중학교 공간도형
다면체
다면체의 정의
다각형인 면으로만 둘러싸인 입체도형을
다면체라고 합니다. 이때 다면체를 이루고 있는 다각형을 다면체의
다면체, 다각형의 변을 다면체의
다면체, 다각형의 꼭짓점을 다면체의
다면체이라고 합니다. 다면체는 그 면의 개수에 따라 사면체, 오면체, 육면체, $\cdots$라고 합니다.
각기둥
두 밑면(바닥과 닿은 면 또는 바닥과 닿은 면과 평행한 면)이 서로 평행하고 합동인 다각형이며 옆면(밑면이 아닌 면)이 모두 직사각형인 다면체를
각기둥이라고 합니다. 이때 각기둥의 두 밑면에 모두 수직인 선분의 길이를 그 각기둥의
다면체라고 합니다. 각기둥은 밑면의 모양에 따라 삼각기둥, 사각기둥, 오각기둥, $\cdots$이라고 합니다.
각뿔
밑면이 다각형이고 옆면이 모두 삼각형인 다면체를
각뿔이라고 합니다. 이때 각뿔의 삼각형이 모두 공유하는 꼭짓점을
각뿔의 꼭짓점이라 하며, 이 점에서 밑면에 내린 수선의 길이가 그 각뿔의
각뿔입니다. 각뿔은 밑면의 모양에 따라 삼각뿔, 사각뿔, 오각뿔, $\cdots$이라고 합니다.
각뿔대
그림과 같이 각뿔을 그 밑면에 평행한 평면으로 잘라서 생기는 두 입체도형 중에서 각뿔이 아닌 쪽의 다면체를
각뿔대라고 합니다. 이때 각뿔대에서 서로 평행한 두 면을
각뿔대, 두 밑면 사이의 거리를 각뿔대의
각뿔대라고 합니다. 각뿔대는 밑면의 모양에 따라 삼각뿔대, 사각뿔대, 오각뿔대, $\cdots$라고 합니다.
정다면체
각 면이 모두 합동인 정다각형이고, 각 꼭짓점에 모여 있는 면의 개수가 같은 다면체를
정다면체라고 합니다. 정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 다섯 종류만 있다고 알려져 있습니다.
회전체
회전체의 정의
평면도형을 한 직선을 축으로 하여 $1$회전시킬 때 생기는 입체도형을 회전체라 하고, 축으로 사용한 직선을 회전축이라고 합니다. (a)와 같이 직사각형을 $1$회전시키면 원기둥이 되고, (b)와 같이 직각삼각형을 (빗변이 아닌 변을 축으로 하여) $1$회전시키면 원뿔이 됩니다. 이때 선분 $\mrm{AB}$를 회전체의 회전체이라 하고, 선분 $\mrm{AB}$가 회전하여 생기는 면을 회전체이라고 합니다. (c)와 같이 반원의 지름을 축으로 하여 $1$회전시키면 구가 됩니다. 이때 반원의 중심은 구의 중심이 되고, 반원의 반지름은 구의 반지름이 됩니다.
원뿔대
그림과 같이 원뿔을 그 밑면에 평행한 평면으로 잘라서 생기는 두 입체도형 중에서 원뿔이 아닌 쪽의 입체도형을
원뿔대라고 합니다. 이때 원뿔대에서 서로 평행한 두 면을
원뿔대, 두 밑면 사이의 거리를 원뿔대의
원뿔대라고 합니다.
회전체의 단면
입체도형을 평면으로 자를 때 생기는 도형의 면을 단면이라고 합니다. (a)와 같이 회전체를 $l$에 강직인 평면으로 자르면 그 단면의 모양은 원이 됩니다. (b)와 같이 회전체를 $l$을 포함하는 평면으로 자르면 그 단면의 모양은 회전축 $l$을 대칭축으로 하는 선대칭도형이 됩니다.
입체도형의 겉넓이와 부피
겉넓이
기둥의 겉넓이는 $\left\{2\times(\text{밑면의 넓이})\right\} + (옆넓이)$, 뿔의 겉넓이는 $(\text{밑면의 넓이}) + (옆넓이)$, 반지름이 $r$인 구의 겉넓이는 $4\pi r^2$입니다.
