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원리 \& 이해 : 정다면체, 구, 원

정다면체

정사면체와 정육면체는 공간도형 문제에서 기본도형과 다름없이 출제되는 빈출주제이므로 정사면체와 정육면체의 기본적인 성질과 정보를 알아두면 유리합니다.

정사면체의 높이

정사면체

$\text{[math]}$

정사면체 $\mrm{ABCD}$에 대하여 $\mrm{A}$에서 $\mrm{BCD}$에 내린 수선의 발은 삼각형 $\mrm{BCD}$의 무게중심 $\mrm{G}$입니다. 이때 $\mrm{AG}$는 정사면체의 높이입니다.¹

정다면체의 관계

정육면체로 정사면체 얻기

정육면체

$\text{[math]}$

정육면체의 각 면의 대각선 중 일부를 이용하면 정사면체를 만들어낼 수 있습니다. 이를 이용하면 좌표공간 상에서 정사면체의 꼭짓점의 좌표를 쉽게 설정할 수 있습니다.

정육면체로 정팔면체 얻기

$\text{[math]}$

정육면체의 각 면에서의 대각선의 교점을 꼭짓점으로 취하면 정팔면체가 됩니다. 이를 이용하면 좌표공간 상에서 정팔면체의 꼭짓점의 좌표를 쉽게 설정할 수 있습니다.

정사면체와 정육면체의 기본 정보

모서리와 모서리가 이루는 각(직직각), 모서리와 면이 이루는 각(직평각), 면과 면이 이루는 각(이면각)의 크기와 높이, 겉넓이, 부피를 비롯한 많은 성질을 미리 숙지하고 있는 것이 유리합니다.²아래의 표에서 각 정다면체의 한 변의 길이는 $a$이고, 정육면체의 대각선이란 정육면체에서 두 꼭짓점을 이은 선분 중 가장 길이가 큰 것을 말합니다.

|X[2.5,c,m]|X[3,c,m]|X[3,c,m]| & 정사면체 & 정육면체
이면각의 크기 $\theta$ $(0\le\theta <\pi)$ & $\cos\theta =\dfrac{1}{3}$ & $\cos\theta =0$
두 모서리가 이루는
각의 크기 & $\begin{aligned} &\text{만날 때 : $\dfrac{\pi}{3}$}\\ &\text{꼬인 위치에 있을 때 : $\dfrac{\pi}{2}$} \end{aligned}$ & $\begin{aligned} &\text{만날 때 : $\dfrac{\pi}{2}$}\\ &\text{꼬인 위치에 있을 때 : $\dfrac{\pi}{2}$}\\ &\text{평행할 때 : $0$} \end{aligned}$
면과 모서리가 이루는 각의 크기 $\theta$ $(0\le\theta <\pi)$ & $\cos\theta =\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ & $\begin{aligned} &\text{$\cos\theta =0$ (수직)}\\ &\text{$\cos\theta =1$ (평행)} \end{aligned}$
면 사이의 거리 & - & $a$
높이 & $\dfrac{\sqrt{6}}{3}a$ & -
대각선의 길이 & - & $\sqrt{3}a$
꼬인 위치에 있는 두 모서리 사이의 거리 & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}a$ & $a$
부피 & $\dfrac{\sqrt{2}}{12}a^{3}$ & $a^{3}$

정팔면체의 기본 정보

정팔면체 정팔면체는 `정사면체와 정육면체'만큼 많이 출제되지는 않지만, 언제라도 출제될 가능성이 있으므로 정육면체로 정팔면체를 얻는 방법과 정팔면체의 기본 정보를 알아봅시다. 정팔면체에서 모서리와 모서리가 이루는 각(직직각), 모서리와 면이 이루는 각(직평각), 면과 면이 이루는 각(이면각)의 크기와 높이, 겉넓이, 부피를 구하면 아래 표와 같습니다.³

