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원리 : 공간도형 기본명제 증명하기

공간도형 명제를 증명하자고 제안하는 이유

다른 단원에서도 많이 보이는 모습입니다만, 유독 공간도형 문제를 풀 때 감각이나 직관, 경험(이하 감직경)에만 의존하는 경우가 많습니다. 이를테면 다음과 같습니다.

`이거 당연히 성립하는 거 같은데?'

`왠지 느낌상 수직일 것 같아!'

`그림을 딱 보니 이 때 최대일 수밖에 없잖아?'

`지금까지 푼 문제들이 모두 그랬음$\cdots$ 안 그러면 문제 성립이 안 됨$\cdots$'

그렇지만 감직경에만 의존하기에는 너무 위험합니다. 감직경에만 모든 것을 맡기면 당일 컨디션에 따라 문제풀이에 기복이 심해지게 됩니다. 차라리 기본적인 마음가짐을 이렇게 바꾸는 것은 어떨까요?

`공간도형 문제는 그림으로 주어진 논리력 측정 문제이므로, 논리적으로 접근해야 한다.'

`직관은 보조도구일 뿐이다. 직관은 많은 것을 하지만, 모든 것을 하지는 않는다.'

지금까지 감직경으로만 공간도형을 접해온 학생들은 `공간도형에 논리적으로 접근한다'는 말이 이해가 가지 않을 수도 있습니다. 그렇지만 다음의 두 가지를 곰곰이 생각해봅시다.

첫째, 여러분은 미적분을 공부할 때 `교과서에 근거한 논리적인 근거의 제시'가 중요하다고 배웠을 것입니다. 미적분은 논리적으로 접근하면서 공간도형은 논리적으로 접근하지 않는 것은 오히려 이상합니다.

둘째, 교과서의 구성을 보면 공간도형 단원을 어떻게 공부해야 할지 알 수 있습니다. 교과서의 구성을 보면 공간도형의 기본적인 위치관계나 정의를 알려주고, 그와 관련된 명제를 증명하도록 구성되어 있습니다. 그렇다면 교과서가 시킨대로 공부해야 옳겠지요.

따라서 우리는 교과서가 알려준 기본 명제들을 논리적으로 증명하고, 풀이를 진행하는 매 단계마다 논리적 근거를 제시할 수 있어야 합니다. 만약 풀이 과정에서 직관적으로 판단한 내용이 있다면, 사후에라도 그 내용을 논리적으로 뒷받침할 수 있어야 합니다.

이렇게 공간도형 문제에 논리적으로 접근하는 훈련을 한다면, 감직경이 풍부한 수험생은 논리적 근거를 제시함으로써 자신의 풀이에 더 확신을 가질 수 있을 것입니다. 반대로 감직경이 부족한 수험생이라면 `공간지각력이 부족해서 못 풀겠다'며 공간도형을 포기할 필요가 없습니다. 오히려 누구보다도 더 열심히 논리적인 접근을 훈련해야 합니다. 그럼으로써 공간도형 문제풀이가 가능할 것이고, 훈련 과정을 통해 직간접적으로 감직경을 쌓을 수 있을 것입니다.

기본명제를 증명하며 논리력과 공간지각력 키우기

기본명제 이번 단원에 제시된 예제는 모두 교과서에 수록된 기본명제들입니다. 모든 기본명제는 증명 없이는 절대로 자명하지 않습니다. 여러 차례 증명하고 고민하며 논리력과 공간지각력을 키워봅시다. 용어 파트에서 배운 개념과 치열한 고민을 통해 증명해보시기 바랍니다.1예제에서는 `강직'과 `약직'이라는 용어를 사용하지 않지만, 해설(증명)에서는 사용하겠습니다. $\ppd$ 기호를 사용할 경우 강직이면 (강), 약직이면 (약)으로 표기합니다.

추천하는 공부법 : 한 바퀴 돌고 나서 $2$주간 하루 $30$분씩 꾸준히

처음엔 명제당 $5$분 정도를 고민해봅시다. $5$분 동안 증명에 필요한 아이디어가 도저히 떠오르지 않는다면 증명을 한 문장만 읽고 힌트를 얻어 증명해보세요. 이런 식으로 $24$개의 명제를 모두 증명하고 나면, $2$주간 하루에 30분씩만 투자해서 반복해서 증명하고 고민해보세요. 그렇게 $2$주가 지난 후 공간으로 주어진 상황을 읽는 눈이 길러질 것입니다.

한 바퀴를 끝내는 데 너무 시간이 오래 걸리고 어려울 것 같아 고민된다면 우선 모든 기본명제의 증명을 한 문장씩 무작정 따라해보는 것을 권합니다.

증명에 도움이 되는 팁

직접증명시 위치관계와 정의를 적극적으로 활용하자
기본 명제를 증명할 때는 직선과 직선, 직선과 평면, 평면과 평면의 위치관계를 자유롭게 오갈 수 있어야 합니다. 가령 $l$을 포함한 평면 $\alpha$가 평면 $\beta$와 평행하다는 조건이 주어졌다면 $\alpha$와 $\beta$의 교선이 존재하지 않다는 것과 $l$과 $\beta$의 위치관계를 `평행', `한 점에서 만남', `포함' 중에서 따져야 한다는 것을 동시에 캐치해야 할 것입니다.

마찬가지로, 정의를 정확히 기억하고 적용해야 합니다. 예를 들어 이면각을 구해야 한다면 대충 `교선 방향으로 바라보았을 때 나타나는 두 직선이 이루는 각을 재는' 식으로 구하는 것2이 방법이 틀렸다는 것이 아닙니다. 방법은 맞는데, 왜 그 방법을 쓸 수 있는지를 모르고 단순히 결과와 방법만을 암기해 풀이한다면 논리력에도, 공간지각력에도 전혀 도움이 되지 않기 때문입니다.이 아니라, `각각의 평면에 포함되며 교선에 수직인 직선끼리 서로 이루는 각'이라는 정의에 입각하여 두 직선을 찾거나 만들기 위해 고민해야 합니다.