부피
기둥의 부피는 $(\text{밑면의 넓이}) \times (높이)$, 뿔의 부피는 $\dfrac{1}{3}\times( \text{밑면의 넓이}) \times (높이)$, 반지름이 $r$인 구의 부피는 $\dfrac{4}{3}\pi r^3$입니다.
평면의 결정조건과 직선과 평면의 위치관계
직선의 결정조건과 평면의 결정조건
한 점을 포함하는 직선은 무수히 많지만, 서로 다른 두 점
1을 포함하는 직선은 오직 하나뿐입니다. 이처럼 점을 포함하는 직선이 오직 하나가 되도록 하는 조건을
직선의 결정조건이라고 합니다. 직선의 결정조건은 `두 점'입니다.
이와 마찬가지로 `점' 또는 `직선 위의 임의의 점'을 포함하는 평면이 오직 하나가 되도록 하는 조건을 평면의 결정조건이라고 합니다. 평면의 결정조건은 다음과 같으며, 네 개의 조건 중 하나만 만족하더라도 평면이 결정됩니다.
- 한 직선 위에 있지 않은 세 점
- 한 직선과 그 위에 있지 않은 한 점
- 한 점에서 만나는 두 직선
- 평행한 두 직선
직선 또는 평면 사이의 위치관계
직선과 직선의 위치관계
두 직선의 위치관계
- 한 점에서 만난다
- 평행하다
- 꼬인 위치에 있다
이때 ①, ②는 평면의 결정조건을 만족하므로 두 직선이 한 평면을 결정하지만, ③은 평면의 결정조건을 만족하지 못하므로 두 직선이 한 평면을 결정하지 못합니다.
직선과 평면의 위치관계
직선과 평면의 위치관계
- 포함된다 (직선 위의 모든 점에서 만난다)
- 한 점에서 만난다 (직선 위의 한 점에서만 만난다)
- 평행하다 (직선과 만나지 않는다)
평면과 평면의 위치관계
두 평면의 위치관계
- 만난다(교선이 존재한다)
- 만나지 않는다(평행하다, 교선이 존재하지 않는다)
공간에서의 각과 정사영
직선 또는 평면이 이루는 각
직선과 직선이 이루는 각(직직각)
직선과 직선이 이루는 각을
직직각이라 줄여 부르기로 합시다. 일반적으로 직직각은 직선과 직선이 이루는 두 각 중 크기가 크지 않은 것을 말합니다. 이때 직선과 직선이 이루는 두 각 중 한 각의 크기가 $k$ $(0\le k \le\pi)$이면 다른 각의 크기는 $(\pi-k)$이므로, 두 각 중 크기가 크지 않은 것은 예각 또는 직각입니다. 따라서 직직각의 크기를 $\theta$라 할 때 $0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$입니다.
두 직선이 서로 같은 경우 직직각의 크기는 $0$입니다. 두 직선이 한 점에서만 만나는 경우 직직각은 예각 또는 직각입니다.
두 직선이 만나지 않는 경우, 한 직선을 다른 직선과 만나도록 평행이동한 후, `두 직선이 만나는 경우'에서와 동일한 방법으로 직직각을 구하면 됩니다. 두 직선이 만나지 않는 경우는 평행한 경우와 꼬인 위치에 있는 경우로 나뉩니다. 두 직선이 평행한 경우, 한 직선을 평행이동하면 두 직선이 일치하게 되므로 직직각의 크기는 $0$입니다. 두 직선이 꼬인 위치에 있는 경우, 직직각은 예각 또는 직각입니다.
직선과 직선의 수직, 약한 직각(약직)
직직각이 $\dfrac{\pi}{2}$인 경우 두 직선이
두 직선의 수직이라고 하며, 평면에서와 마찬가지로 두 직선 $l$, $m$이 수직일 때 $l \ppd m$와 같이 표기합니다.
앞으로 직선과 직선이 이루는 직각을 약한 직각이라고 부르기로 하고, $l \ppd m$일 때 $l \ppd m$(약)이라 표기하거나 `$l$과 $m$이 약직이다'라고 부르기로 합시다.
