섹션 6
\mychapter이해 : 벡터의 최대·최소 해석하기
앞서에서 배웠듯이 정점, 원, 호와 연관된 벡터는 모두 기본벡터의 합으로 나타낼 수 있습니다.1선분 또는 직선과 연관된 벡터는 그렇지 않으므로 나중에 다룹니다. 따라서 기본벡터의 `합의 크기' 또는 `내적'의 최대·최소를 구할 수 있다면 상당수의 벡터에 대한 최대·최소를 구할 수 있을 것입니다.
그런데 기본벡터는 크기가 일정하다는 공통점이 있습니다. 두 기본벡터가 이루는 각의 크기 $\theta$만 알면 두 기본벡터의 `내적' 또는 `합의 크기'의 최대·최소를 알 수 있습니다.2증명은 부록에 수록하였습니다. 이렇게 `두 벡터가 이루는 각의 크기'가 중요하므로 앞으로 `두 벡터가 이루는 각의 크기'를 짧게 사잇각이라 부르기로 하고, 사잇각을 이용하여 기본벡터 사이의 `내적' 또는 `합의 크기'의 최대·최소를 알아봅시다.
두 기본벡터의 사잇각을 이용하여 최대·최소 해석하기
`내적'과 `합의 크기'는 최솟값과 최댓값 사이의 모든 값을 가질 수 있다
두 기본벡터 $\vec{a}$, $\vec{b}$에 대하여 $\vec{a} \bcd \vec{b}$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하면, $\vec{a} \bcd \vec{b}$는 구간 $[m,\: M]$ 사이의 모든 실수의 값을 가질 수 있습니다. 이는 $\vec{a} + \vec{b}$도 마찬가지입니다.3증명은 부록에 수록하였습니다.세 개 이상의 기본벡터(원벡터, 고정벡터)의 합의 크기
`두 벡터의 합의 크기'를 공부했으므로 이를 확장한 `세 개 이상의 벡터의 합의 크기'를 알아봅시다. 단, 세 개 이상의 벡터의 합의 크기는 원벡터와 고정벡터에 대해서만 다루고, 호벡터에 대해서는 다루지 않습니다.먼저 `$n$개의 벡터가 모두 원벡터일 때'의 최대·최소를 알아보고, 그 다음으로 `$n$개의 벡터가 각각 원벡터 또는 고정벡터일 때'의 최대·최소를 알아보겠습니다.4본 내용의 자세한 도출 과정은 부록에 수록하였으며, 본문에서는 도출 결과와 그 결과가 나타나는 상황에 대해서만 서술하였습니다.
$n$개의 벡터가 모두 원벡터일 때(최대)
$n$개의 원벡터 중 크기가 가장 큰 벡터를 $\vec{a}$, 나머지 벡터를 각각 $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$, $\cdots$, $\vec{a_{n-1}}$이라 하고, $\vec{a}$와 $\vec{a_k}$의 사잇각을 $\theta_k$ (단, $k$는 $1\le k \le n-1$인 자연수)라 할 때 $\av{\vec{a} + \sum_{k=1}^{n-1} \vec{a_k}}$의 최대를 알아봅시다.
$n$개의 벡터가 모두 원벡터일 때(최소)
$n$개의 원벡터 중 크기가 가장 큰 벡터를 $\vec{a}$, 나머지 벡터를 각각 $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$, $\cdots$, $\vec{a_{n-1}}$이라 하고, $\vec{a}$와 $\vec{a_k}$의 사잇각을 $\theta_k$ (단, $k$는 $1\le k \le n-1$인 자연수)라 할 때 $\av{\vec{a} + \sum_{k=1}^{n-1} \vec{a_k}}$의 최소를 알아봅시다. $\avi{a}$와 $\sum_{k=1}^{n-1} \avi{a_k}$의 대소관계에 따라 `최솟값'과 `최소일 때의 상황'이 달라집니다.- $\avi{a} \ge \sum_{k=1}^{n-1} \avi{a_k} $
$\vec {a}$를 제외한 나머지 모든 벡터의 방향이 $\vec{a}$와 반대일 때, 즉 자연수 $k$의 값에 관계없이 $\theta_k = \pi$일 때 최솟값 $\avi{a} - \sum_{k=1}^{n-1} \avi{a_k}$를 갖습니다.