직접증명이 어려우면 간접증명하자
간혹 명제를 직접적으로 증명하기 어려운 경우 귀류법을 이용하여 간접적으로 증명하는 것이 좋습니다. 귀류법은 다음과 같이 사용합니다.
명제 `$p$이면 $q$이다'를 귀류법으로 증명하는 과정
  1. $p$이면 $\sim q$라고 가정한다.
  2. 가정한 상황에서 논리를 전개하다보면 모순이 발생함을 보인다.
  3. 이러한 모순은 잘못된 가정인 $\sim q$에서 비롯되었다.
  4. 따라서 명제 `$p$이면 $q$'는 참이다.
귀류법은 특히 위치관계를 규명할 때 유용합니다. 예를 들어 어떤 조건 하에서 평면과 평면이 평행함을 증명하려면 두 평면이 만난다고 가정한 후 모순이 생김을 보이면 됩니다.
증명한 명제를 다른 명제에 증명할 때 사용하자
이미 증명한 명제는 다른 명제를 증명하는 데에 사용할 수 있습니다. 이 책에서는 이를 고려하여 예제를 배치하였으므로, 뒤에 제시된 명제를 증명할 때에는 앞서 증명한 명제를 사용할 수도 있음을 염두에 둡시다.

1단계 문제 : 직선과 평면의 수직

평면 $\alpha$ 위의 서로 다른 두 직선 $m$, $n$이 한 점 $\mrm{O}$에서 만날 때, $\mrm{O}$를 지나고 $m$, $n$에 각각 수직인 직선 $l$은 평면 $\alpha$와 수직임을 보이시오.3이 명제는 스스로 증명하지 않아도 됩니다. 풀이에서 제시된 증명을 따라가기만 하세요.

직선 $l$이 평면 $\alpha$ 위의 서로 만나는 두 직선 $m$, $n$과 각각 수직이면 $l \ppd \alpha$임을 보이시오.4평면 $\alpha$ 위의 서로 만나는 두 직선 $m$, $n$에 대하여 $l$과 $m$이 약직이고 $l$과 $n$이 약직이면 $l$과 $\alpha$는 강직이다.
$l \ppd \alpha$이면 직선 $l$은 평면 $\alpha$ 위의 모든 직선과 수직임을 보이시오.5$l$과 $\alpha$가 강직이면 $l$은 $\alpha$ 위의 모든 직선과 약직이다.

1단계 증명 : 직선과 평면의 수직

평면 $\alpha$ 위의 서로 다른 두 직선 $m$, $n$이 한 점 $\mrm{O}$에서 만날 때, $\mrm{O}$를 지나고 $m$, $n$에 각각 수직인 직선 $l$은 평면 $\alpha$와 수직임을 보이시오.
그림과 같이 평면 $\alpha$ 위에 두 직선 $m$, $n$의 교점 $\mrm{O}$를 지나는 직선 $k$를 긋고, 세 직선 $m$, $n$, $k$를 지나는 또 다른 직선을 그어 그 교점을 각각 $\mrm{A}$, $\mrm{B}$, $\mrm{C}$라 합시다. 또, 직선 $l$ 위에 $\ovr{OP}=\ovr{OP'}$인 서로 다른 두 점 $\mrm{P}$, $\mrm{P'}$을 잡으면 직선 $m$, $n$은 모두 $\ovr{PP'}$의 수직이등분선이므로 \[\begin{align*} \ovr{AP}=\ovr{AP'}, \: \ovr{BP}=\ovr{BP'}\end{align*}\] 입니다. 이 때, $\ovr{AB}$는 공통이므로 $\triangle\mrm{PAB} \equiv \triangle\mrm{P'AB}$가 되어 $\angle \mrm{PAC}= \angle\mrm{P'AC}$입니다. 또, $\ovr{AP}=\ovr{AP'}$이고 $\ovr{AC}$는 공통이므로 $\triangle \mrm{PAC}\equiv \triangle \mrm{P'AC}$가 되어 $\ovr{CP}=\ovr{CP'}$입니다. 즉 $\triangle \mrm{PCP'}$은 이등변삼각형이고, 점 $\mrm{O}$는 $\ovr{PP'}$의 중점이므로 $\ovr{PP'}\ppd\ovr{OC}$, 즉 $l\ppd k$입니다. 따라서 평면 $\alpha$ 위의 점 $\mrm{O}$를 지나는 임의의 직선과 수직이므로 직선 $l$은 평면 $\alpha$와 수직입니다.
직선 $l$이 평면 $\alpha$ 위의 서로 만나는 두 직선 $m$, $n$과 각각 수직이면 $l \ppd \alpha$임을 보이시오.
$m$과 $n$이 만나는 점을 $\mrm{O}$라 할 때 $\mrm{O}$가 $l$ 위의 점이면 예제 에 의해 $l \ppd \alpha$(강)입니다. $\mrm{O}$가 $l$ 위의 점이 아니면 $l$과 $\alpha$가 만나는 점을 $\mrm{P}$라 할 때, $m$과 평행하고 $\mrm{P}$를 지나는 직선을 $m'$, $n$과 평행하고 $\mrm{P}$를 지나는 직선을 $n'$이라 하면 $l \ppd m'$(약), $l \ppd n'$(약)이므로 예제 에 의해 $l \ppd \alpha$(강)입니다.
$l \ppd \alpha$이면 직선 $l$은 평면 $\alpha$ 위의 모든 직선과 수직임을 보이시오.
$l$과 $\alpha$의 교점을 $\mrm{O}$라 할 때, $\alpha$ 위에 있는 직선 $m$이 $\mrm{O}$를 지나는지에 여부에 따라 분류하겠습니다. $m$이 $\mrm{O}$를 지나면, 강직의 정의에 따라 $m \ppd l$(약)입니다. $m$이 $\mrm{O}$를 지나지 않으면, $\mrm{O}$를 지나고 평면 $\alpha$ 위에 있으며 $m$과 평행한 직선을 $m'$이라 할 때, $m' \ppd l$(약)이므로 $m \ppd l$(약)입니다. 따라서 $\alpha$ 위의 모든 직선은 $l$과 수직입니다.

