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이해 : 공간도형 문제의 실전적 풀이 전략

공간도형에서 어려움을 겪고 있다면, 여러분의 현재 상태는 대략 다음과 같을 것입니다.

  • 목표와 상황 파악의 어려움

    구하라고 하는 것이 무엇인지 잘 와닿지 않고, 주어진 공간적 상황이 대체 무슨 상황인지 모르겠다.

  • 착수(풀이 개시)의 어려움

    어디서부터 손을 대야 할지 감이 잡히지 않는다.

  • 진행 과정 상의 어려움

    이런 저런 도구는 알고 있지만, 무엇을 언제 어디에 어떻게 써야 할지 모르고, 그때그때 보이면 풀리고 안 보이면 못 풀겠다.

이번 단원에서는 이 상태를 극복하기 위한 실전적 풀이 전략을 배워볼 것입니다. 이 실전적 풀이 전략에 사용되는 재료는 앞서 배운 용어와 원리 파트입니다. 특히 원리 파트의 명제 증명을 공부하면서 당연한 이야기만 하는 것 같고, 수능과 별 관련 없어보이는 증명만 하는 것 같았다면, 앞으로 배울 이해와 응용 파트가 그 의구심을 해결해줄 것입니다.

들어가기 전에 주의할 점

이해 파트에서는 비교적 간단한 상황을 다루므로 기본명제 활용이 많지 않지만, 응용 파트에서는 상황이 복잡하므로 기본명제의 활용이 많습니다. 원리 파트의 기본명제 증명을 병행하면서 이 책을 공부하고 있는 학생들은, 기본명제 증명이 어느 정도 완성되기 전까지는 이후 단원 학습을 잠시 건너뛰어 증명을 완독한 뒤, 다시 여기로 돌아와서 공부하기 바랍니다. 기본명제를 증명하지 않고 이 책을 공부하고 있는 학생들은, 공간도형을 잘 해결하고 있다면 한번 쯤 읽어보고 적당히 취사선택해도 상관없습니다. 만약 공간도형에서 어려움을 겪고 있는데도 증명을 건너뛰었다면, 지금이라도 반드시 증명을 학습하길 권합니다. 가장 느린 것 같은 길이 사실은 가장 빠른 길입니다.

공간도형 문제의 실전적 풀이 전략

풀이 전략은 네 개의 Step으로 구성됩니다.

Step 1 : 목푯값을 파악하고 선택할 수 있는 풀이 방법을 떠올리자

문제를 만났을 때, 목푯값을 구하기 위한 방법에는 무엇이 있는지를 떠올려봅니다. 예를 들어 이면각을 구하는 문제라면 직접 이면각을 구하는 방법 외에도 정사영을 통해 간접적으로 구하는 방법이 있습니다. 주어진 목푯값을 구하기 위해서 어떤 풀이방법을 사용할 수 있는지, 어느 방법이 언제 유리한지를 숙지해야 합니다.

Step 2 : 풀이방향을 정하자

문제에서 주어진 상황과 정보만으로도 충분히 Step 1에서 떠올린 풀이 방법 중 하나를 선택할 수 있다면 그 풀이 방법을 선택한 후 Step 3로 넘어갑니다. 그런데 고난도 문제의 경우 문제에서 주어진 상황과 정보만으로는 풀이 방법을 정하기 어려운 경우가 있습니다. 그런 경우 풀이 방법 선택을 유보하고 Step 3로 넘어갑니다. 단, 풀이 방법을 선택하지 않은 경우에는 목푯값과 풀이 방법의 후보들을 반드시 기억해야 합니다.

