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응용 : 어려운 공간도형 문제에 풀이전략 적용하기

어려운 공간도형 문제에도 동일하게 풀이전략을 도입하여 풀 수 있습니다. 평가원에서 출제된 실제 기출문제에 풀이전략을 적용한 예시 풀이를 보여드리도록 하겠습니다.

같은 평면 위에 있지 않고 서로 평행한 세 직선 $l$, $m$, $n$이 있다. 직선 $l$ 위의 두 점 $\mathrm A$, $\mathrm B$, 직선 $m$ 위의 점 $\mathrm C$, 직선 $n$위의 점 $\mathrm D$가 다음 조건을 만족시킨다.
  • $\overline {\mathrm {AB} }=2\sqrt 2$, $\overline{ \mathrm {CD}}=3$
  • $\overline { \mathrm {AC} } \perp l$, $\overline{ \mathrm {AC} }=5$
  • $\overline { \mathrm {BD} } \perp l$, $\overline{ \mathrm {BD} }=4\sqrt 2$
    • 두 직선 $m$, $n$을 포함하는 평면과 세 점 $\mathrm A$, $\mathrm C$, $\mathrm D$를 포함하는 평면이 이루는 각의 크기를 $\theta$라 할 때, $15\tan^2\theta$의 값을 구하시오. (단, $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$) [4점]


    Step 1

    $m$과 $n$이 결정하는 평면을 바닥평면이라고 할 때, 목푯값은 평면 $\mrm{ACD}$와 바닥평면이 이루는 각의 크기입니다. 이면각의 크기는 직접 이면각을 구하는 방법, 정사영을 통해 간접적으로 구하는 방법으로 구할 수 있습니다.

    Step 2

    현재 상황을 파악하고 목푯값을 구할 수 있을 것으로 예상되는 여러가지 풀이방법을 서로 비교해봅니다.

    1. 두 평면의 교선 $\mrm{CD}$가 드러나 있습니다. 따라서 $\mrm{CD}$에 수직이고 각 평면에 포함된 직선을 찾으면 목푯값을 구할 수 있습니다.
    2. 평면 $\mrm{ACD}$에 포함된 삼각형 $\mrm{ACD}$가 눈에 띕니다. 삼각형 $\mrm{ACD}$의 넓이는 쉽게 구할 수 있을 것으로 보이므로 삼각형 $\mrm{ACD}$의 바닥평면 위로의 정사영의 넓이만 구하면 목푯값을 구할 수 있습니다. 그런데 $\mrm{C}$와 $\mrm{D}$의 바닥평면 위로의 정사영은 자기 자신이므로 점 $\mrm{A}$의 바닥 평면 위로의 정사영 $\mrm{A'}$의 위치만 찾으면 될 것입니다.

    여기서는 가장 직접적인 방법인 1)을 선택하겠습니다. 우리의 목푯값인 `이면각의 크기'와 목푯값을 구하는 방법으로 선택한 `교선 $\mrm{CD}$에서 양쪽 수선을 그리겠다'는 목적을 잊지 않은 채 진행해야 합니다.

    Step 3

    먼저 평행한 두 직선인 $l$, $m$이 결정하는 평면을 살펴보겠습니다. 오른쪽 그림처럼 $l$, $m$이 결정하는 평면에서의 상황을 새로운 그림(평면도형)으로 나타내면 $\ovr{AC} \ppd m$임을 쉽게 알 수 있습니다. 같은 방법으로 $\mrm{B}$에서 $m$에 내린 수선의 발 $\mrm{E}$를 생각할 수 있고, 이를 통해 $\mrm{ACEB}$가 직사각형임을 알 수 있습니다.

    같은 논리를 $l$과 $n$이 결정하는 평면에서도 적용할 수 있습니다. 점 $\mrm A$에서 직선 $n$에 내린 수선의 발을 $\mrm F$라 하면 $\ovr{AF}=4\sqrt2$입니다.

    지난 두 단계에서, 문제에서는 주어지지 않았던 새로운 직선인 $\mrm{BE}$, $\mrm{AF}$가 등장했습니다. 목푯값은 `평면 $\mrm{ACD}$와 바닥의 평면이 이루는 각의 크기'이고 우리가 선택한 풀이법은 `교선 $\mrm{CD}$에서 양쪽 직각'이었는데, 두 직선 중 목푯값에 다가가는 정보를 제공할 직선은 $\mrm{AF}$입니다. 왜냐하면 $\mrm{BE}$, $\mrm{AF}$는 각각 $\mrm{B}$, $\mrm{A}$를 포함하는데, $\mrm{A}$는 평면 $\mrm{ACD}$ 위의 점이지만 $\mrm{B}$는 그렇지 않으므로, 두 점 중 교선 $\mrm{CD}$와 더 밀접한 연관을 가진 점은 $\mrm{A}$이기 때문입니다.1이 부분이 `목푯값에 다가가는 방향'이 어디인지에 대한 근거를 제시하는 예시입니다. 따라서 $\mrm{AF}$를 통해 새로운 정보를 찾아야 합니다.