2단계 문제 : 법선 / 서로 수직인 평면

평면 $\alpha$에 수직인 직선 $l$을 포함한 평면 $\beta$는 평면 $\alpha$와 수직임을 보이시오.6어떤 평면의 법선을 포함한 평면은 그 평면과 수직이다.
평면 $\alpha$에 수직인 평면 $\beta$ 위의 한 점 $\mrm{A}$에서 $\alpha$, $\beta$의 교선에 내린 수선의 발을 $\mrm{O}$라 할 때, 직선 $\mrm{AO}$는 평면 $\alpha$에 수직임을 보이시오. (단, $\mrm{A}$는 교선 위에 있지 않다.)7두 평면이 서로 수직일 때 한 평면 위의 점에서 교선에 그은 수선은 다른 평면의 법선이다(다른 평면과 강직이다).
한 평면 $\alpha$에 수직인 두 평면 $\beta$, $\gamma$가 만날 때, $\beta$와 $\gamma$의 교선 $l$은 평면 $\alpha$에 수직임을 보이시오.8$\alpha$에 각각 수직인 두 평면 $\beta$, $\gamma$에 대하여 $\beta$와 $\gamma$의 교선은 $\alpha$의 법선이다.
서로 평행한 두 직선 $l$, $m$에 대하여 $l \ppd \alpha$이면 $m \ppd \alpha$임을 보이시오.9`평행한 두 직선 중 한 직선이 어떤 평면에 강직이면 나머지 직선도 그 평면에 강직이다.' 또는 `평행한 두 직선 중 한 직선이 어떤 평면의 법선이면 나머지 직선도 그 평면의 법선이다.'
한 점 $\mrm{O}$에서 만나고 $l \ppd m$, $m \ppd n$, $n \ppd l$인 세 직선 $l$, $m$, $n$ 중 두 직선으로 결정되는 평면은 나머지 직선과 수직임을 보이시오.
서로 다른 두 직선 $l$, $m$이 각각 평면 $\alpha$에 수직이면 $l \prl m$임을 보이시오.10`어떤 평면에 강직인 서로 다른 두 직선은 서로 평행하다.' 또는 `어떤 평면의 법선끼리는 서로 평행하다.'

2단계 해설 : 법선 / 서로 수직인 평면

평면 $\alpha$에 수직인 직선 $l$을 포함한 평면 $\beta$는 평면 $\alpha$와 수직임을 보이시오.
$\alpha$와 $l$의 교점을 $\mrm{O}$라 하면 $\mrm{O}$는 $\alpha$ 위의 점이면서 $\beta$ 위의 점이므로 $\alpha$와 $\beta$가 만남을 알 수 있습니다. $\alpha$와 $\beta$의 교선을 $m$이라 하고, $l$ 위의 한 점을 $\mrm{P}$라 할 때, $\ovr{OQ}$가 $m$에 약직이도록 $\alpha$ 위의 점 $\mrm{Q}$를 잡으면 $l \ppd m$(약), $ \ovr{OQ} \ppd m$(약)입니다. 한편 $l \ppd \alpha$(강)이므로 $l \ppd \ovr{OQ}$(약)입니다. 따라서 $\angle \mrm{POQ} = 90^\circ$이고, 이는 $\alpha$와 $\beta$의 이면각의 크기이므로 $\alpha \ppd \beta$입니다.
평면 $\alpha$에 수직인 평면 $\beta$ 위의 한 점 $\mrm{A}$에서 $\alpha$, $\beta$의 교선에 내린 수선의 발을 $\mrm{O}$라 할 때, 직선 $\mrm{AO}$는 평면 $\alpha$에 수직임을 보이시오. (단, $\mrm{A}$는 교선 위에 있지 않다.)
$\alpha$와 $\beta$의 교선을 $m$이라 합시다. 문제의 조건에 의해 $\ovr{AO} \ppd m$(약)입니다. 한편 $\mrm{BO}$가 $m$에 약직이도록 $\alpha$ 위의 점 $\mrm{B}$를 잡으면 $\angle \mrm{AOB}$는 $\alpha$와 $\beta$가 이루는 이면각의 크기와 같으므로 $\angle \mrm{AOB} = 90^\circ$입니다. 따라서 $\ovr{AO} \ppd \ovr{BO}$입니다. 따라서 $\mrm{AO}$는 $\alpha$ 위의 서로 다른 두 직선 $m$, $\mrm{BO}$와 수직이므로 예제 에 의해 $\ovr{AO} \ppd \alpha$입니다.
한 평면 $\alpha$에 수직인 두 평면 $\beta$, $\gamma$가 만날 때, $\beta$와 $\gamma$의 교선 $l$은 평면 $\alpha$에 수직임을 보이시오.
$l$ 위에 있고 $\alpha$ 위에 있지 않은 점 $\mrm{A}$에서 $\alpha$와 $\beta$의 교선 $m$에 내린 수선의 발을 $\mrm{H}$라 하고, $\mrm{A}$에서 $\alpha$와 $\gamma$의 교선 $n$에 내린 수선의 발을 $\mrm{I}$라 하면 예제 에 의하여 $\ovr{AH} \ppd \alpha$(강), $\ovr{AI} \ppd \alpha$(강)입니다. 따라서 $\mrm{H}$는 $\mrm{A}$에서 $\alpha$에 내린 수선의 발이고, $\mrm{I}$는 $\mrm{A}$에서 $\alpha$에 내린 수선의 발입니다.

그런데 $\mrm{A}$에서 $\alpha$에 내린 수선의 발은 유일하므로 $\mrm{H}$와 $\mrm{I}$는 동일한 점 $\mrm{J}$입니다. 이때 $\mrm{J}$는 $m$ 위의 점이면서 $n$ 위의 점이기도 하므로 세 평면 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ 위에 모두 있는 점입니다. 따라서 $\mrm{J}$는 $l$ 위의 점이므로 $\mrm{AJ}$는 $l$과 동일하고, $\ovr{AJ} \ppd \alpha$(강)이므로 $l \ppd \alpha$(강)입니다.