=1.2mm to 0.9 |X[3,c,m]|X[5,c,m]| 이면각의 크기 $\theta$
$(0\le\theta <\pi)$ & $\cos\theta =-\dfrac{1}{3}$
두 모서리가 이루는
각의 크기 & $\begin{aligned} &\text{한 면에 포함되며 만날 때 : $\dfrac{\pi}{3}$}\\ &\text{한 면에 포함되지 않으며 만날 때 : $\dfrac{\pi}{2}$}\\ &\text{꼬인 위치에 있을 때 : $\dfrac{\pi}{3}$}\\ &\text{평행할 때 : $0$} \end{aligned}$
면과 모서리가 이루는 각의 크기 $\theta$ $(0\le\theta <\pi)$ & $\cos\theta =\dfrac{\sqrt{3}}{3}$, $\cos\theta =1$(평행)
면 사이의 거리 & $\dfrac{\sqrt{6}}{3}a$
대각선의 길이 & $\sqrt{2}a$
꼬인 위치에 있는 두 모서리 사이의 거리 & $\dfrac{\sqrt{6}}{3}a$
부피 & $\dfrac{\sqrt{2}}{3}a^{3}$

구와 공간도형의 관계

구 위의 점을 $\mrm P$, 구의 중심을 $\mrm{C}$, 구의 반지름을 $r$라 하고 구와 도형의 관계에 대하여 알아보겠습니다.

구와 점

구와 점의 위치관계 어떤 점을 $\mrm A$라 하고 $\ovr{AC} = d$라 합시다. 그러면 점 $\mrm{A}$의 위치에 따른 $\ovr{AP}$의 범위는 다음과 같습니다.

$\text{[math]}$

$\mrm{A}$가 구의 중심 $\mrm{C}$와 일치 : $\ovr{AP}=r$
$\mrm{A}$가 $\mrm{C}$가 아닌 구 내부의 점 : $r -d \le \ovr{AP} \le r + d$
$\mrm{A}$가 구 위의 점 : $0 \le \ovr{AP} \le 2r$
$\mrm{A}$가 구 외부의 점 : $d - r \le \ovr{AP} \le d + r$

즉 점 $\mrm{A}$의 위치와 관계없이, $|d-r| \le \ovr{AP} \le d + r$라 할 수 있습니다.

구 외부의 점에서 그은 접선

구와 접선

$\text{[math]}$

구 외부의 점 $\mrm{P}$에서 구에 그은 접선은 그림과 같이 무수히 많으며, 접점 $\mrm{Q}$가 나타내는 도형은 원입니다. 따라서 점 $\mrm{P}$를 꼭짓점으로 하고 $\mrm{PQ}$를 모선, 점 $\mrm{Q}$가 나타내는 도형을 밑면으로 하는 원뿔을 생각할 수 있습니다.

구와 직선의 위치관계, 구 위의 점과 직선 사이의 거리의 최솟값

구와 직선의 위치관계

$\text{[math]}$

만나지 않는다
한 점에서 만난다 (접한다)
두 점에서 만난다

[2], [3]의 경우 직선과 구가 만나므로 구 위의 점 $\mrm{P}$와 직선 위의 점 $\mrm{Q}$ 사이의 거리의 최솟값은 $0$입니다. [1]의 경우 $\ovr{PQ}$의 최솟값을 구해봅시다.⁴

$\text{[math]}$

구의 중심에서 직선에 내린 수선의 발을 $\mrm H$라 하면 $\ovr{CH}$는 직선과 구의 중심 $\mrm{C}$ 사이의 거리입니다. 직선 $\mrm{CH}$는 구의 중심을 지나므로 구와 두 점에서 만납니다. 두 점 중 선분 $\mrm {CH}$ 위에 있는 점을 $\mrm A$라 하면 $\ovr{AH}= \ovr{CH} - r$이 직선과 구 위의 점 사이의 거리의 최솟값입니다. 따라서 $\ovr{PQ}$는 최솟값 $\ovr{CH} - r$을 갖습니다.⁵

구와 평면의 위치관계, 구 위의 점과 평면 사이의 거리의 최솟값

구와 평면의 위치관계

$\text{[math]}$

만나지 않는다
한 점에서 만난다 (접한다)
교선인 원을 이룬다⁶이때 $\mrm{C}$가 $\alpha$ 위의 점일 때 생기는 교선인 원을 대원이라고 부르기로 합시다. 비록 교과서에 등장하지 않는 용어이므로 파란색이지만, 엄연한 공식 수학 용어입니다.

[2], [3]의 경우 평면과 구가 만나므로 구 위의 점 $\mrm{P}$와 평면 위의 점 $\mrm{Q}$ 사이의 거리의 최솟값은 $0$입니다. [1]의 경우 $\ovr{PQ}$의 최솟값을 구해봅시다.⁷세 경우 모두 거리의 최댓값은 존재하지 않습니다.