    $\ovr{AF}$의 상황을 보니 직선 $\mrm{AC}$와 $\mrm{A}$에서 만나고 있음을 알 수 있습니다. 즉 두 직선은 한 평면 $\mrm{ACF}$를 결정하므로 이 평면을 관찰하겠습니다. 이때 두 직선이 모두 $l$과 약직이므로 $l$은 평면 $\mrm{ACF}$에 강직입니다.2명제 증명 파트의 예제 참조 $l$이 평면 $\mrm{ACF}$의 법선이므로 $m$, $n$도 법선입니다.3명제 증명 파트의 예제 참조 따라서 색칠된 약직을 얻을 수 있습니다. 그러면 삼각형 $\mrm{DCF}$는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의해 $\ovr{CF}=1$입니다.
    한편 평면 $\mrm{ACF}$는 바닥평면과 수직이고4명제 증명 파트의 예제 참조 $\mrm{A}$에서 바닥평면에 내린 수선의 발은 두 평면의 교선 $\mrm{CF}$ 위에 있습니다.5명제 증명 파트의 예제 참조 두 직선 $\mrm{AH}$, $\mrm{CF}$도 한 점 $\mrm{H}$에서 만나므로 한 평면을 결정합니다. 이제 이 평면에 포함된 직각삼각형 $\mrm{AHF}$에서 $\ovr{AH} = x$, $\ovr{CH} = y$라 하면 피타고라스 정리에 의해 $x^2 + y^2 = 5^2$ , $x^2 + (y+1)^2 = (4\sqrt2)^2$입니다. 이를 연립하면 $x=4$, $y=3$을 얻습니다.

    잊으셨을지 모르겠지만, 목푯값은 이면각의 크기이고 우리가 선택한 방법은 양쪽 직각입니다. 평면 $\mrm{ACD}$ 위의 한 점에서 교선에 수선의 발을 내려야 하는데, $\mrm{CD}$가 교선이므로 $\mrm{A}$에서 $\mrm{CD}$에 수선의 발을 내리면 될 것입니다. 그런데 그 수선의 발을 내리기 위해서는 삼각형 $\mrm{ACD}$가 예각삼각형인지, 직각삼각형인지, 둔각삼각형인지를 알아야 합니다. $\mrm{AC}$와 $\mrm{CD}$가 이루는 각 $\alpha$가 예각인지, 직각인지, 둔각인지에 따라 수선의 발의 위치가 달라지기 때문입니다. $\ovr{AD}^2 > \ovr{AC}^2 + \ovr{CD}^2$이므로 $\alpha$는 둔각입니다. 따라서 수선의 발은 삼각형 외부에 존재합니다.
    그 수선의 발을 $\mrm{G}$라 하면 삼수선의 정리에 의해 $\ovr{GH}\ppd\ovr{CD}$입니다. 따라서 우리가 원하는 $\theta$를 포함한 직각삼각형 $\mrm{AHG}$가 나옵니다. 이때 $\ovr{AH}$의 값은 알고 있으므로 $\ovr{AG}$와 $\ovr{GH}$ 중 하나의 값만 알 수 있다면 목푯값인 $\tan^2\theta$를 구할 수 있습니다.6$\ovr{AG}$를 안다면 피타고라스 정리로 $\ovr{GH}$를 곧바로 구할 수 있습니다. 그런데 $\ovr{GH}$를 구하기 위해서는 먼저 $\ovr{CG}$를 알아야 하고, $\ovr{CG}$를 구하려면 직각삼각형 $\mrm{AGD}$를 이용해야 하는데, 그 과정에서 자연스럽게 $\ovr{AG}$를 구하게 되므로 $\ovr{AG}$를 구하는 것이 유리합니다.

    직각삼각형 $\mrm{AGD}$에서 $\ovr{AG} = z$, $\ovr{CG} = w$라 하면 피타고라스 정리에 의해 $z^2 + w^2 = 5^2$, $z^2 + (w+3)^2 = (2\sqrt{10})^2$입니다. 이를 연립하면 $z=2\sqrt6$, $w=1$입니다.

    Step 4

    이제 목푯값을 구할 수 있습니다. 직각삼각형 $\mrm{AHG}$에서 $(2\sqrt{6})^2= 4^2 + \ovr{HG}^2$에서 $\ovr{HG} = 2\sqrt2$이고 $\tan\theta=\dfrac{\ovr{AH}}{\ovr{HG}} = \dfrac{4}{2\sqrt2} = \sqrt2$입니다. 따라서 $15\tan^2\theta = 30$입니다.