서로 평행한 두 직선 $l$, $m$에 대하여 $l \ppd \alpha$이면 $m \ppd \alpha$임을 보이시오.
$\alpha$에 포함된 서로 다른 두 직선 $n_1$, $n_2$에 대하여 $l \ppd n_1$(약), $l \ppd n_2$(약)입니다. $l$과 $m$이 서로 평행하므로 $l$과 $n_k$가 이루는 각은 $m$과 $n_k$가 이루는 각과 같습니다. (단, $k=1,\: 2$) 따라서 $m \ppd n_1$(약), $m \ppd n_2$(약)이므로 예제 에 의하여 $m \ppd \alpha$(강)입니다.

한 점 $\mrm{O}$에서 만나고 $l \ppd m$, $m \ppd n$, $n \ppd l$인 세 직선 $l$, $m$, $n$ 중 두 직선으로 결정되는 평면은 나머지 직선과 수직임을 보이시오.
$l$과 $m$이 결정하는 평면을 $\alpha$, $m$과 $n$이 결정하는 평면을 $\beta$, $n$과 $l$이 결정하는 평면을 $\gamma$라 하면 예제 에 의해 $n \ppd \alpha$(강), $l \ppd \beta$(강), $m \ppd \gamma$(강)입니다.
서로 다른 두 직선 $l$, $m$이 각각 평면 $\alpha$에 수직이면 $l \prl m$임을 보이시오.
$l$을 포함하는 평면 $\beta$, $m$을 포함하는 평면 $\gamma$에 대하여11$\beta$와 $\gamma$는 서로 평행하지 않고, $\beta$는 $m$을, $\gamma$는 $l$을 포함하지 않는다고 전제합니다. $\beta$와 $\gamma$의 교선을 $a$, $\alpha$와 $\beta$의 교선을 $b$, $\alpha$와 $\gamma$의 교선을 $c$라 합시다. $l \ppd \alpha$(강)이므로 $l \ppd b$(약)이고, $m \ppd \alpha$(강)이므로 $m \ppd c$(약)입니다. 한편 예제 에 의하여 $\beta \ppd \alpha$, $\gamma \ppd \alpha$이고, 예제 에 의하여 $a \ppd \alpha$(강)입니다. $l$, $a$, $b$는 한 평면 $\beta$에 있으면서 $l \ppd b$, $a \ppd b$이므로 $l \prl a$이고, 마찬가지로 $m$, $a$, $c$는 한 평면 $\gamma$에 있으면서 $m \ppd c$, $a \ppd c$이므로 $m \prl a$입니다. 따라서 세 직선 $l$, $m$, $a$에 대하여 $l \prl a$, $m \prl a$이므로 $l \prl m$입니다.

3단계 문제 : 기본도형 사이의 위치관계

직선 $l$과 직선 $l$ 위에 있지 않은 한 점 $\mrm{P}$에 의하여 정해지는 평면을 $\alpha$라고 하자. 점 $\mrm{Q}$가 평면 $\alpha$ 위에 있지 않으면 직선 $l$과 직선 $\mrm{PQ}$는 서로 꼬인 위치에 있음을 보이시오.
평행한 두 직선 $l$, $m$에 대하여 $l$은 포함하지 않고 $m$은 포함하는 평면 $\alpha$는 $l$과 평행함을 보이시오.
직선 $l$과 평면 $\alpha$가 평행할 때, 직선 $l$을 포함하는 평면 $\beta$와 평면 $\alpha$의 교선 $m$은 직선 $l$과 평행함을 보이시오.
두 평면 $\alpha$, $\beta$의 교선 $l$에 평행한 평면 $\gamma$가 $\alpha$, $\beta$와 각각 직선 $m$, $n$을 공유하면 $m \prl n$임을 보이시오.
평행한 두 직선 $l$, $m$에 대하여 `$l$을 포함하고 $m$을 포함하지 않는 평면 $\alpha$'와 `$m$을 포함하고 $l$은 포함하지 않는 평면 $\beta$'의 교선 $n$은 $l$, $m$과 평행함을 보이시오.
평행한 두 평면 $\alpha$, $\beta$에 대하여 직선 $l$이 평면 $\alpha$에 포함되면 $l \prl \beta$임을 보이시오.
평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 한 점 $\mrm{P}$에서 만나는 두 직선12`한 점에서만 만난다'가 아니라 `한 점에서 만난다'고만 말해도 `일치하는 경우', 즉 `모든 점에서 만나는 경우'는 배제됩니다. 두 직선의 위치관계를 `한 점에서 만난다', `평행하다', `일치한다'로 정의했기 때문입니다. $l$과 $m$이 모두 평면 $\alpha$에 평행하면, $l$과 $m$을 포함하는 평면 $\beta$는 평면 $\alpha$와 평행함을 보이시오.
두 평면 $\alpha$, $\beta$가 평행할 때, 평면 $\alpha$와 한 점에서 만나는 직선 $l$은 평면 $\beta$와 한 점에서 만남을 보이시오.
서로 평행한 두 평면 $\alpha$, $\beta$에 대하여 평면 $\gamma$가 $\alpha$, $\beta$와 각각 만날 때, $\gamma$와 $\alpha$의 교선과 $\gamma$와 $\beta$의 교선은 서로 평행함을 보이시오.
서로 평행한 두 평면 $\alpha$, $\beta$에 대하여 평면 $\gamma$가 평면 $\alpha$와 만나면 평면 $\gamma$가 평면 $\beta$와 만남을 보이시오.
서로 다른 세 평면 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$에 대하여 $\alpha \prl \beta$, $\beta \prl \gamma$이면 $\alpha \prl \gamma$임을 보이시오.

