응용 : 복잡한 \Mmi를 구하는 테크닉

원벡터를 자유벡터라 부르는 이유

`평면에서의 원벡터'인 $\vec{a}$와 임의의 평면벡터 $\vec{b}$의 내적 $\vec{a}\bcd\vec{b} = S$는 $\vec{b}$가 어떠한 벡터이든 관계없이 $\vec{a}$의 방향을 자유롭게 설정할 수 있으므로 최대·최소를 매우 쉽게 구할 수 있습니다. 만약 $\vec{b}$의 크기가 일정하다면 $\vec{b}$의 방향에 관계 없이 $\vec{a}$의 방향을 $\vec{b}$의 방향과 동일하도록 하면 $S$의 최대, 반대가 되도록 하면 $S$의 최소를 얻습니다. 만약 $\vec{b}$의 크기가 변한다면 $\vec{b}$의 크기가 최대가 되도록 방향을 취한 후, $\vec{a}$의 방향을 $\vec{b}$의 방향과 동일하도록 하면 $S$의 최대, 반대가 되도록 하면 $S$의 최소를 얻습니다.

이와 같이 `평면에서의 원벡터'는 크기는 일정하고 방향을 자유롭게 취할 수 있습니다. 따라서 내적의 최대·최소 계산이 매우 손쉬우므로 자유벡터라 부르도록 합시다. 합의 크기 또한 내적과 마찬가지로 쉽게 최대·최소를 구할 수 있습니다.

`두 내적'의 합 또는 차

$\vec{a}\bcd\vec{b}=S$, $\vec{c}\bcd\vec{d}=T$라 할 때, $S + T$ 또는 $S - T$의 최대·최소를 구하는 문제가 매우 자주 출제됩니다.

$S$와 $T$의 최댓값을 각각 $S_M$, $T_M$이라 하고, 최솟값을 각각 $S_m$, $T_m$이라 합시다. $S$와 $T$가 서로에게 전혀 영향이 없는 경우, 단순히 최대가 되기 위해서는 전체 식의 값이 커지도록 하고, 최소가 되기 위해서는 전체 식의 값이 작아지도록 하면 되므로 $S \pm T$의 최대·최소를 다음과 같이 쉽게 구할 수 있습니다. \[\begin{align*} (\text{$S + T$의 최대}) &= S_M + T_M \\ (\text{$S + T$의 최소}) &= S_m + T_m \\ (\text{$S - T$의 최대}) &= S_M - T_m \\ (\text{$S - T$의 최소}) &= S_m - T_M \end{align*}\] 그런데 $S$와 $T$가 서로에게 전혀 영향이 없는 경우는 고난도 문제에서 잘 출제되지 않습니다. 자주 출제되는 것은 다음과 같이 $S$와 $T$가 서로에게 영향을 끼치는 경우입니다. \[\begin{align*} \vrm{AB}\bcd\vrm{AC} &=\vrm{AB}\bcd(\vrm{AO}+\vrm{OC})\\ &=\vrm{AB}\bcd\vrm{AO}+\vrm{AB}\bcd\vrm{OC} \end{align*}\] 위 식에서 $\vrm{AB}\bcd\vrm{AO}=S$, $\vrm{AB}\bcd\vrm{OC}=T$라 할 때, $\vrm{AB}$가 변하면 $S$와 $T$에 동시에 영향을 끼치므로 위에서와 같이 단순한 논리를 적용할 수는 없습니다.

그렇지만 이를 회피할 수 있는 테크닉이 있습니다. 바로 `$S$가 최대(최소)가 되는 상황'과 `$T$가 최대(최소)가 되는 상황'을 각각 구한 후, 그 상황이 동시에 발생할 수 있는지를 따지는 것입니다.