$\text{[math]}$

구의 중심에서 평면에 내린 수선의 발을 $\mrm H$라 하면 $\ovr{CH}$는 평면과 구의 중심 $\mrm{C}$ 사이의 거리입니다. 직선 $\mrm{CH}$는 구의 중심을 지나므로 구와 두 점에서 만납니다. 두 점 중 선분 $\mrm {CH}$ 위에 있는 점을 $\mrm A$라 하면 $\ovr{AH}= \ovr{CH} - r$이 평면과 구 위의 점 사이의 거리의 최솟값입니다. 따라서 $\ovr{PQ}$의 최솟값은 $\ovr{CH} - r$입니다.⁸

두 개의 구

두 구의 위치관계

반지름이 $r_1$, $r_2$인 두 구 $S_1$, $S_2$에 대하여 두 구의 중심 사이의 거리를 $d$라 하면 위치관계는 다음과 같습니다. (단, 그림에서는 $r_1>r_2$)⁹$r_1$, $r_2$, $d$를 보기 편하게 하기 위하여 구를 원으로 대체하여 그렸습니다. 실제로는 구입니다. $r_1=r_2$인 경우 ①,②,③은 동일하고, ④, ⑤와 같은 경우는 존재하지 않으며, \hcn6의 경우 두 구가 일치합니다.

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

두 개의 구에 동시에 접하는 평면(내접과 외접)

서로 내접하지 않는 두 구에 대하여, 두 구의 외부¹⁰원의 내부(외부)와 마찬가지로 구의 내부(외부)를 생각할 수 있습니다.의 공통영역에 있는 한 점을 $\mrm{P}$라 합시다. $\mrm{P}$를 지나고 두 구에 동시에 접하는 평면(공통접평면)에 대하여 알아봅시다.

$\text{[math]}$

두 구가 만나지 않거나 외접하는 경우, 어떤 평면이 두 구의 사이에 끼이면서 접할 수 있습니다. 이를 평면이 두 구에 내접한다고 부르기로 합시다.@두 구와 한 평면}

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

한 평면이 두 구에 내접하는 상황을 Space 3.2)에서 배운 방법에 따라 가장 간단한 그림으로 나타내면 (a), (b)와 같이 두 구 중 한 구는 평면의 위쪽에, 나머지 한 구는 평면의 아래쪽에 놓이게 됩니다. 즉 평면이 두 구에 내접하는 경우, 두 구는 평면을 기준으로 서로 반대편에 위치하게 됩니다.

(a)에서 두 구의 중심을 각각 $\mrm{O_1}$,$\mrm{O_2}$라 할 때, 직선 $\mrm{O_1O_2}$를 포함한 임의의 평면에서의 상황은 (c)와 같습니다. 마찬가지로 (b)에서 구의 중심을 각각 $\mrm{O_1}$, $\mrm{O_2}$라 하고, 각 구에서 평면에 접하는 점을 각각 $\mrm{P}$, $\mrm{Q}$라 할 때, $\mrm{O_1 P}$, $\mrm{O_2 Q}$는 주어진 평면의 법선이므로 서로 평행하고, 평행한 두 직선이므로 한 평면을 결정합니다. 그 평면에서의 상황은 (d)와 같습니다.

$\text{[math]}$

두 구가 만나지 않거나 외접하거나 교선인 원을 이룰 때, 어떤 평면은 두 구의 사이에 끼이지 않으면서 접할 수 있습니다. 이를 평면이 두 구에 외접한다고 부르기로 합시다.@두 구와 한 평면}

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

한 평면이 두 구에 외접하는 상황을 Space 3.2)에서 배운 대로 가장 간단한 그림으로 나타내면 (a), (b), (c)와 같습니다. 내접에서와 마찬가지로, 주어진 평면에 수직인 두 직선이 결정하는 평면에서의 상황을 나타내면 각각 (d), (e), (f)와 같습니다.

이와 같이 한 평면이 두 구에 동시에 접할 때에는 `구의 중심과 접점을 지나는 직선들로 결정되는 평면'에서의 상황으로 문제를 풀어나갈 수 있습니다.

$\text{[math]}$

두 구가 내접할 때 이 두 구의 공통접평면은 외접하는 공통접평면뿐입니다.

원과 공간도형의 관계

공간에서 원은 한 평면을 결정한다

공간에서의 원 원은 한 직선 위에 있지 않은 세 점을 항상 포함하므로 평면의 결정조건에 의해 항상 한 평면을 결정합니다. 다시 말해, 원은 항상 어떤 평면에 포함되어 있습니다.