3단계 해설 : 기본도형 사이의 위치관계

직선 $l$과 직선 $l$ 위에 있지 않은 한 점 $\mrm{P}$에 의하여 정해지는 평면을 $\alpha$라고 하자. 점 $\mrm{Q}$가 평면 $\alpha$ 위에 있지 않으면 직선 $l$과 직선 $\mrm{PQ}$는 서로 꼬인 위치에 있음을 보이시오.
$l$과 $\mrm{PQ}$가 꼬인 위치에 있지 않다고 가정하면 $l$과 $\mrm{PQ}$는 한 평면을 결정합니다. 그 평면을 $\beta$라 하면 $l$은 $\beta$ 위의 직선이고 $\mrm{P}$는 $\beta$ 위의 점이므로 $l$과 $\mrm P$가 결정하는 평면인 $\alpha$가 $\beta$와 동일한 평면임을 알 수 있습니다. 그러면 $\mrm{Q}$가 $\alpha$ 위의 점이 되어 모순입니다.13문제에서는 $\mrm{Q} \not\subset \alpha$라 하였는데, 논리를 전개하여 $\mrm{Q} \subset \alpha$를 얻었습니다. $\mrm{Q} \not\subset \alpha$인 동시에 $\mrm{Q} \subset \alpha$일 수 없으므로 모순입니다. $\beta$ 위의 점이므로 $\alpha$ 위의 점입니다. 따라서 가정이 거짓이므로 귀류법에 의해 $l$과 $\mrm{PQ}$는 서로 꼬인 위치에 있습니다.
평행한 두 직선 $l$, $m$에 대하여 $l$은 포함하지 않고 $m$은 포함하는 평면 $\alpha$는 $l$과 평행함을 보이시오.
직선과 평면에 위치관계에 따르면 $l$은 $\alpha$와 한 점에서 만나거나 평행합니다. $l$이 $\alpha$와 한 점 $\mrm{P}$에서 만난다고 가정하면, $\mrm{P}$는 $\alpha$ 위에 있고 $m$ 위에 있지 않습니다. 그러면 $\mrm{P}$와 $m$은 평면의 결정조건에 의해 한 평면 $\alpha$를 결정하는데, 그러면 $l$과 $m$은 한 평면 위에 있지 않으면서 만나지 않으므로, $l$과 $m$은 꼬인 위치에 있게 되어 모순입니다.14문제에서는 $l$과 $m$이 평행하다고 하였는데, 논리를 전개하여 $l$과 $m$이 꼬인 위치에 있음을 얻었습니다. 두 직선이 평행하면서 동시에 꼬인 위치에 있을 수 없으므로 모순입니다. 따라서 가정이 거짓이므로 귀류법에 의해 $l$과 $\alpha$는 평행합니다.
직선 $l$과 평면 $\alpha$가 평행할 때, 직선 $l$을 포함하는 평면 $\beta$와 평면 $\alpha$의 교선 $m$은 직선 $l$과 평행함을 보이시오.
$l$과 $m$은 한 평면 $\beta$ 위에 있으므로 평행하거나, 한 점에서 만납니다. $l$과 $m$이 한 점 $\mrm{P}$에서 만난다고 가정하면 $\mrm{P}$는 $m$ 위의 점이므로 $\alpha$ 위의 점이기도 합니다. 그러면 $\mrm{P}$는 $l$과 $\alpha$의 교점이 되어 모순입니다.15문제에서는 $l$과 $\alpha$가 평행하다고 하였는데, 논리를 전개하여 $l$과 $\alpha$와 만난다는 사실을 얻었습니다. 두 직선이 평행함과 동시에 만날 수는 없으므로 모순입니다. 따라서 가정이 거짓이므로 귀류법에 의해 $l$과 $m$은 평행합니다.
두 평면 $\alpha$, $\beta$의 교선 $l$에 평행한 평면 $\gamma$가 $\alpha$, $\beta$와 각각 직선 $m$, $n$을 공유하면 $m \prl n$임을 보이시오.
예제 에 의해 $l \prl m$, $l \prl n$입니다. 따라서 $m \prl n$입니다.
평행한 두 직선 $l$, $m$에 대하여 `$l$을 포함하고 $m$을 포함하지 않는 평면 $\alpha$'와 `$m$을 포함하고 $l$은 포함하지 않는 평면 $\beta$'의 교선 $n$이 존재하면 $n$은 $l$, $m$과 평행함을 보이시오.
$\beta$는 $m$을 포함하면서 $l$을 포함하지 않으므로 예제 에 의하여 $l\prl \beta $입니다. 따라서 $l$과 $n$은 만나지 않습니다. 이때 $l$과 $n$은 동일한 평면 $\alpha$에 포함되어 있으므로 예제 에 의하여 $l \prl n$입니다. 마찬가지로 $m \prl \alpha$이므로 $m$과 $n$은 만나지 않습니다. 이때 $m$과 $n$은 동일한 평면 $\beta$에 포함되어 있으므로 예제 에 의하여 $m \prl n$입니다. 따라서 $n$은 $l$, $m$과 평행합니다.
평행한 두 평면 $\alpha$, $\beta$에 대하여 직선 $l$이 평면 $\alpha$에 포함되면 $l \prl \beta$임을 보이시오.
$l$과 $\beta$의 위치관계는 평행, 포함, 한 점에서 만남의 세 가지 중 하나이므로 한 점에서 만남을 보이기 위해 귀류법을 사용하겠습니다.16지금까지는 귀류법에서 가능한 결론이 $q$와 $~q$의 두 가지일 때, `$~q$라 두었을 때 모순이 도출되므로 $q$를 택해야 한다'는 논리를 사용했습니다. 가능한 결론이 세 가지인 상황에서는 `나머지 두 가지를 택했을 때 모순이 도출되므로, 선택할 수 있는 결론은 나머지 하나뿐이다'와 같이 동일한 논리를 확장하여 적용할 수 있습니다.
  1. $l$이 $\beta$와 한 점 $\mrm{P}$에서 만난다고 가정
    $\mrm{P}$는 $\alpha$ 위의 점인 동시에 $\beta$ 위의 점이 되어 모순입니다. ($\alpha$와 $\beta$가 평행하다는 조건에 모순)

  2. $l$이 $\beta$에 포함된다고 가정
    $l$은 $\alpha$와 $\beta$의 교선이 되어 모순입니다. ($\alpha$와 $\beta$가 평행하다는 조건에 모순)
따라서 위의 모든 가정들이 거짓이므로, 귀류법에 의해 $l \prl \beta$입니다.
평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 한 점 $\mrm{P}$에서 만나는 서로 다른 두 직선 $l$과 $m$이 모두 평면 $\alpha$에 평행하면, $l$과 $m$을 포함하는 평면 $\beta$는 평면 $\alpha$와 평행함을 보이시오.