예를 들어 $S-T$의 최소를 구해야 한다고 합시다. `$S$가 최소'인 상황이 (1), (2)에서 발생하고, $T$가 최대인 상황이 (2), (3)에서 발생한다면, (2)라는 상황에서 `$S$가 최소이면서 동시에 $T$가 최대'가 발생하므로 전체 식인 $S-T$가 이보다 더 작은 값을 가지는 상황은 존재할 수 없습니다. 따라서 (2)라는 상황에서 $S-T$가 최솟값 $S_m - T_M$을 가짐을 보일 수 있습니다.

그런데 `$S$가 최소'인 상황을 구했을 때 (1), (2)이고, $T$가 최대인 상황이 (3), (4)라면, `$S$가 최소이면서 동시에 $T$가 최대'인 상황은 존재하지 않으므로 최솟값은 $S_m - T_M$보다는 큰 어떤 값이 됩니다. 이는 도형으로 풀이할 수 없으므로 수식으로 나타내어 최대·최소를 구하면 됩니다.¹각각의 벡터를 성분화하여 내적을 계산한 후 수식으로 나타낼 수도 있고, 크기와 각도를 이용하여 삼각함수로 나타낼 수도 있습니다. 이러한 경우는 평가원에서는 출제되지 않았지만, 교육과정에서 벗어난 것은 아니므로 숙지해둡시다.

한편 $S$와 $T$ 중에 자유벡터가 연관된 식이 있다면 문제풀이가 매우 간편해집니다. 예컨대 $S=\vec{a}\bcd\vec{b}$, $T=\vec{a}\bcd\vec{c}$이고 $\vec{b}$가 자유벡터이며 $S+T$의 최대를 구하는 상황을 상정해봅시다. $T$가 최대가 되도록 한 후, 그때의 $\vec{a}$의 방향을 $\vec{b}$가 맞추어주기만 하면 $S$도 동시에 최대가 됩니다. 따라서 자유벡터가 들어간 식이 있다면, 자유벡터가 들어있지 않은 식을 먼저 처리한 후 자유벡터가 들어간 식은 나중에 맞추어주기만 하면 됩니다. (단, 자유벡터가 연관된 식을 다룰 때에도 두 식이 동시에 최대(최소)가 되는 상황이 발생할 수 있는지를 확인해야 합니다. 발생하지 않는다면 수식으로 풀이해야 합니다.)

테크닉 적용하기

기출문제를 풀이하며 배운 테크닉을 적용해봅시다.

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[풀이]
먼저 $\vrm{AP}$를 원의 중심을 경유하여 쪼개면 ${\vrm{AP}}\bcd{\vrm{AQ}}$는 다음과 같습니다. \[\begin{align*} {\vrm{AP}}\bcd{\vrm{AQ}} &= (\vrm{AO} + \vrm{OP}) \bcd \vrm{AQ} \\ &= \vrm{AO}\bcd\vrm{AQ} + \vrm{OP}\bcd\vrm{AQ} \end{align*}\] 이때 $\vrm{AO}$는 고정벡터, $\vrm{OP}$는 원벡터이고, $\vrm{AQ}$는 종점이 선분 $\mrm{BC}$ 위를 움직이는 벡터입니다.

이 식에서 $\vrm{OP}$는 자유벡터이고, 벡터 $\vrm{AQ}$가 두 개의 내적 $\vrm{AO}\bcd\vrm{AQ}=S$와 $\vrm{OP}\bcd\vrm{AQ}=T$에 모두 관여하고 있습니다. 이때 $\vrm{AQ}$의 크기와 방향이 모두 바뀌므로, $S$와 $T$의 최대(최소)가 동시에 발생할 지는 알 수 없습니다.

최대 구하기

먼저 $S$가 최대가 되는 상황을 살펴보겠습니다. Vector 2.5) `내적 : 수선의 발 이용'에 의하면 $\mrm{Q}$에서 직선 $\mrm{AO}$에 내린 수선의 발을 $\mrm{Q'}$이라 한 후 판단할 수 있습니다. 수선의 발을 내려보면 $\mrm{Q}=\mrm{B}$일 때 $S$가 최대가 됨을 알 수 있습니다.