직선과 평면의 수직, 법선, 강한 직각(강직)
직선 $l$과 평면 $\alpha$가 점 $\mrm{O}$에서 만날 때, 점 $\mrm{O}$를 지나고 평면 $\alpha$에 포함된 임의의 직선과 $l$이 약직일 때 `$l$과 $\alpha$가 수직이다'라고 하며, $l \ppd \alpha$와 같이 표현합니다. 또한 $\alpha$와 수직인 직선을 $m$이라 할 때, $m$을 $\alpha$의
수선 또는
법선2이라 합니다.
앞으로 직선과 평면이 이루는 직각을 강한 직각이라고 부르기로 하고, $l \ppd \alpha$일 때 $l \ppd \alpha$(강)이라 표기하거나 `$l$과 $\alpha$가 강직이다'라고 부르기로 합시다.
정사영
$\alpha$ 위에 있지 않은 한 점 $\mrm{P}$를 지나고 $\alpha$와 강직인 직선이 $\alpha$와 만나는 점을 $\mrm{P'}$이라 할 때, $\mrm{P'}$을 `$\mrm{P}$에서 $\alpha$에 내린 수선의 발' 또는 `점 $\mrm{P}$의 평면 $\alpha$ 위로의
정사영'이라고 합니다. 또한 도형 $S$ 위의 임의의 점 $\mrm{Q}$에 대하여 `$\mrm{Q}$의 $\alpha$ 위로의 정사영'이 나타내는 도형을 $S'$이라 할 때, $S'$을 `도형 $S$의 $\alpha$ 위로의 정사영'이라고 합니다.
직선과 평면이 이루는 각(직평각)
직선과 평면이 이루는 각을
직평각이라고 부르기로 합니다. 본래 중학도형에서 `각'이 직선과 직선에 대해서만 정의되어 있었으므로, 직평각은 직직각을 이용해 정의합니다.
$l$과 $\alpha$가 한 점 $\mrm{O}$에서 만날 때, $l$ 위에 있고 $\alpha$ 위에 있지 않은 한 점 $\mrm{A}$에서 $\alpha$에 내린 수선의 발을 $\mrm{H}$라 하면 $l$과 $\alpha$가 이루는 각은 $l$과 $\mrm{OH}$가 이루는 각과 같습니다. 이 각의 크기를
직평각의 크기라 부르기로 합시다. 직직각과 마찬가지로 직평각도 두 개가 생기는데, 일반적으로 직평각은 두 각 중 크기가 크지 않은 것을 말합니다.
직평각을 다르게 생각할 수도 있습니다. $l$의 $\alpha$ 위로의 정사영을 $l'$이라 할 때 $l'$은 직선 $\mrm{OH}$와 같은 직선입니다. 따라서 $l$과 $\alpha$가 이루는 각은 $l$과 $l'$이 이루는 각이라 생각할 수도 있습니다.
평면과 평면이 이루는 각(이면각)
평면과 평면이 이루는 각(이면각)
평면 $\alpha$, $\beta$의 교선이 $l$일 때, $l$은 평면 $\alpha$, $\beta$를 각각 두 부분으로 나눕니다. 나뉘어진 두 부분을 각각
반평면이라고 합니다. 이때 반평면 $\alpha'$, $\beta'$로 이루어지는 도형을
이면각이라고 합니다.
3
본래 중학도형에서 `각'은 직선과 직선에 대해서 정의된 도형이므로, 이면각의 크기는 직직각의 크기를 이용하여 정의합니다.
$l$ 위의 한 점 $\mrm{O}$를 지나고 $l$에 약직이며 반평면 $\alpha'$에 포함된 반직선을 $m$, $\mrm{O}$를 지나고 직선 $l$에 약직이며 반평면 $\beta'$에 포함된 반직선을 $n$이라 할 때, $\alpha$와 $\beta$가 이루는 각의 크기는 두 반직선 $m$과 $n$이 이루는 각의 크기와 같습니다. 이를
이면각의 크기라 합니다. 직직각과 마찬가지로 이면각도 두 개가 생기는데, 일반적으로 이면각은 두 각 중 크기가 크지 않은 것을 말합니다.