먼저 문제의 주석에서 설명했듯이, 두 직선 $l$과 $m$은 한 점 $\mrm{P}$에서만 만나므로 $l\ne m$입니다. 이때 $\alpha$와 $\beta$가 평행하지 않다고 가정하면 두 평면은 교선 $n$을 가집니다.

$n$의 모든 점은 평면 $\alpha$에 포함되는데, $l \prl \alpha$이므로 $l$ 위의 모든 점은 평면 $\alpha$에 포함되지 않습니다. 따라서 $l$ 위의 점인 동시에 $n$ 위의 점인 경우는 없으므로, 두 직선 $l$과 $n$은 만나지 않습니다. 마찬가지로 $m$과 $n$도 만나지 않습니다.

한편 $l$과 $n$은 한 평면 $\beta$에 포함된 두 직선입니다. $l$과 $m$은 한 평면 위에 있으면서 만나지 않으므로 $l \prl n$입니다. 마찬가지로 $m \prl n$입니다. $\beta$에 포함된 직선 중 $\mrm{P}$를 지나고 $n$과 평행한 직선은 유일한데, 이는 $l=m$임을 의미하여 모순입니다.17문제에서는 $l\ne m$라 하였고, 논리를 전개하여 $l=m$을 얻었습니다. 두 직선이 다르면서 동시에 같을 수는 없으므로 모순입니다. 따라서 가정이 거짓이므로, $\beta$는 $\alpha$와 평행합니다.

두 평면 $\alpha$, $\beta$가 평행할 때, 평면 $\alpha$와 한 점에서 만나는 직선 $l$은 평면 $\beta$와 한 점에서 만남을 보이시오.
$l$과 $\alpha$의 교점을 $\mrm{P}$라 합시다. $l$과 $\beta$의 위치관계는 평행, 포함, 한 점에서 만남의 세 가지 중 하나이므로 한 점에서 만남을 보이기 위해 귀류법을 사용하겠습니다.
  1. $l$이 $\beta$에 포함된다고 가정
    $l$ 위의 모든 점이 $\beta$ 위에 있어야 합니다. 그런데 $\mrm{P}$는 $\beta$ 위에 있지 않으므로 모순입니다.18문제에서는 $\alpha$와 $\beta$가 평행하다고 하였으므로 $l$과 $\alpha$의 교점인 $\mrm{P}$는 $\beta$ 위에 있지 않고, 논리를 전개하여 $l$ 위의 점인 $\mrm{P}$는 $\beta$ 위에 있음을 얻었습니다. $\mrm{P}$가 $\beta$ 위에 있으면서 동시에 $\beta$ 위에 있지 않을 수는 없으므로 모순입니다.

  2. $l$과 $\beta$가 평행하다고 가정
    $\mrm{P}$를 지나고 $\beta$와 평행한 직선을 $m$이라 할 때, $l$과 $m$이 결정하는 평면을 $\gamma$라 하면 예제 에 의해 $\beta \prl \gamma$입니다. 그러면 $\gamma$는 점 $\mrm{P}$를 지나고 $\beta$에 평행한 평면이므로 $\alpha$와 동일한 평면임을 알 수 있습니다. 그러면 $l$이 $\alpha$에 포함되어 모순입니다.19문제에서는 $l$이 $\alpha$와 한 점 $\mrm{P}$에서 만나므로 $l$은 $\alpha$에 포함되지 않았고, 논리를 전개하여 $l$이 $\alpha$에 포함됨을 얻었습니다. $l$이 $\alpha$에 포함되지 않으면서 동시에 포함될 수는 없으므로 모순입니다.
따라서 위의 모든 가정들이 거짓이므로, 귀류법에 의해 $l$은 $\beta$와 한 점에서 만납니다.
서로 평행한 두 평면 $\alpha$, $\beta$에 대하여 평면 $\gamma$가 $\alpha$, $\beta$와 각각 만날 때, $\gamma$와 $\alpha$의 교선과 $\gamma$와 $\beta$의 교선은 서로 평행함을 보이시오.

$\alpha$와 $\beta$는 서로 평행하므로 $\alpha$에 포함된 직선과 $\beta$에 포함된 직선은 서로 만나지 않습니다. 따라서 $\alpha$와 $\gamma$의 교선 $l$과 $\beta$와 $\gamma$의 교선 $m$은 서로 만나지 않습니다. 이때 $l$과 $m$은 한 평면 $\gamma$ 위의 만나지 않는 두 직선이므로 서로 평행합니다.
서로 평행한 두 평면 $\alpha$, $\beta$에 대하여 평면 $\gamma$가 평면 $\alpha$와 만나면 평면 $\gamma$가 평면 $\beta$와 만남을 보이시오.
$\alpha$와 $\gamma$의 교선을 $l$이라 하고, $l$과 한 점 $\mrm{P}$에서 만나고 $\alpha$에 포함된 직선을 $m$이라 합시다. $\gamma$가 $\beta$와 만나지 않는다고 가정하면 $\gamma$와 $\beta$는 평행합니다. 그러면 $\gamma$ 위의 모든 직선은 $\beta$와 평행합니다. 이때 직선 $m$은 $\gamma$ 위의 점 $\mrm{P}$를 지나고 $\beta$와 평행하므로 $\gamma$에 포함된 직선입니다. 그러면 $\gamma$는 $l$과 $m$이 결정하는 평면임을 알 수 있습니다.

그런데 $l$과 $m$이 결정하는 평면은 $\alpha$이므로, $\alpha$와 $\gamma$는 동일한 평면이 되어 모순입니다.20문제에서는 $\alpha$와 $\gamma$가 만난다고 하였고, 논리를 전개하여 $\alpha=\beta$를 얻었습니다. 두 평면이 만나면서 동시에 같은 평면일 수는 없으므로 모순입니다. 참고로 `두 평면이 만난다'는 용어는 `서로 다른 두 평면이 교선을 가지며 만난다'는 것을 이야기하지, 두 평면이 모든 점에서 만나는 `일치'를 포함하지는 않습니다. 따라서 가정이 거짓이므로 귀류법에 의해 $\gamma$는 $\beta$와 만납니다.

서로 다른 세 평면 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$에 대하여 $\alpha \prl \beta$, $\beta \prl \gamma$이면 $\alpha \prl \gamma$임을 보이시오.

