원리 : 공간도형을 다루는 요령
1. 새로운 그림을 적극적으로 그리자
공간도형 문제를 풀 때 주어진 그림, 또는 본인이 그린 그림에 이 정보 저 정보 모두 표시하다가 그림이 새카매진 경험은 누구나 있을 것입니다. 그런 그림으로 문제를 푸는 것은 미관상으로도 좋지 않을 뿐더러, 정보가 일목요연하게 정리되지 않으므로 사고를 논리적으로 전개하기에도 불편합니다. 새로운 그림을 적극적으로 그리는 것이 필요한 것은 이 때문입니다.주어진 그림 속에서 모든 상황을 다 표현할 필요는 없습니다. 주어진 그림의 구도나 시점이 자신이 표현하려는 정보를 담기에 불편하다면, 자신이 현재 풀이해야 할 도형만을 나타낸 새로운 그림을 그려보세요. 보기에도 좋고 문제풀이도 편해질 것입니다.
새로운 그림을 그리면 편한 상황을 간단한 예제를 통해 만나보겠습니다.
[풀이]
아래 그림과 같이 $\sin\theta = \dfrac{3}{5}$이므로 $100\sin\theta=60$입니다.
위 풀이에서, 주어진 그림에 정보를 억지로 표시한 왼쪽 그림보다는, 보기 편하게 새로이 구도를 잡고 문제풀이에 불필요한 요소(평면 $\alpha$)를 제거한 오른쪽 그림이 바람직할 것입니다.
2. 약직과 강직을 정확히 구별하자
왜 굳이 강직과 약직이라는 새로운 용어를 도입했는가?
약직강직 공간도형에서 어려움을 겪는 학생들은 약직을 강직으로, 강직을 약직으로 착각하는 일이 잦습니다. 더 심한 경우 강직과 약직 자체를 구별하지 못하기도 합니다. 두 직각의 차이점을 정확히 이해하고, 공간의 상황에서 구별할 수 있어야 공간에서의 상황을 정확히 이해할 수 있으므로 굳이 교과서에 없는 새로운 용어를 도입한 것입니다.약직과 강직을 표시하는 원칙
직각은 `두 개의 짧은 선분'을 이용하여 표시됩니다. 공간에서 약직과 강직을 혼동하지 않도록 직각을 표시하는 원칙을 배워봅시다.
직선과 평면의 수직, 즉 강한 직각을 나타낼 때에는 오른쪽 그림과 같이 평면에 수직인 직선과 평행한 선분 하나와, \underline그림에서 주어진 `평면에 포함된 직선'과 평행하지 않은 선분 \underline하나를 이용합니다.1약직과 혼동되지 않도록 하기 위함입니다. 오른쪽 그림의 두 직각은 모두 평면에 강직임을 나타내고 있는데, 상황에 따라 약직과 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.
약직과 강직이 한 곳에서 동시에 나타날 때
약직과 강직에 대해 주의해야 할 점
약직 하나로는 강직이 보장되지 않는다.
공간도형에 익숙지 않은 학생의 경우, 법선이 아닌 직선을 법선으로 착각하는 경우가 잦습니다. 이는 `약직' 하나만 찾아놓고 `강직'으로 착각했기 때문입니다. 따라서 약직과 강직을 혼동하지 않도록 `약직과 강직을 그리는 원칙'을 반드시 지키기 바랍니다.강직은 약직을 포함한다. 그렇지만 강직을 그릴 땐 약직을 꼭 그림에 표기하자.
법선은 평면 위의 모든 직선과 수직(약직)이므로, 평면 위의 임의의 직선이 법선과 약직입니다. 즉 그림에 강직만 표기하고 약직을 아예 표기하지 않아도 논리적으로는 문제될 것이 없습니다. 많은 교재에서 강직과 약직이 동시에 있을 때 강직만 표시하고 약직을 표시하지 않는 것은 이 때문입니다.그러나 우리의 입장은 저자나 해설자가 아니라 문제를 푸는 수험생이므로, 문제풀이 과정에서 조건으로 쓰일 수도 있는 약직을 놓쳐서는 안됩니다. 그렇다면 표시해 두지 않았다가 놓치는 것보다는, 미리 표시를 해두고 나중에 필요할 때 눈에 잘 띄도록 하는 것이 유리할 것입니다.