이면각을 다르게 생각할 수도 있습니다. 만나는 두 직선인 $m$, $n$이 결정하는 평면을 $\gamma$라 할 때, $l\ppd m$, $l \ppd n$이므로 $l$은 $\gamma$의 법선입니다. 한편 $m$은 $\gamma$와 $\alpha$의 교선이고, $n$은 $\gamma$와 $\beta$의 교선입니다. 즉 $\alpha$와 $\beta$가 이루는 이면각은 두 평면의 교선을 법선으로 하는 평면을 $\gamma$라 할 때, $\gamma$가 $\alpha$, $\beta$가 만나 생기는 각각의 교선이 서로 이루는 각이라 생각할 수도 있습니다.
삼수선의 정리
삼수선의 정리
평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 한 점 $\mrm{P}$와 평면 $\alpha$ 위의 직선 $l$, 직선 $l$ 위의 한 점 $\mrm{H}$, 평면 $\alpha$ 위에 있으면서 직선 $l$ 위에 있지 않은 점 $\mrm{O}$에 대하여 다음이 성립합니다.
- $\ovr{PO} \ppd \alpha$, $\ovr{OH} \ppd l$이면 $\ovr{PH} \ppd l$
- $\ovr{PO} \ppd \alpha$, $\ovr{PH} \ppd l$이면 $\ovr{OH} \ppd l$
- $\ovr{PH} \ppd l $, $ \ovr{OH} \ppd l $, $ \ovr{PO} \ppd \ovr{OH}$이면 $ \ovr{PO} \ppd \alpha $
정사영의 길이와 넓이
정사영의 길이와 넓이
선분 $\mrm{AB}$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영이 선분 $\mrm{A'B'}$라 하고, 직선 $\mrm{AB}$와 평면 $\alpha$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하면 다음이 성립합니다.
\[\begin{align*}\ovr{A'B'} = \ovr{AB}\cos\theta\end{align*}\]
마찬가지로 평면 $\beta$ 위에 있는 도형의 넓이를 $S$, 이 도형의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 넓이를 $S'$이라 하고, 두 평면 $\alpha$, $\beta$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라고 하면 다음이 성립합니다.
\[\begin{align*}S'=S\cos\theta\end{align*}\]
공간좌표
좌표공간
공간의 한 점 $\mrm{O}$에서 서로 직교하는 세 수직선을 그어 각각 $x$축, $y$축, $z$축이라 하고, 이들을 통틀어
좌표공간에서의 좌표축이라고 합니다. 이때 점 $\mrm{O}$를
좌표공간이라고 합니다. 또
\[\begin{align*}
&\text{$x$축과 $y$축을 포함하는 평면을 $xy$평면,}\\
&\text{$y$축과 $z$축을 포함하는 평면을 $yz$평면,}\\
&\text{$z$축과 $x$축을 포함하는 평면을 $zx$평면}
\end{align*}\]
이라 하고, 이들을 통틀어
좌표공간에서의 좌표평면이라고 합니다. 이와 같이 좌표축과 좌표평면이 정해진 공간을
좌표공간이라고 합니다.
공간좌표
좌표공간의 한 점 $\mrm{P}$에 대하여 점 $\mrm{P}$를 지나고 $x$축, $y$축, $z$축에 수직인 평면이 이들 축과 만나는 점을 차례로 $\mrm{A}$, $\mrm{B}$, $\mrm{C}$라고 합시다. 이때 세 점 $\mrm{A}$, $\mrm{B}$, $\mrm{C}$의 $x$축, $y$축, $z$축 위에서의 좌표를 각각 $a$, $b$, $c$라 하면
점 $\mrm{P}$에 대응하는 세 실수의 순서쌍 $\xyz{a}{b}{c}$가 정해집니다. 반대로 세 실수의 순서쌍 $\xyz{a}{b}{c}$가 주어지면 공간에 있는 한 점 $\mrm{P}$를 대응시킬 수 있습니다.
따라서 공간의 점 $\mrm{P}$와 세 실수의 순서쌍 $\xyz{a}{b}{c}$는 일대일로 대응되므로 점 $\mrm{P}$에 대응하는 이 순서쌍을 점 $\mrm{P}$의 공간좌표라 하고, $a$, $b$, $c$를 각각 점 $\mrm{P}$의 $x$좌표, $y$좌표, $z$좌표라 합니다. 또한 점 $\mrm{P}$의 좌표가 $\xyz{a}{b}{c}$일 때 $\xyz[P]{a}{b}{c}$라 표기합니다.