평면 $\alpha$ 위의 만나는 두 직선 $l$, $m$을 잡으면 예제 에 의해 $l \prl \beta$, $m \prl \beta$입니다. 이때 직선과 평면의 위치관계에 따르면 $l$은 평면 $\gamma$와 평행하거나, 한 점에서 만나거나, $\gamma$에 포함됩니다.
  1. $l$이 $\gamma$와 한 점에서 만난다고 가정
    예제 에 의해 $l$이 $\beta$와 한 점에서 만납니다. 이는 $l \prl \beta$과 모순입니다.

  2. $l$이 $\gamma$에 포함된다고 가정
    $l$은 $\alpha$와 $\gamma$의 교선입니다. 이때 $m$은 $\gamma$에 포함되거나 한 점에서 만납니다.

    1. $m$이 $\gamma$에 포함한다고 가정
      $\alpha$와 $\gamma$가 같은 평면이므로 모순입니다. (문제에서는 $\alpha$와 $\gamma$가 서로 다르다고 하였는데, 논리를 전개한 결과 둘이 같다는 결과를 얻었습니다. 두 평면이 다르면서 동시에 같을 수는 없으므로 모순입니다.)
    2. $m$이 $\gamma$와 한 점에서 만난다고 가정
      $\gamma$는 $\alpha$와 평행하지 않습니다. 그러면 예제 에 의해 $\gamma$는 $\beta$와도 만나므로 모순입니다. (문제에서는 $\beta \prl \gamma$라고 하였습니다.)
따라서 위의 모든 가정들이 거짓이므로, 귀류법에 의해 $l \prl \gamma$이고, 마찬가지로 $m$에도 동일한 논리를 적용하면 $m \prl \gamma$입니다. 따라서 예제 에 의하여 $l$과 $m$이 결정하는 평면 $\alpha$는 $\gamma$와 평행합니다.

4단계 문제 : 삼수선의 정리

평면 $\alpha$와 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 점 $\mrm P$, 평면 $\alpha$에 포함된 직선 $l$, 직선 $l$ 위의 한 점 $\mrm H$, 평면 $\alpha$ 위에 있으면서 직선 $l$ 위에 있지 않은 점 $\mrm{O}$에 대하여 다음이 성립함을 보이시오.
  1. $\ovr{PO} \ppd \alpha$, $\ovr{OH} \ppd l$이면 $\ovr{PH} \ppd l$
  2. $\ovr{PO} \ppd \alpha$, $\ovr{PH} \ppd l$이면 $\ovr{OH} \ppd l$

  3. $\ovr{PH} \ppd l $, $ \ovr{OH} \ppd l $, $ \ovr{PO} \ppd \ovr{OH}$이면 $ \ovr{PO} \ppd \alpha $
직선 $l$에서 만나는 두 평면 $\alpha$, $\beta$ 중 어느 평면 위에도 있지 않은 한 점 $\mrm{P}$가 있다. 점 $\mrm{P}$에서 평면 $\alpha$, $\beta$에 내린 수선의 발을 각각 $\mrm{A}$, $\mrm{B}$라 할 때, 두 점 $\mrm{A}$, $\mrm{B}$에서 각각 직선 $l$에 내린 수선의 발이 일치함을 보이시오.

평면 $\alpha$와 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 점 $\mrm P$, 평면 $\alpha$에 포함된 직선 $l$, 직선 $l$ 위의 한 점 $\mrm H$, 평면 $\alpha$ 위에 있으면서 직선 $l$ 위에 있지 않은 점 $\mrm{O}$에 대하여 다음이 성립함을 보이시오.
  1. $\ovr{PO} \ppd \alpha$, $\ovr{OH} \ppd l$이면 $\ovr{PH} \ppd l$
  2. $\ovr{PO} \ppd \alpha$, $\ovr{PH} \ppd l$이면 $\ovr{OH} \ppd l$
  3. $\ovr{PH} \ppd l $, $ \ovr{OH} \ppd l $, $ \ovr{PO} \ppd \ovr{OH}$이면 $ \ovr{PO} \ppd \alpha $

삼수선의 정리 ①

$\ovr{PO}\ppd\alpha$(강)이고 $l$은 $\alpha$에 포함되므로 $\ovr{PO}\ppd l$(약)입니다. 한편 조건에서 $\ovr{OH}\ppd l$(약)이므로 $l$은 $\mrm{PO}$와 $\mrm{OH}$를 포함하는 평면인 $\mrm{PHO}$와 강직입니다. 이때 $\mrm{PH}$는 $\mrm{PHO}$에 포함되므로 $l\ppd\ovr{PH}$(약)입니다.

삼수선의 정리 ②

$\ovr{PO}\ppd\alpha$(강)이고 $l$은 $\alpha$에 포함되므로 $\ovr{PO}\ppd l$(약)이고, 조건에서 $\ovr{PH}\ppd l$(약)이므로 $l \ppd \mrm{PHO}$(강)입니다. 이때 $\mrm{OH}$는 평면 $\mrm{PHO}$에 포함되므로 $l \ppd \ovr{OH}$(약)입니다.