    정리

    지금까지 제시한 풀이를 보시면 `왜 이 상황에서 이러한 생각을 해야 하는지', `이 단계에서 정보를 얻게 해주는 근거 명제는 무엇인지'를 매 단계마다 제시하며 풀이 과정을 정당화하고 있음을 알 수 있습니다.

    만약 지금까지 공간도형 문제를 이러한 정당화 과정 없이 풀어왔다면, 제시된 풀이가 굉장히 답답하게 느껴질 수도 있습니다. `그냥 풀면 되는 걸 왜 이렇게 까지 해야 하나' 싶은 생각이 들 수도 있을 겁니다. 그러나 이런 정당화 과정 없이 단순히 문제를 풀기만 하는 경우, 그 문제를 맞혔다면 운으로 맞혔는지 실력으로 맞췄는지를 파악할 수 없고, 그 문제를 틀렸다면 자신이 어디가 부족해서 틀렸는지를 정확히 알 수 없습니다. 실력을 키우기 위해서는 책에서 제시한 방법을 통해 자신이 가진 약점들을 꼼꼼히 보완해야 합니다.

    입에 쓴 약은 몸에 단 법이고, 진리는 먼 데 있지 않습니다. 지금까지 공간도형에 대해 배운 내용은 어찌보면 뻔하고 지루하고 귀찮은 말의 반복에 불과할 것입니다. 그렇지만 지금까지 배운 내용을 숙지하고, 정확한 방법과 명확한 근거로 꾸준히 훈련하면 공간도형 문제를 체계적으로 정복할 수 있을 것입니다.

    제시한 풀이를 단축할 수 있는 방법들

    앞서 제시한 풀이는 최적의 풀이만을 엄선한 `가공된 풀이', `최선의 풀이'가 아니라, 정한 원칙을 엄밀하게 지켜가며 진행한 풀이입니다. 풀이의 중간 단계를 단축할 수 있는 다양한 방법을 소개합니다.

    (1) 삼수선의 정리

    앞서 삼수선의 정리를 `치트키'라 부른 바 있습니다. 그 이유는 삼수선의 정리를 적극적으로 활용한다면 (방금의 풀이에서는 여러 단계에 걸쳐야만 얻을 수 있었던) 수많은 정보들을 다음 그림과 같이 한방에 얻어낼 수 있기 때문입니다.
    여러분이 지금까지 접한 대부분의 문제집이나 강의에서도 그림과 같이 삼수선의 정리를 사용한 풀이를 제시했을 것이고, 여러분들도 그렇게 풀어왔을 것입니다. 그런데 그림의 두 색칠된 직각이 왜 성립하는지를 규명하지 않은 채 삼수선의 정리를 사용했다거나, $\mrm{B'}$, $\mrm{E}$, $\mrm{D}$가 왜 한 직선 위에 있는지를 밝히지 못한다면 이는 논리적 비약입니다.7이러한 내용은 앞서 제시한 풀이에서 모두 비약 없이 규명하였습니다. 삼수선의 정리를 사용하는 것은 좋지만 탄탄한 근거 아래 사용하기를 바랍니다.

    (2) 피타고라스? 코사인법칙?

    코사인법칙을 사용하면 풀이 과정에서 두 번 사용한 `피타고라스 정리'의 계산보다 더 빠르게 길이를 구할 수 있었을 것입니다.

    (3) 합동의 발견

    풀이의 마지막 단계에서 바닥평면을 관찰하면 삼각형 $\mrm{A'GC}$가 삼각형 $\mrm{CED}$와 합동임을 알 수 있고, 이를 이용하면 계산을 단축할 수 있습니다.
    그러나 이런 기하학적으로 아름다운(?) 상황을 발견하지 못하더라도 문제를 푸는 데는 아무런 지장이 없습니다. 실력을 쌓는 과정에서 필요한 것은 번뜩이는 아이디어와 생각지도 못했던 발상이 아닙니다. 앞서 제시한 풀이와 같이 목푯값을 구하는 데 필요한 것을 단계적으로 차근차근 구하면서, 배운 내용에 근거해 풀이 과정을 정당화하는 것이 필요합니다. 그런 지루하고도 재미 없는 과정을 거쳐 공간도형을 다루는 실력이 쌓이고 나면, 어느 순간 이러한 지름길을 자연스럽게 발견할 수 있는 실력에 도달할 수 있을 것입니다.
    1. 1. 이 부분이 `목푯값에 다가가는 방향'이 어디인지에 대한 근거를 제시하는 예시입니다.
    2. 2. 명제 증명 파트의 예제 참조
    3. 3. 명제 증명 파트의 예제 참조
    4. 4. 명제 증명 파트의 예제 참조
    5. 5. 명제 증명 파트의 예제 참조
    6. 6. $\ovr{AG}$를 안다면 피타고라스 정리로 $\ovr{GH}$를 곧바로 구할 수 있습니다.
    7. 7. 이러한 내용은 앞서 제시한 풀이에서 모두 비약 없이 규명하였습니다.