내분점과 외분점을 이용하기
내분점외분점
내분점과 외분점을 이용하면 `두 벡터의 합 또는 차'를 하나의 벡터로 나타낼 수 있습니다.
두 벡터의 시점이 동일할 때, 내분점과 외분점을 이용하여 두 벡터를 하나의 벡터로 합칠 수 있습니다. 선분 $\mrm{BC}$를 $m:n$으로 내분하는 점을 $\mrm{P}$, 외분하는 점을 $\mrm{Q}$라 할 때, 다음이 성립합니다.
1
\[\begin{align*}
m\vrm{AC} + n\vrm{AB} &= (m+n)\vrm{AP} \\
m\vrm{AC} - n\vrm{AB} &= (m-n)\vrm{AQ}
\end{align*}\]
두 벡터의 시점이 동일하지 않을 때에도 내분점과 외분점을 이용하여 두 벡터를 하나의 벡터로 합칠 수 있습니다. 선분 $\mrm{AC}$를 $m:n$으로 내분하는 점을 $\mrm{E}$, 외분하는 점을 $\mrm{F}$라 하고, 선분 $\mrm{BD}$를 $m:n$으로 내분하는 점을 $\mrm{G}$, 외분하는 점을 $\mrm{H}$라 할 때, 다음이 성립합니다.
2
\[\begin{align*}
(a)\: : \: m\vrm{CD} + n\vrm{AB} &= (m+n)\vrm{EG} \\
(b)\: : \: m\vrm{CD} - n\vrm{AB} &= (m-n)\vrm{FH}
\end{align*}\]
이를 이용하면 벡터를 평행이동하지 않고도 `두 벡터의 합이나 차'를 한 벡터로 나타낼 수 있으므로 편리합니다. 특히 $\vrm{AB} + \vrm{CD}$를 구할 때 더 유용한데, `$\mrm{A}$와 $\mrm{C}$의 중점 $\mrm{M}$'과 `$\mrm{B}$와 $\mrm{D}$의 중점 $\mrm{N}$'에 대하여 $\vrm{AB} + \vrm{CD} = 2\vrm{MN}$으로 간단히 나타낼 수 있기 때문입니다.
벡터를 도형에 접목하기
중점을 이용한 내적
중점을 이용
시점이 같은 두 $\vrm{AB}$, $\vrm{AC}$의 종점 $\mrm{B}$, $\mrm{C}$의 중점을 $\mrm{M}$이라 할 때, $\mrm M$을 이용하면 $\vrm{AB} \bcd \vrm{AC}$를 간단하게 계산할 수 있습니다.
$\vrm{AB} \bcd \vrm{AC}$에서 $\mrm M$을 이용하여 두 벡터 $\vrm{AB}$, $\vrm{AC}$를 쪼갠 후 $\vrm{MC} = -\vrm{MB}$를 이용하여 정리하면 다음과 같습니다.
\[\begin{align*}
\vrm{AB} \bcd \vrm{AC}
= (\vrm{AM}+\vrm{MB})\bcd(\vrm{AM}+\vrm{MC}) &= (\vrm{AM}+\vrm{MB})\bcd(\vrm{AM}-\vrm{MB})\\
&=\avr{AM}^2 -\vrm{AM}\bcd\vrm{MB} +\vrm{MB}\bcd\vrm{AM} - \avr{MB}^2
\\&=\avr{AM}^2 - \avr{MB}^2
\end{align*}\]
이는 종점이 같은 두 벡터의 내적에도 적용할 수 있습니다. $\vrm{BA}$, $\vrm{CA}$에 대하여 $\vrm{BA}\bcd\vrm{CA} = \vrm{AB}\bcd\vrm{AC}$가 성립하기 때문입니다.
삼각형의 넓이와 나머지 한 변의 길이
삼각형에 응용
서로 이루는 각의 크기가 $\theta$인 두 벡터 $\vec{a}=\vrm{OA}$, $\vec{b}=\vrm{OB}$에 대하여 삼각형 $\mrm{AOB}$의 넓이 $S$와 선분 $\mrm{AB}$의 길이 $c$를 $\vec{a}$, $\vec{b}$로 표현해봅시다.
삼각형 $\mrm{AOB}$의 넓이 $S$
두 변의 길이와 끼인각의 크기를 이용하여 구하면 $S=\dfrac{1}{2}\avi{a}\avi{b}\sin\theta$입니다. 이때 $\sin\theta = \sqrt{1-\cos^2\theta}$을 대입하고 정리하면 다음과 같습니다.
\[\begin{align*}
S= \dfrac{1}{2}\avi{a}\avi{b}\sqrt{1-\cos^2\theta}
&= \dfrac{1}{2}\sqrt{\avi{a}^2 \avi{b}^2-\avi{a}^2\avi{b}^2\cos^2\theta}\\
&= \dfrac{1}{2}\sqrt{\avi{a}^2 \avi{b}^2 - \left(\vec{a} \bcd \vec{b}\right)^2}
\end{align*}\]
선분 $\mrm{AB}$의 길이 $c$
`쪼개기 : 뺄셈'을 이용하여 $\vrm{AB} = \vrm{OB}-\vrm{OA}$로 나타내고, `크기의 제곱'을 이용하면 다음과 같습니다.
\[\begin{align*}
\ovr{AB}=\avr{AB}
=\sqrt{\av{\vec{b}-\vec{a}}^2}
&=\sqrt{\avi{a}^2 - 2(\vec{a}\bcd\vec{b})+\avi{b}^2}
\end{align*}\]
한편 $\vrm{AB}=\vec{c}$, $\avi{a}=a$, $\avi{b}=b$, $\avi{c}=c$라 하고 주어진 식을 다시 표현하면 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta$입니다. 따라서 벡터의 내적을 통해 삼각형의 코사인법칙을 자연스럽게 유도할 수 있음을 알 수 있습니다.
삼각형의 무게중심
무게중심
삼각형 $\mrm{ABC}$의 무게중심을 $\mrm G$라 하면 $\vrm{GA} + \vrm{GB} + \vrm{GC} = \vec 0$이 성립합니다.
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평행사변형의 두 대각선의 교점
평행사변형의 두 대각선의 교점을 시점으로 하고 각 꼭짓점을 종점으로 하는 벡터들의 합은 $\vec{0}$입니다. 마름모, 직사각형, 정사각형도 평행사변형이므로 같은 성질을 갖습니다.
4
정다각형에 외접하는 원의 중심
정다각형에 외접하는 원의 중심을 시점으로 하고 각 꼭짓점을 종점으로 하는 벡터들의 합은 $\vec{0}$입니다.
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