- $\avi{a} < \sum_{k=1}^{n-1} \avi{a_k} $
$-\vec{a} = \sum_{k=1}^{n-1} \vec{a_k}$일 때, 즉 $\vec {a}$를 제외한 나머지 모든 벡터의 합이 $\vec{a}$의 역벡터일 때 최솟값 $0$을 갖습니다.
$n$개의 벡터가 각각 원벡터 또는 고정벡터일 때
원벡터가 $m$개, 고정벡터가 $(n-m)$개 있을 때 $(n-m)$개의 고정벡터를 모두 합친 벡터를 $\vec{p}$라 합시다.$\vec{p}$와 $m$개의 원벡터 중 크기가 가장 큰 벡터를 $\vec{a}$, 나머지 벡터를 각각 $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$, $\cdots$, $\vec{a_{m}}$이라 하고, $\vec{a}$와 $\vec{a_k}$의 사잇각을 $\theta_k$ (단, $k$는 $1\le k \le m$인 자연수)라 하면 `원벡터 $n$개의 합의 크기의 최대·최소'와 같은 방법으로 최대·최소를 구할 수 있습니다.
도형을 이용하여 최대·최소 해석하기
주어진 벡터가 기본벡터의 합 또는 차로만 나타내어지는 경우 지금까지 배운 방법으로 해석이 가능하지만, 그렇지 않은 경우도 있습니다. 이러한 경우 도형을 이용하여 `합의 크기'와 `내적'의 최대·최소를 해석할 수 있습니다.합의 크기 : `합치기' 이용
시점 또는 종점이 직선 또는 선분 위에 있는 벡터의 경우 기본벡터로만 나타낼 수 없기 때문에 도형을 이용하여 해석하는 것이 좋습니다. 간단한 예시를 들어 설명하겠습니다.
내적 : `수선의 발' 이용
원래 내적을 계산하려면 두 벡터의 크기와 사잇각을 모두 알아야 합니다. 앞서 크기가 일정하고 각만 바뀌는 경우를 다루는 방법을 배웠는데, 크기와 각이 모두 바뀌는 경우에는 그 방법을 적용하기 곤란합니다. 이러한 경우 다음과 같이 수선의 발을 이용한 방법으로 내적의 최대·최소를 구할 수 있습니다.
그림과 같이 두 벡터의 시점이 일치하지 않을 때에는 종점뿐만 아니라 시점도 수선의 발을 내리면 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 평행이동 후 수선의 발을 내려 얻은 $\vrm{A'B''}$과, 평행이동하지 않고 곧바로 수선의 발을 내려 얻은 $\vrm{EF}$는 서로 같은 벡터이기 때문입니다. 따라서 $\vrm{AB} \bcd \vrm{CD}$의 값은 경우에 따라 각각 다음과 같습니다. \[\begin{alignat*}{4} +&\avr{EF} &&\avr{CD}\quad &&\left(\text{$\vrm{EF}$와 $\vrm{CD}$의 방향이 동일할 때}\right) && : \left(0 \le \theta < \dfrac{\pi}{2}\right) \\ & &&0 &&\left(\text{$\vrm{EF} = \vec{0}$일 때, 즉 $\mrm E = \mrm F$일 때}\right) && : \left(\theta = \dfrac{\pi}{2}\right) \\ -&\avr{EF} &&\avr{CD}\quad &&\left(\text{$\vrm{EF}$와 $\vrm{CD}$의 방향이 반대일 때}\right) && : \left(\dfrac{\pi}{2} < \theta \le \pi \right) \end{alignat*}\]