삼수선의 정리 ③

$\ovr{PH}\ppd l$(약), $\ovr{OH}\ppd l$(약)이므로 $l \ppd \mrm{PHO}$(강)입니다. 따라서 $\mrm{PO}\ppd l$(약)입니다. 이때 문제의 조건에서 $\ovr{PO}\ppd\ovr{OH}$(약)이므로 $\mrm{PO}$는 $\alpha$에 포함되는 평행하지 않은 두 직선과 수직입니다. 따라서 예제 에 의하여 $\ovr{PO}\ppd\alpha$(강)입니다.
직선 $l$에서 만나는 두 평면 $\alpha$, $\beta$ 중 어느 평면 위에도 있지 않은 한 점 $\mrm{P}$가 있다. 점 $\mrm{P}$에서 평면 $\alpha$, $\beta$에 내린 수선의 발을 각각 $\mrm{A}$, $\mrm{B}$라 할 때, 두 점 $\mrm{A}$, $\mrm{B}$에서 각각 직선 $l$에 내린 수선의 발이 일치함을 보이시오.
$\mrm{A}$, $\mrm{B}$에서 각각 $l$에 내린 수선의 발을 $\mrm{H}$, $\mrm{I}$라 할 때, 삼수선의 정리 [1]에 의해 각각 $l \ppd \ovr{PH}$(약), $l \ppd \ovr{PI}$(약)입니다. 즉 $\mrm{H}$와 $\mrm{I}$는 각각 $\mrm{P}$에서 $l$에 내린 수선의 발이고, 한 점에서 한 직선에 내린 수선의 발은 유일하므로 $\mrm{H}$와 $\mrm{I}$는 동일한 점입니다. 따라서 $\mrm{A}$, $\mrm{B}$에서 각각 $l$에 내린 수선의 발은 일치합니다.
  1. 1. 예제에서는 `강직'과 `약직'이라는 용어를 사용하지 않지만, 해설(증명)에서는 사용하겠습니다. $\ppd$ 기호를 사용할 경우 강직이면 (강), 약직이면 (약)으로 표기합니다.
  2. 2. 이 방법이 틀렸다는 것이 아닙니다. 방법은 맞는데, 왜 그 방법을 쓸 수 있는지를 모르고 단순히 결과와 방법만을 암기해 풀이한다면 논리력에도, 공간지각력에도 전혀 도움이 되지 않기 때문입니다.
  3. 3. 이 명제는 스스로 증명하지 않아도 됩니다. 풀이에서 제시된 증명을 따라가기만 하세요.
  4. 4. 평면 $\alpha$ 위의 서로 만나는 두 직선 $m$, $n$에 대하여 $l$과 $m$이 약직이고 $l$과 $n$이 약직이면 $l$과 $\alpha$는 강직이다.
  5. 5. $l$과 $\alpha$가 강직이면 $l$은 $\alpha$ 위의 모든 직선과 약직이다.
  6. 6. 어떤 평면의 법선을 포함한 평면은 그 평면과 수직이다.
  7. 7. 두 평면이 서로 수직일 때 한 평면 위의 점에서 교선에 그은 수선은 다른 평면의 법선이다(다른 평면과 강직이다).
  8. 8. $\alpha$에 각각 수직인 두 평면 $\beta$, $\gamma$에 대하여 $\beta$와 $\gamma$의 교선은 $\alpha$의 법선이다.
  9. 9. `평행한 두 직선 중 한 직선이 어떤 평면에 강직이면 나머지 직선도 그 평면에 강직이다.' 또는 `평행한 두 직선 중 한 직선이 어떤 평면의 법선이면 나머지 직선도 그 평면의 법선이다.'
  10. 10. `어떤 평면에 강직인 서로 다른 두 직선은 서로 평행하다.' 또는 `어떤 평면의 법선끼리는 서로 평행하다.'
  11. 11. $\beta$와 $\gamma$는 서로 평행하지 않고, $\beta$는 $m$을, $\gamma$는 $l$을 포함하지 않는다고 전제합니다.
  12. 12. `한 점에서만 만난다'가 아니라 `한 점에서 만난다'고만 말해도 `일치하는 경우', 즉 `모든 점에서 만나는 경우'는 배제됩니다. 두 직선의 위치관계를 `한 점에서 만난다', `평행하다', `일치한다'로 정의했기 때문입니다.
  13. 13. 문제에서는 $\mrm{Q} \not\subset \alpha$라 하였는데, 논리를 전개하여 $\mrm{Q} \subset \alpha$를 얻었습니다. $\mrm{Q} \not\subset \alpha$인 동시에 $\mrm{Q} \subset \alpha$일 수 없으므로 모순입니다.
  14. 14. 문제에서는 $l$과 $m$이 평행하다고 하였는데, 논리를 전개하여 $l$과 $m$이 꼬인 위치에 있음을 얻었습니다. 두 직선이 평행하면서 동시에 꼬인 위치에 있을 수 없으므로 모순입니다.
  15. 15. 문제에서는 $l$과 $\alpha$가 평행하다고 하였는데, 논리를 전개하여 $l$과 $\alpha$와 만난다는 사실을 얻었습니다. 두 직선이 평행함과 동시에 만날 수는 없으므로 모순입니다.
  16. 16. 지금까지는 귀류법에서 가능한 결론이 $q$와 $~q$의 두 가지일 때, `$~q$라 두었을 때 모순이 도출되므로 $q$를 택해야 한다'는 논리를 사용했습니다. 가능한 결론이 세 가지인 상황에서는 `나머지 두 가지를 택했을 때 모순이 도출되므로, 선택할 수 있는 결론은 나머지 하나뿐이다'와 같이 동일한 논리를 확장하여 적용할 수 있습니다.
  17. 17. 문제에서는 $l\ne m$라 하였고, 논리를 전개하여 $l=m$을 얻었습니다. 두 직선이 다르면서 동시에 같을 수는 없으므로 모순입니다.
  18. 18. 문제에서는 $\alpha$와 $\beta$가 평행하다고 하였으므로 $l$과 $\alpha$의 교점인 $\mrm{P}$는 $\beta$ 위에 있지 않고, 논리를 전개하여 $l$ 위의 점인 $\mrm{P}$는 $\beta$ 위에 있음을 얻었습니다. $\mrm{P}$가 $\beta$ 위에 있으면서 동시에 $\beta$ 위에 있지 않을 수는 없으므로 모순입니다.
  19. 19. 문제에서는 $l$이 $\alpha$와 한 점 $\mrm{P}$에서 만나므로 $l$은 $\alpha$에 포함되지 않았고, 논리를 전개하여 $l$이 $\alpha$에 포함됨을 얻었습니다. $l$이 $\alpha$에 포함되지 않으면서 동시에 포함될 수는 없으므로 모순입니다.
  20. 20. 문제에서는 $\alpha$와 $\gamma$가 만난다고 하였고, 논리를 전개하여 $\alpha=\beta$를 얻었습니다. 두 평면이 만나면서 동시에 같은 평면일 수는 없으므로 모순입니다. 참고로 `두 평면이 만난다'는 용어는 `서로 다른 두 평면이 교선을 가지며 만난다'는 것을 이야기하지, 두 평면이 모든 점에서 만나는 `일치'를 포함하지는 않습니다.