원리 : 평면에서의 기본벡터

기본벡터란?

벡터 $\vrm{AB}$의 시점 $\mrm{A}$ 또는 종점 $\mrm{B}$가 정점(정해진 점)인지, 원 위를 움직이는 점인지, 호 위를 움직이는 점인지에 따라서 벡터를 다음과 같이 분류할 수 있습니다. 이 세 개의 벡터를 기본벡터라고 부르기로 합시다.

1. 고정벡터 : 시점과 종점이 모두 정해진 점인 벡터
2. 원벡터 : 시점은 원의 중심이고 종점은 원 위를 움직이는 점인 벡터
3. 호벡터 : 시점은 원의 중심이고 종점은 호 위를 움직이는 점인 벡터

고정벡터

$\mrm{A}$, $\mrm{B}$ 모두 정점일 때 $\vrm{AB}$를 고정벡터라 부르기로 합시다. 고정벡터는 크기와 방향이 변하지 않습니다. 역으로 벡터 $\vec{a}$의 크기와 방향이 일정하면 $\vec{a}$는 고정벡터입니다.

원벡터

시점 $\mrm{A}$는 원의 중심, 종점 $\mrm{B}$는 원 위를 움직이는 점일 때 $\vrm{AB}$를 원벡터라 부르기로 합시다. 원벡터의 크기는 원의 반지름으로 일정하고, 방향은 자유롭게 설정할 수 있습니다. 역으로 벡터 $\vec{a}$의 크기는 일정하고 방향은 자유롭게 설정할 수 있다면 $\vec{a}$는 원벡터입니다. 그림과 같이 종점이 원의 중심이고 시점이 원 위를 움직이는 벡터, 즉 원벡터의 역벡터는 적당히 평행이동하면 원벡터임을 알 수 있습니다.

호벡터

시점 $\mrm{A}$는 원의 중심, 종점 $\mrm{B}$는 원의 일부인 호 위를 움직이는 점일 때 $\vrm{AB}$를 호벡터라 부르기로 합시다. 호벡터의 크기는 원의 반지름으로 일정하고, 방향은 `호의 중심각에 의해 제한된 범위'에서 설정할 수 있습니다. 역으로 벡터 $\vec{a}$의 크기는 일정하고 방향은 `호의 중심각에 의해 제한된 범위'에서 설정할 수 있다면 $\vec{a}$는 호벡터입니다.

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그림과 같이 종점이 원의 중심이고 시점이 원의 일부인 호 위를 움직이는 벡터, 즉 호벡터의 역벡터는 평행이동하면 또다른 호벡터를 나타냅니다. 단, 원벡터처럼 완전히 동일한 상황이 되는 것이 아니라 서로 마주보는 형태의 호가 되므로 주의해야 합니다.

주어진 벡터를 기본벡터로 나타내기

문제에서 주어지는 벡터들이 모두 기본벡터인 것은 아닙니다. 따라서 필요하다면 주어진 벡터를 덧셈 또는 뺄셈으로 적당히 쪼개어 기본벡터들의 합 또는 차로 나타내어야 합니다.

원과 연관된 벡터

시점과 종점 중 하나가 어떤 원 위를 움직이는 벡터는 그 원의 중심을 이용하여 두 개의 벡터로 쪼개는 것이 좋습니다. 이렇게 쪼개면 원벡터 $1$개를 얻을 수 있기 때문에 편리합니다. 만약 시점과 종점이 각각 다른 두 원 위의 점이라면 각 원의 중심을 이용하여 세 개의 벡터로 쪼개면 원벡터 $2$개를 얻을 수 있습니다.

호와 연관된 벡터

시점과 종점 중 하나가 어떤 호 위를 움직이는 벡터는 그 호를 포함하는 원의 중심을 이용하여 두 개의 벡터로 쪼개는 것이 좋습니다. 이렇게 쪼개면 호벡터 $1$개를 얻을 수 있기 때문에 편리합니다. 만약 시점과 종점이 각각 중심이 다른 두 호 위의 점이라면 중심을 이용하여 세 개의 벡터로 쪼개면 호벡터 $2$개를 얻을 수 있습니다.