두 점 사이의 거리
두 점 사이의 거리
좌표평면에서 두 점 $\xy[A]{x_1}{y_1}$, $\xy[B]{x_2}{y_2}$ 사이의 거리 $\ovr{AB}$를 구하면 다음과 같습니다. \[\begin{align*}\ovr{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\end{align*}\]
마찬가지로 좌표공간에서의 두 점 $\xyz[C]{x_1}{y_1}{z_1}$, $\xyz[D]{x_2}{y_2}{z_2}$ 사이의 거리 $\ovr{CD}$를 구하면 다음과 같습니다. \[\begin{align*}\ovr{CD} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\end{align*}\]
내분점과 외분점
좌표공간에서의 내분좌표공간에서의 외분
좌표평면에서 두 점 $\xy[A]{x_1}{y_1}$, $\xy[B]{x_2}{y_2}$에 대하여 선분 $\mrm{AB}$를 $m:n$으로 내분하는 점 $\mrm{P}$의 좌표와 $m:n$으로 외분하는 점 $\mrm{Q}$의 좌표는 각각 다음과 같습니다.
\[\begin{align*}
\xy[P]{\IDP{x_1}{x_2}{m}{n}}{\IDP{y_1}{y_2}{m}{n}}\\
\xy[Q]{\EDP{x_1}{x_2}{m}{n}}{\EDP{y_1}{y_2}{m}{n}}
\end{align*}\]
마찬가지로 좌표공간에서 두 점 $\xyz[C]{x_1}{y_1}{z_1}$, $\xyz[D]{x_2}{y_2}{z_2}$에 대하여 선분 $\mrm{CD}$를 $m:n$으로 내분하는 점 $\mrm{R}$의 좌표와 $m:n$으로 외분하는 점 $\mrm{S}$의 좌표는 각각 다음과 같습니다.
\[\begin{align*}
\xyz[R]{\IDP{x_1}{x_2}{m}{n}}{\IDP{y_1}{y_2}{m}{n}}{\IDP{z_1}{z_2}{m}{n}}\\
\xyz[S]{\EDP{x_1}{x_2}{m}{n}}{\EDP{y_1}{y_2}{m}{n}}{\EDP{z_1}{z_2}{m}{n}}
\end{align*}\]
무게중심
좌표공간
좌표평면에서 세 점 $\xy[A]{x_1}{y_1}$, $\xy[B]{x_2}{y_2}$, $\xy[C]{x_3}{y_3}$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mrm{ABC}$의 무게중심 $\mrm{G_1}$의 좌표는 다음과 같습니다. \[\begin{align*}\xy[G_1]{\dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3}}{\dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3}}\end{align*}\]
마찬가지로 좌표공간에서 세 점 $\xyz[D]{x_1}{y_1}{z_1}$, $\xyz[E]{x_2}{y_2}{z_2}$, $\xyz[F]{x_3}{y_3}{z_3}$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mrm{ABC}$의 무게중심 $\mrm{G_2}$의 좌표는 다음과 같습니다. \[\begin{align*}\xyz[G_2]{\dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3}}{\dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3}}{\dfrac{z_1 + z_2 + z_3}{3}}\end{align*}\]
구의 방정식
평면에서 한 정점으로부터 일정한 거리에 있는 점 전체의 집합을 원이라고 하였습니다. 이때 정점을 원의 중심, 원의 중심과 원 위의 한 점을 이은 선분을 원의 반지름이라고 하였습니다. 좌표평면에서 중심이 $\xy[C]{x_1}{y_1}$이고 반지름의 길이가 $r$인 원의 방정식은 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} (x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 = r^2 \end{align*}\]
마찬가지로 공간에서 한 정점으로부터 일정한 거리에 있는 점 전체의 집합을
구 또는
구면이라고 합니다. 이때 정점을 구의 중심, 구의 중심과 구 위의 한 점을 이은 선분을
구의 반지름이라고 합니다. 좌표공간에서 중심이 $\xyz[C]{x_1}{y_1}{z_1}$이고 반지름의 길이가 $r$인
구의 방정식은 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} (x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 + (z-z_1)^2= r^2 \end{align*}\]
한편 구의 방정식의 일반형은 이차방정식 $x^2 + y^2 + z^2 + Ax + By + Cz + D = 0$의 꼴이며 이때 $A^2 + B^2 + C^2 - 4D > 0$입니다.