Step 3 : 정보를 정리하고, 여러 정보가 동시에 담긴 평면을 찾고, `평면도형 문제'를 풀어 새로운 정보를 얻자

정보를 정리하자
공간도형 문제에서는 길이, 넓이, 수직, 평행, 다각형, 원, 구 등의 다양한 정보가 주어질 것입니다. 수많은 정보를 문제에서 주어진 공간도형 그림 하나에 모두 담았다가는, 안그래도 복잡한 그림이 더 알아보기 힘들어질 것입니다. 이해 파트에서 배운 내용을 적용하여 보기 편안한 구도로 새로운 그림을 그려 상황을 파악하고, 주어진 조건들을 일목요연하게 정리합시다. 또한 강직과 약직을 생략 없이 정확히 표시해야 합니다. 이러한 과정에서 원리 파트에서 다루었던 기본명제의 상황을 접할 수 있으며, 이를 통해 문제에서 직접적으로 주어지지 않은 새로운 정보를 얻을 수 있을 것입니다.
여러 정보가 동시에 담긴 평면을 찾자
평면도형 문제를 풀 때 교점을 찾는 이유는 `여러 정보가 동시에 담긴 점'이기 때문입니다. 예를 들어 원과 직선의 교점은 원 위의 점이라는 정보와 직선 위의 점이라는 정보를 동시에 가지고 있습니다. 공간도형 문제를 풀 때에도 마찬가지입니다. 정리된 정보를 활용하기 위해서는 여러 개의 정보가 한꺼번에 담겨 있는 평면을 찾아야 합니다. 그런 평면을 찾았다면, 그 평면에 맑은개념 중학도형에서 배운 `기하의 3요소'를 이용하여 평면도형 문제를 풀면 새로운 정보를 끌어낼 수 있습니다.

공간 상에서 평면을 찾는 방법은 `평면의 결정조건'과 `삼수선의 정리'가 있습니다.

  1. 평면의 결정조건 : 조립된 공간도형 속에서 평면도형을 찾는 방법
    평면의 결정조건은 공간도형 속에 숨어 있어서 잘 보이지 않는 평면을 찾아내는 매우 강력한 도구입니다. `주어진 정보와 연관된 점이나 직선'을 이용하여 평면을 결정하고, 그 평면에서 나타난 상황을 `평면기하 기본기'를 이용하여 해석하면 문제풀이를 진행할 수 있습니다.

  2. 삼수선의 정리 : 직각 하나와 평면 셋을 한꺼번에 얻는 치트키

    삼수선의 정리를 이용하면 분석할 수 있는 평면이 세 개나 나타납니다. 흰색의 바닥 평면, 진한 색의 비스듬한 평면, 연한 색의 옆 평면이 그것입니다. 게다가 삼수선의 정리를 적용하고 나면 문제의 조건에는 없었던 새로운 직각이 하나 더 형성되므로 평면도형 문제 풀이가 더 수월해집니다. 삼수선의 정리를 사용한 후 얻은 세 평면 중에서 여러 개의 정보가 한꺼번에 담긴 평면을 선택하고, 그 평면에서 나타난 상황을 풀이하여 문제풀이를 진행할 수 있습니다.
새로운 정보를 찾고, 목푯값에 다가가는 방향으로 위 과정을 반복하자
새로운 정보를 얻었으면, 그 정보를 활용하여 `목푯값을 구하는 데 필요한 정보에 다가가는 방향'으로 문제풀이를 진행하면 됩니다.1그 방향을 설정하는 구체적인 예시는 `전략 적용하기'에서 보여드리겠습니다.

Step 4 : 정답 도출

Step 3를 진행하다보면 결국 목푯값을 구하는데 필요한 정보를 얻을 수 있을 것입니다. 이를 이용하여 목푯값을 구하여 정답을 도출하면 됩니다.

풀이 전략 적용하기

실제 기출문제에 풀이 전략을 적용해봅시다.
[2013학년도 수능 수리 가형 28번]
그림과 같이 $\overline{\mathrm {AB}}=9$, $\overline{\mathrm {AD}}=3$인 직사각형 $\mathrm {ABCD}$ 모양의 종이가 있다. 선분 $\mathrm {AB}$위의 점 $\mathrm E$와 선분 $\mathrm {DC}$ 위의 점 $\mathrm F$를 연결하는 선을 접는 선으로 하여, 점 $\mathrm B$의 평면 $\mathrm {AEFD}$ 위로의 정사영이 점 $\mathrm D$가 되도록 종이를 접었다.
$\overline{\mathrm {AE}}=3$일 때, 두 평면 $\mathrm {AEFD}$와 $\mathrm {EFCB}$가 이루는 각의 크기가 $\theta$이다. $60\cos \theta$의 값을 구하시오. (단, $0<\theta<\frac{\pi}{2}$이고, 종이의 두께는 고려하지 않는다.)

Step 1 : 목푯값 파악, 풀이 방법 후보 찾기

목푯값은 평면 $\mrm{AEFD}$와2이를 편의상 바닥평면이라 합시다. $\mrm{EFCB}$가 이루는 각의 크기입니다. 이면각의 크기는 직접 이면각을 구하는 방법, 정사영을 통해 간접적으로 구하는 방법으로 구할 수 있습니다.

