}$, $\vec{b}$가 같은 방향을 향할 수 있는 돔과 콘 위의 점이 무수히 많이 존재합니다. 따라서 $\theta_m=0$입니다.