원과 점

원과 점 어떤 점을 $\mrm P$, 원 위의 점을 $\mrm Q$, 원의 중심을 $\mrm{C}$, 원의 반지름을 $r$라 할 때, $\mrm P$와 원의 위치관계와 그에 따른 $\ovr{PQ}$의 최대·최소를 알아보겠습니다.

$\mrm P$가 `원을 포함한 평면' 위에 있을 때

원과 점이 한 평면 위에 있으므로 맑은개념 중학도형에서 다룬 상황과 동일합니다.

$\mrm P$가 `원을 포함한 평면' 위에 있지 않을 때

원과 $\mrm P$가 한 평면 위에 있지 않으므로 $\mrm P$과 원을 연계해줄 점이 하나 필요합니다. 그 점은 바로 $\mrm P$에서 `원을 포함하는 평면'에 내린 수선의 발 $\mrm H$입니다.

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

$\mrm H$는 `원을 포함한 평면' 위의 점이므로, 맑은개념 중학도형에서 배운 내용을 이용하면 $\ovr{HQ}$의 최대·최소를 구할 수 있습니다.¹¹

$\text{[math]}$

한편 직선 $\mrm{PH}$는 평면에 강직이므로 평면 위의 임의의 직선과 약직입니다. 이를 이용하면 삼각형 $\mrm{PQH}$가 $\mrm{Q}$의 위치에 관계 없이 항상 직각삼각형임을 알 수 있습니다. 따라서 $\mrm H$로 먼저 $\ovr{HQ}$의 최대·최소를 구한 후, 최대 또는 최소일 때의 값을 $\ovr{PQ} = \sqrt{\ovr{PH}^2 + \ovr{HQ}^2}$에 대입하여 원하는 값을 구하면 됩니다.

이 아이디어는 에서 공간벡터로 재해석하여 다시 사용되고, 이후에도 아주 유용하게 사용되므로 논리의 흐름을 잘 기억하도록 합시다.

한 평면 위의 원과 직선

원과 직선 원과 직선이 한 평면 위에 있으므로 맑은개념 중학도형에서 다룬 상황과 동일합니다.

한 평면 위에 있지 않은 원과 직선

공간에서 직선과 원의 위치관계에 따른 `직선 위의 점'과 `원 위의 점' 사이의 거리의 최대·최소를 알아봅시다. 최댓값은 존재하지 않으므로, 최솟값 $m$과 최소가 될 때의 상황을 알아보겠습니다. 중심이 $\mrm{O}$인 원 $C$가 결정하는 평면 $\alpha$와, $\alpha$와 한 점 $\mrm{P}$에서 만나는 직선 $l$에 대하여 $l$의 $\alpha$ 위로의 정사영을 $l'$이라 합시다.

특수한 경우 (1) : $l'$이 $\mrm{O}$를 지날 때

$\text{[math]}$

$l'$과 $C$와 만나는 두 점 중 $\mrm{P}$와의 거리가 작은 점을 $\mrm{Q}$라 할 때, $\mrm{P}$의 위치에 관계 없이 $\mrm{Q}$와 $l$ 사이의 거리가 $m$입니다.

특수한 경우 (2) : $\mrm{P}$를 지나고 $l'$에 수직인 직선 $n$이 $\mrm{O}$를 지날 때

$\text{[math]}$

$n$이 $C$와 만나는 두 점 중 $\mrm{P}$와의 거리가 작은 점을 $\mrm{R}$라 할 때, $\mrm{P}$가 $C$의 외부에 있으면 $m=\ovr{PR}$입니다. $\mrm P$가 $C$ 위에 있으면 $\mrm{P} = \mrm{R}$은 $l$ 위의 점인 동시에 $C$ 위의 점이므로 $m=0$입니다. $\mrm{P}$가 $C$의 내부에 있는 경우는 수능에서 다루기는 복잡하므로, 이와 관련된 내용은 다루지 않고 생략합니다.

일반적인 경우

미분을 통해 최대·최소를 구해야 하므로 출제 가능성이 없습니다. 따라서 이와 관련된 내용은 다루지 않고 생략합니다.

원과 평면

원과 평면 원과 그 원을 포함하지 않는 평면의 위치관계를 알아봅시다. 원을 포함한 평면을 $\alpha$라 하고, $\alpha$와 $\beta$의 교선을 $l$이라 할 때, 원과 $\beta$의 위치관계는 원과 $l$의 위치관계에 따라 결정됩니다.