그 후 $T$가 최대가 되기 위해서는 `$\avr{AQ}$가 최대인 상황'에서, 원벡터인 $\vrm{OP}$가 $\vrm{AQ}$와 동일한 방향을 향하면 됩니다. $\avr{AQ}$가 최대인 상황은 $\mrm{Q}=\mrm{B}$일 때 또는 $\mrm{Q}=\mrm{C}$일 때입니다. 따라서 $\mrm{Q}=\mrm{B}$일 때로 맞추어주면 $S_M$과 $T_M$이 동시에 발생 가능합니다. 그러므로 $S+T$의 최댓값은 $S_M + T_M$이고, $T_M = 2\times1=2$입니다.

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최소 구하기

먼저 $S$가 최소가 되는 상황을 살펴보겠습니다. Vector 2.5) `내적 : 수선의 발 이용'에 의하면 $\mrm{Q}$에서 직선 $\mrm{AO}$에 내린 수선의 발을 $\mrm{Q'}$이라 한 후 판단할 수 있습니다. 수선의 발을 내려보면 $\mrm{Q}=\mrm{C}$일 때 $S$가 최소가 됨을 알 수 있습니다.

그 후 $T$가 최소가 되기 위해서는 `$\avr{AQ}$가 최대인 상황'에서, 원벡터인 $\vrm{OP}$가 $\vrm{AQ}$와 반대인 방향을 향하면 됩니다. $\avr{AQ}$가 최대인 상황은 $\mrm{Q}=\mrm{B}$일 때 또는 $\mrm{Q}=\mrm{C}$일 때입니다. 따라서 $\mrm{Q}=\mrm{C}$일 때로 맞추어주면 $S_m$과 $T_m$이 동시에 발생 가능합니다. 그러므로 $S+T$의 최댓값은 $S_m + T_m$이고, $T_m = -(2\times1)=-2$입니다.

정답 구하기(1)

문제에서 구해야 할 것은 `$S+T$의 최댓값과 최솟값'의 합입니다. \[\begin{align*}(S_M + T_M) + (S_m + T_m) = S_M + 2 + S_m + (-2) = S_M + S_m\end{align*}\]이므로 $S_M$과 $S_m$을 구해봅시다. 먼저 $S_M$을 구합시다. $\mrm{O}$에서 $\mrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mrm{H}$라 하면 $\ovr{OH}=1$, $\ovr{AH}=2-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$입니다. 따라서 $\ovr{OA}=k$라 하면 삼각형 $\mrm{OHA}$에서 피타고라스의 정리에 의해 $k = \sqrt{1^2+\left( 2-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)^2}= \sqrt{\dfrac{16-4\sqrt{3}}{3}}$입니다.

$S_M$이 최대가 될 때의 $\mrm{Q'}$은 $\mrm{B}$에서 $\mrm{OA}$에 내린 수선의 발입니다. $\ovr{AQ'}=x$라 하면 $S_M = \vrm{AO}\bcd\vrm{AB} = \vrm{AO} \bcd \vrm{AQ'} = kx$입니다.

삼각형 $\mrm{OBA}$에서 $\ovr{OB}^2-\ovr{OQ'}^2 = \ovr{AB}^2 - \ovr{AQ'}^2$에서, $\left( \dfrac{2}{3}\sqrt{3} \right)^2 - (k-x)^2 = 2^2 - x^2$입니다. 이를 정리하면 $kx = \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{8}{3} + k^2 \right) = 4 - \dfrac{2}{3}\sqrt{3}$을 얻습니다. 따라서 $S_M = 4 - \dfrac{2}{3}\sqrt{3}$입니다.

