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원리 : 좌표공간에서의 구

좌표공간의 구 $S : (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$에 대하여 $S$의 중심 $\mrm{C} \left( a,\:b,\:c \right)$에서 $xy$평면, $yz$평면, $zx$평면에 내린 수선의 발을 각각 $\mrm{P}$, $\mrm{Q}$, $\mrm{R}$라 하고, $x$축, $y$축, $z$축에 내린 수선의 발을 각각 $\mrm{X}$, $\mrm{Y}$, $\mrm{Z}$라 할 때, 각 점의 좌표를 쉽게 구할 수 있습니다.

각 평면에 내린 수선의 발

먼저 점 $\mrm{P}$의 좌표를 구해보겠습니다. 직선 $\mrm{CP}$는 $xy$평면에 강직이므로 $\mrm{CP}$의 방향벡터는 $(0,\: 0,\: 1)$입니다. 따라서 직선 $\mrm{CP}$를 따라 움직이면 $x$좌표와 $y$좌표는 변하지 않고 $z$좌표만 변합니다. 한편 $\mrm{P}$는 $xy$평면 위의 점이므로 $z$좌표가 $0$입니다. 그러므로 $\mrm{P}$의 좌표는 $(a,\: b,\: 0)$입니다.

같은 방법을 이용하면 $\mrm{Q}$, $\mrm{R}$의 좌표가 각각 $(0,\: b,\: c)$, $(a,\: 0,\: c)$임을 쉽게 구할 수 있습니다. 이 결과를 정리하면 `구의 중심에서 각 평면에 내린 수선의 발의 좌표는 평면의 이름에 적히지 않은 좌표를 $0$으로 바꾸어 구할 수 있다'고 할 수 있습니다. 예를 들어 $yz$평면에 내린 수선의 발은 $(a, \: b,\: c)$에서 $x$좌표를 $0$으로 바꾼 $(0, \: b,\: c)$입니다.

각 좌표축에 내린 수선의 발

먼저 점 $\mrm{X}$의 좌표를 구해보겠습니다. $\mrm{CP}$는 $xy$평면에 강직이고, $\mrm{CX}$는 $x$축에 약직이므로 삼수선의 정리에 의해 $\mrm{PX}$는 $x$축에 약직입니다. 그런데 $\mrm{PX}$는 $xy$평면에 포함된 직선이므로 $\mrm{PX}$의 방향벡터는 $y$축1$y$축의 방향벡터는 $(0,\: 1,\: 0)$입니다.과 평행함을 알 수 있습니다. 따라서 직선 $\mrm{PX}$를 따라 움직이면 $x$좌표와 $z$좌표는 변하지 않고 $y$좌표만 변합니다. 한편 $\mrm{X}$는 $x$축 위의 점이므로 $y$좌표와 $z$좌표가 $0$입니다. 따라서 $\mrm{X}$의 좌표는 $(a,\: 0,\: 0)$입니다.

같은 방법을 이용하면 $\mrm{Y}$, $\mrm{Z}$의 좌표가 각각 $(0,\: b,\: 0)$, $(0,\: 0,\: c)$임을 쉽게 구할 수 있습니다. 이 결과를 정리하면 `구의 중심에서 각 좌표축에 내린 수선의 발의 좌표는 좌표축의 이름에 적힌 좌표만 남기고 나머지 좌표를 $0$으로 바꾸어 구할 수 있다'고 할 수 있습니다. 예를 들어 $z$축에 내린 수선의 발은 $(a, \: b,\: c)$에서 $z$좌표만 남기고 나머지 좌표를 $0$으로 바꾼 $(0, \: 0, \: c)$입니다.

구가 평면이나 좌표축에 접할 때

구가 어떤 좌표축이나 좌표평면에 접한다면, 구의 중심에서 그 좌표축 또는 좌표평면에 내린 수선의 발을 $\mrm{H}$라 할 때 $\ovr{CH} = r$임을 이용하면 됩니다.

구가 좌표축에 접하는 경우, $x$축과 접한다면 $\sqrt{(a-a)^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{b^2 + c^2 } = r$임을 알 수 있습니다. 즉 $x$축과 접한다면 반지름의 제곱은 (중심의 $x$좌표를 제외한) $y$좌표, $z$좌표의 제곱의 합으로 나타내어집니다. 나머지 축과 접하는 경우도 마찬가지의 방법으로 구할 수 있습니다.

구가 좌표평면에 접하는 경우, $xy$평면과 접한다면 $\sqrt{(a-a)^2 + (b-b)^2 + c^2} = |c| = r$임을 알 수 있습니다. 즉 $xy$평면과 접한다면 반지름은 중심의 $z$좌표와 같습니다. 나머지 평면과 접하는 경우도 마찬가지의 방법으로 구할 수 있습니다.

  1. 1. $y$축의 방향벡터는 $(0,\: 1,\: 0)$입니다.