원과 $l$이 만나지 않는다 : 원과 $\beta$가 만나지 않는다
원과 $l$이 한 점에서 만난다(접한다) : 원과 $\beta$가 한 점에서 만난다.
이때 `원과 평면이 접한다'는 것은 교육과정에 정의되어 있지 않으므로 유의합시다.
원과 $l$이 두 점에서 만난다 : 원과 $\beta$가 두 점에서 만난다.

$\text{[math]}$

[2], [3]의 경우 평면과 원이 만나므로 원 위의 점 $\mrm{P}$와 $\beta$ 위의 점 $\mrm{Q}$ 사이의 거리의 최솟값은 $0$입니다. [1]의 경우 $\ovr{PQ}$의 최솟값을 구해봅시다.¹²

$\text{[math]}$

원 위의 점 $\mrm{P}$에서 $l$에 내린 수선의 발을 $\mrm{P}'$이라 하고, $\alpha$와 $\beta$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하면 $\mrm{P}$와 $\beta$ 사이의 거리는 $\ovr{PP'}\times\sin\theta$입니다. 이때 $\theta$는 상수이므로 $\sin\theta$는 상수입니다. 따라서 $l$과 $\mrm{P}$ 사이의 거리의 최솟값인 $\ovr{PP'}$의 최솟값을 구하면 됩니다.

$\ovr{PP'}$의 최솟값은 `원과 직선이 한 평면 위에 있을 때'와 동일합니다. 선분 $\mrm {CH}$가 원과 만나는 점을 $\mrm{A}$라 하면 $\mrm P$가 $\mrm{A}$일 때 $\ovr{PP'}$이 최소입니다. 따라서 $\ovr{PQ}$의 최솟값은 $(\ovr{CH} - r)\sin\theta$입니다.¹³$\mrm P$가 $\mrm{A}$이고, $\mrm{Q}$가 $\mrm{P}$에서 $\beta$에 내린 수선의 발일 때 $\ovr{PQ}$가 최소입니다.

1. 이를 직접 증명해보면 공간도형 학습에 많은 도움이 될 것입니다.
2. 아래의 표에서 각 정다면체의 한 변의 길이는 $a$이고, 정육면체의 대각선이란 정육면체에서 두 꼭짓점을 이은 선분 중 가장 길이가 큰 것을 말합니다.
3. 아래의 표에서 정팔면체의 한 변의 길이는 $a$입니다.
4. 세 경우 모두 거리의 최댓값은 존재하지 않습니다.
5. $\mrm P$가 $\mrm{A}$이고, $\mrm{Q}$가 $\mrm{H}$일 때 $\ovr{PQ}$가 최소입니다.
6. 이때 $\mrm{C}$가 $\alpha$ 위의 점일 때 생기는 교선인 원을 대원이라고 부르기로 합시다. 비록 교과서에 등장하지 않는 용어이므로 파란색이지만, 엄연한 공식 수학 용어입니다.
7. 세 경우 모두 거리의 최댓값은 존재하지 않습니다.
8. $\mrm P$가 $\mrm{A}$이고, $\mrm{Q}$가 $\mrm{H}$일 때 $\ovr{PQ}$가 최소입니다.
9. $r_1$, $r_2$, $d$를 보기 편하게 하기 위하여 구를 원으로 대체하여 그렸습니다. 실제로는 구입니다. $r_1=r_2$인 경우 ①,②,③은 동일하고, ④, ⑤와 같은 경우는 존재하지 않으며, \hcn6의 경우 두 구가 일치합니다.
10. 원의 내부(외부)와 마찬가지로 구의 내부(외부)를 생각할 수 있습니다.
11. 원의 중심과 반지름을 각각 $\mrm{C}$, $r$라 하고, $\ovr{CH}=d$라 할 때, 점 $\mrm{H}$가 원의 외부 또는 원 위에 있으면 \[\begin{align*}d-r \le \ovr{HQ} \le d+r\end{align*}\]이고, 점 $\mrm{H}$가 원의 내부 또는 원 위에 있으면 \[\begin{align*}r-d \le \ovr{HQ} \le r+d\end{align*}\]입니다.
12. 세 경우 모두 거리의 최댓값은 존재하지 않습니다.
13. $\mrm P$가 $\mrm{A}$이고, $\mrm{Q}$가 $\mrm{P}$에서 $\beta$에 내린 수선의 발일 때 $\ovr{PQ}$가 최소입니다.