기하 > 평면에서의 벡터
이해 : 성분화
성분화의 정의
벡터 $\vec{a}$를 `영벡터가 아니고 서로 수직인 $\vec{b}$, $\vec{c}$의 합'으로 나타내는 것이 항상 가능하다고 알려져 있습니다. 이때 $\vec{b}$, $\vec{c}$와 평행하고 크기가 $1$인 벡터를 각각 $\vec{e_1}$, $\vec{e_2}$라 하면 \[\begin{align*}\vec{a} = m\vec{e_1} + n\vec{e_2}\end{align*}\]와 같이 표현하거나, 더 간단하게 $(m,\: n)$으로 표현할 수 있습니다. 이렇게 어떠한 벡터 $\vec{a}$를 서로 수직인 두 벡터 $\vec{e_1}$, $\vec{e_2}$를 적당히 실수배하여 덧셈으로 표현하는 것을 성분화라고 부르기로 하고, $\vec{e_1}$, $\vec{e_2}$를 기준벡터라고 부르기로 합시다.성분화의 이점
내적을 계산할 때는 $\vec{e_1}\bcd\vec{e_2}=0$이 됩니다. 따라서 성분화를 하면 계산이 편리해지는 이점이 있습니다. 합 또는 차를 계산할 때에도 `크기의 제곱'을 이용하면 역시 $\vec{e_1}\bcd\vec{e_2}=0$임을 이용할 수 있어 편리합니다.성분화의 특징 : 기준벡터를 바꾸어도 관계없다
성분화의 방법은 유일하지 않습니다. 주로 그림에 그려진 상태에서 $x$축, $y$축을 그려 각 좌표축의 방향으로 기준벡터를 잡지만 상황에 따라 얼마든지 다른 방식으로 성분화하는 것이 가능합니다. 다음과 같은 상황을 봅시다.
설명의 편의를 위하여 [2]를 먼저 제시한 뒤 이를 바탕으로 [3]을 제시했지만, 성분화를 쓰는 상황은 그 반대입니다. 즉 [3]처럼 주어진 조건을 [2]처럼 간단한 성분으로 바꾸는 것입니다.
흥미로운 점은 어느 방법으로 성분화하더라도 벡터 사이의 연산 결과는 달라지지 않는다는 점입니다.1 $\av{\vec{a} + \vec{b}} = 6\sqrt2$
$\av{\vec{a} - \vec{b}} = 2\sqrt2$
$\vec{a} \bcd \vec{b} = 16$ $\vec{a}$, $\vec{b}$가 표현된 방식만 달라질 뿐이지, 방향이나 크기가 달라지지는 않으므로 연산 결과는 달라지지 않습니다.
따라서 주어진 상황이 이미 특정 기준벡터를 통해 성분화되어 있더라도, 다른 기준벡터를 찾아 새로이 성분화할 수 있습니다. 이러한 성분화의 특징은 평면벡터뿐만 아니라 공간벡터에도 매우 유용했었으나, 공간벡터는 교육과정에서 사라졌으므로 우리의 관심 대상이 아닙니다.2단 본 도서는 소장판의 취지에 따라 공간벡터를 부록에 제공합니다.
일반화된 성분화(삐딱좌표계)
지금까지는 크기가 $1$이고 서로 수직인 벡터로 성분화했지만, 크기 조건과 수직 조건을 완화한 기준벡터를 설정하더라도 괜찮습니다. 크기 조건은 영아닌 벡터 조건으로, 수직 조건은 평행하지 않은 조건으로 완화할 수 있습니다.3다만 수직조건을 완화할 경우, 더 이상 $\vec{e_1} \bcd \vec{e_2} = 0$이라고 말할 수 없으므로 계산 상의 편의는 줄어듭니다. 완화된 조건에서는 마치 직사각형이 아닌 평행사변형을 이용하여 삐딱한 좌표계를 그린 것 같은 상황이 나타납니다.시중에서 삐딱좌표계가 문제풀이에 굉장히 유용한 도구인 것처럼 호도하는 경우가 많지만, 사실 덧셈/뺄셈/실수배를 처리하는 내분/외분 계산에 불과할 뿐입니다. 따라서 이 책에서는 삐딱좌표계의 존재만을 소개하고, 그 활용에 대해서는 다루지 않습니다.