Step 2 : 풀이 방향 선택

현재 상황을 파악하고 목푯값을 구할 수 있을 것으로 예상되는 여러가지 풀이방법을 서로 비교해봅니다.
  1. 두 평면의 교선 $\mrm{EF}$가 드러나 있습니다. 따라서 $\mrm{EF}$에 수직이고 각 평면에 포함된 직선을 찾으면 목푯값을 구할 수 있습니다.
  2. 평면 $\mrm{EFCB}$에 포함된 삼각형 $\mrm{BEF}$가 눈에 띕니다. 삼각형 $\mrm{BEF}$의 넓이를 구하고, 삼각형 $\mrm{BEF}$의 $\mrm{AEFD}$ 위로의 정사영의 넓이만 구하면 목푯값을 구할 수 있습니다. 그런데 $\mrm{E}$와 $\mrm{F}$의 바닥평면 위로의 정사영은 자기 자신이고, 점 $\mrm{B}$의 바닥평면 위로의 정사영은 $\mrm{D}$입니다. 즉 각 삼각형의 넓이만 구할 수 있으면 목푯값을 구할 수 있습니다.

여기서는 가장 직접적인 방법인 1)을 선택하겠습니다. 우리의 목푯값인 `이면각의 크기'와 목푯값을 구하는 방법으로 선택한 `교선 $\mrm{EF}$에서 양쪽 수선을 그리겠다'는 목적을 꼭 기억하고 진행해야 합니다.

Step 3

정보 찾기
3원리 파트에서 이 명제를 증명하기도 했고, 약직과 강직을 구분하면서 삼수선의 정리를 쓰는 상황에 대해 설명했습니다. 문제에 주어진 강직이 하나 있으니, 약직 하나를 만들어서 나머지 약직 하나를 더 찾은 것입니다. 따라서 $\theta = \angle\mrm{BHD}$이고, $\cos\theta =\dfrac{\ovr{DH}}{\ovr{BH}}$입니다.
정보가 동시에 나타나는 평면을 찾자
이제 평면도형 문제를 풀어 $\cos\theta$를 구하는 데 필요한 정보인 $\ovr{BH}$, $\ovr{DH}$를 구해야 합니다. 이는 다음의 두 가지 방법으로 구할 수 있습니다.

두 삼각형 $\mrm{DHF}$, $\mrm{BHE}$의 닮음비는 $\ovr{DF}:\ovr{BE} = 4:6=2:3$입니다. 즉 $\ovr{BH}:\ovr{DH} = 3:2$이므로 $2\ovr{BH} = 3\ovr{DH}$입니다. 따라서 $\cos\theta = \dfrac{\ovr{DH}}{\ovr{BH}} = \dfrac{2}{3}$입니다.

Step 4

지금까지 구한 내용에 따르면 $60\cos\theta =40$입니다.

마무리하며

문제를 직접 풀어봤다면 알겠지만, 그리고 풀이전략이 적용된 해설을 보면 알겠지만, 사실 공간도형의 개념은 삼수선의 정리를 사용하는 것 외에는 사용되지 않았습니다. 오히려 주가 되는 것은 평면도형 문제의 해결 과정입니다. 따라서 공간도형 문제가 안풀린다면 본인이 공간도형 개념이 부족해서인지, 평면도형 문제 해결 능력이 부족해서인지를 잘 구별해야 합니다.

전자라면 기본명제 증명을 계속 꾸준히 훈련하며 공간도형 문제를 풀 때 풀이전략을 적용하여 풀이하는 것이 필요합니다. 후자라면 중학교 2학년, 3학년 도형 문제4기하에 익숙하지 않다면 꽤 깊이 고민해야 하는 문제들도 많습니다.를 찾아서 푸는 것도 도움이 될 것입니다.

응용 파트에서는 실전적 풀이 전략을 어려운 기출문제에 적용할 것입니다. 기본도형 사이의 관계가 복잡하게 설정된 상황에서 기본 명제를 어떻게 적용하고 실전적 풀이 전략의 단계를 어떻게 밟을지 고민해볼 수 있을 것입니다.

  1. 1. 그 방향을 설정하는 구체적인 예시는 `전략 적용하기'에서 보여드리겠습니다.
  2. 2. 이를 편의상 바닥평면이라 합시다.
  3. 3. 원리 파트에서 이 명제를 증명하기도 했고, 약직과 강직을 구분하면서 삼수선의 정리를 쓰는 상황에 대해 설명했습니다. 문제에 주어진 강직이 하나 있으니, 약직 하나를 만들어서 나머지 약직 하나를 더 찾은 것입니다.
  4. 4. 기하에 익숙하지 않다면 꽤 깊이 고민해야 하는 문제들도 많습니다.