그러니 공간도형 문제풀이의 실력이 쌓일 때까지는, 약직을 빼먹지 말고 표시합시다. 나중에 실력이 쌓이면 강직만 표시하더라도 자연스럽게 약직을 끌어낼 수 있을 것입니다.
`강직과 약직'의 관점에서 해석하는 삼수선의 정리
삼수선의 정리삼수선의 정리 ①, ②의 해석
삼수선의 정리 ③의 해석
삼수선의 정리에서 주의해야 할 점 : 그림을 믿지마 길이를 믿어
①, ②를 사용할 때는 상황이 비교적 간단하여 실수가 자주 발생하지 않습니다. 그러나 ③을 사용할 때에는 실수할 여지가 있으므로 주의를 기울여야 합니다. ③에서 학생들이 가장 많이 범하는 실수는 `두 개의 약직'만 주어졌을 때 나머지 약직 하나를 근거 없이 설정하여 `삼수선의 정리 ③을 이용해 강직 하나를 찾았다'고 착각하는 것입니다. 대표적인 예제를 풀어봅시다.그림과 같이 사면체 $\mrm{ABCD}$의 각 모서리의 길이는 \[\begin{align*}\ovr{AB}=\ovr{AC}=7, \quad \ovr{BD}=\ovr{CD}=5, \quad \ovr{BC}=6, \quad \ovr{AD}=4\end{align*}\] 이다. 평면 $\mrm{ABC}$와 평면 $\mrm{BCD}$가 이루는 이면각의 크기를 $\theta$라 할 때, $\cos\theta$의 값은? (단, $\theta$는 예각이다.) [4점]
이 문제를 풀 때 두 이등변삼각형 $\mrm{ABC}$, $\mrm{DBC}$의 성질을 이용하기 위해 선분 $\mrm{BC}$의 중점을 $\mrm{M}$이라 하고 (a)와 같이 약직을 표시하게 됩니다. 그런데 (b)와 같이 $\mrm{AD} \ppd \mrm{MD}$가 성립한다고 오해하는 경우가 많습니다. $\mrm{AD}$의 올바른 위치관계는 (c)와 같습니다. 제시된 그림이 둔각을 직각처럼 보이도록 혼란을 유도했던 것입니다.
이런 실수를 최소화할 수 있는 방법은 `그림을 믿지 말고 길이를 믿는 것'입니다. 삼각형 $\mrm{AMD}$의 세 변의 길이 $4$, $4$, $\sqrt{40}$을 모두 구했다면 $\sqrt{40}^2 > 4^2 + 4^2$이므로 둔각삼각형임을 쉽게 파악할 수 있습니다. 또는 코사인법칙을 사용하는 것도 한 방법입니다. $\angle \mrm{ADM} = \theta$라 하면 $\sqrt{40}^2 = 4^2 + 4^2 - 2\cdot4\cdot4\cos\theta$에서 $\cos\theta = - \dfrac{1}{4}$이므로 $\angle \mrm{ADM}$이 둔각임을 간단히 알 수 있습니다.4정답은 $\dfrac{5}{\sqrt{40}} = \dfrac{\sqrt{10}}{4}$이므로 ④입니다.
여기서 중요한 것은 코사인법칙의 사용 여부가 아니라, 그림 정보보다는 길이 정보를 더 신뢰하라는 것입니다. 문제에서 주어진 조건, 피타고라스 정리로 얻어낸 길이 정보는 (풀이 과정 상의 계산 실수가 없다는 가정 하에) 절대적으로 옳으므로 100\% 신뢰할 수 있고 혼동할 여지가 전혀 없습니다. 이에 반해 공간도형의 그림은 3차원 정보를 2차원 평면에 그린 것이다보니 왜곡이 생겨 혼동할 여지가 많습니다. 그림을 절대적으로 신뢰하지 말고, 주어진 정보나 얻은 정보를 표시하여 상황을 파악하는 용도, 논리 전개를 뒷받침할 때 참고하는 용도 등 보조적으로만 활용하는 것이 좋습니다.