기하 > 평면에서의 벡터

원리 : 연산으로 해석하는 평면벡터

벡터식

벡터식¹을 이용하면 도형 없이 연산만으로 크기나 내적을 구할 수 있습니다.

크기의 제곱과 내적

크기내적 $\av{\vec{a} \pm \vec{b}}$를 구할 때 다음을 이용하면 편리합니다. \[\begin{align*} \av{\vec{a} \pm \vec{b}}^2 =(\vec{a} \pm \vec{b}) \bcd (\vec{a} \pm \vec{b}) &=\avi{a}^2 \pm 2(\vec{a}\bcd\vec{b}) + \avi{b}^2 \\ &= \avi{a}^2 + \avi{b}^2 \pm 2\avi{a}\avi{b}\cos\theta \quad\text{(복부호 동순)} \end{align*}\] 이는 특히 $\avi{a}$와 $\avi{b}$가 일정할 때 두 벡터가 이루는 각의 크기인 $\theta$만 알면 주어진 값을 구할 수 있으므로 유용합니다.

`두 벡터의 합 또는 차'가 아니라 벡터가 하나만 주어진 경우에도 `쪼개기'를 이용하여 두 벡터로 쪼개면 `크기의 제곱'을 이용할 수 있습니다. 예를 들어 $\vrm{AB} = \vrm{CB} - \vrm{CA}$로 쪼갠 후 `크기의 제곱'을 이용하면 $\avr{AB}$를 구할 수 있습니다.

한편 `크기의 제곱'을 $\vec{a}\bcd\vec{b} = \pm\dfrac{1}{2}\bigg\{ \av{\vec{a}\pm\vec{b}}^2 - \Big(\avi{a}^2 + \avi{b}^2\Big) \bigg\} \:\: \text{(복부호 동순)}$와 같이 거꾸로 이용하면 $\vec{a}\bcd\vec{b}$를 구할 때도 활용할 수 있습니다.

성분화

성분화는 임의로 좌표축을 설정한 후 각 점의 좌표를 표시하는 방법입니다. 가장 간단한 성분화는 원점에 대한 위치벡터를 이용하는 것으로, 주로 `좌표를 잡는다'고 불립니다.

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

원이 등장하는 경우 삼각함수와 두 매개변수 $r$, $\theta$를 이용하여 좌표를 표시할 수 있습니다. 직선이 등장하는 경우 직선의 방정식을 세워서 매개변수 $t$에 대하여 좌표를 표시할 수 있습니다. 선분인 경우 직선의 경우와 동일하게 진행하고, $t$의 값의 범위를 설정하면 됩니다. 이렇게 점의 좌표를 잡고 난 후 $\vrm{AB} = \vrm{OB} - \vrm{OA}$를 이용하면 좌표평면 상의 임의의 벡터를 성분으로 나타낼 수 있습니다. 이밖의 성분화에 대한 더 깊은 내용은 Vector 2.6)에서 다룹니다.

1. 벡터를 포함한 등식을 벡터식이라고 부르기로 합시다. 등식은 항등식과 방정식이 있는데, 교과서에서는 벡터식 중 방정식만을 벡터방정식이라는 이름으로 다루고 있습니다. 본 책에서는 방정식뿐만 아니라 항등식도 포괄하는 용어가 필요하다고 판단하여 벡터식이라는 용어를 사용하였습니다. 실제로 Vector에서 주어진 벡터에 관한 등식은 모두 방정식이 아니라 항등식입니다.