이번에는 $S_m$을 구합시다. 위 그림에서 색칠한 두 삼각형은 닮음이고 $\ovr{OB}=\dfrac{2}{3}\sqrt{3}$, $\ovr{AC} = 2$이므로 두 도형의 닮음비는 $1:\sqrt{3}$입니다. 따라서 $\ovr{AQ'} = \sqrt{3}(k-x)$입니다. 따라서 $S_m = -\ovr{AO} \times \ovr{AQ'} = -\sqrt{3}k(k-x) = 2 - \dfrac{4}{3}\sqrt{3}$입니다.

그러므로 $S_M+S_m = \left( 4-\dfrac{2}{3}\sqrt3 \right) + \left( 2 - \dfrac{4}{3}\sqrt{3} \right) = 6-2\sqrt{3}$입니다.

정답 구하기(2)

`최대 구하기'와 `최소 구하기'에서 $S_M$과 $T_M$, $S_m$과 $T_m$이 동시에 발생 가능하다는 것을 알았고, 각각의 경우에서 $\mrm{P}$와 $\mrm{Q}$의 위치도 알았습니다. 정답 구하기(1)에서는 $S_M$과 $T_M$, $S_m$과 $T_m$을 각각 계산하였지만, 이 문제의 경우 $S_M+T_M$ 또는 $S_m+T_m$을 한번에 계산하는 것이 유리합니다.

먼저 $S_M+T_M$을 구하겠습니다. $\mrm{O}$에서 $\mrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mrm{H}$라 하면 $\ovr{AH} = 2-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$입니다. $\mrm{P}$에서 직선 $\mrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mrm{I}$라 하면 $\ovr{HI} = 1$입니다. 따라서 $\ovr{AI} = 3-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$이고, \[\begin{align*} S_M+T_M = \vrm{AP}\bcd\vrm{AB} = \vrm{AI}\bcd\vrm{AB} = 2\left( 3-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)= 6-\dfrac{2}{3}\sqrt{3} \end{align*}\] 입니다.

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이제 $S_m+T_m$을 구하겠습니다. $\mrm{A}$에서 $\mrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mrm{M}$이라 하고, $\mrm{O}$에서 $\mrm{AM}$에 내린 수선의 발을 $\mrm{H}$라 합시다. $\mrm{B}$에서 $\mrm{OH}$에 내린 수선의 발을 $\mrm{I}$라 하고, $\mrm{OH}$가 $\mrm{AC}$와 만나는 점을 $\mrm{J}$라 합시다. $\mrm{O}$, $\mrm{P}$에서 $\mrm{AC}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mrm{K}$, $\mrm{L}$이라 합시다.

사각형 $\mrm{OBCJ}$가 평행사변형이므로 $\ovr{OJ} = 2$입니다. 또한 $\mrm{\angle OJA} = 60^{\circ}$이므로 $\ovr{OK} = \sqrt{3}$입니다. $\ovr{OH} = \ovr{OI}+\ovr{HI} = 1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}$이고 $\ovr{AH} = \sqrt{3}-1$이므로 $\ovr{AK}$는 다음과 같습니다. \[\begin{align*} \ovr{AK}= \sqrt{\ovr{OA}^2 - \ovr{OK}^2} = \sqrt{\ovr{OH}^2 + \ovr{AH}^2 - \ovr{OK}^2} &= \sqrt{\left( 1+\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)^2 + \left( \sqrt{3}-1 \right)^2 - 3}\\ &=\sqrt{\dfrac{7-4\sqrt{3}}{3}} = \dfrac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}} =\dfrac{2}{3}\sqrt{3} - 1 \end{align*}\] 따라서 $\vrm{AP}\bcd\vrm{AC} = \vrm{AL}\bcd\vrm{AC} = -\ovr{AL}\times\ovr{AC} = -\dfrac{4}{3}\sqrt{3}$이므로 $S_m+T_m = -\dfrac{4}{3}\sqrt{3}$입니다.

그러므로 $S_M + T_M + S_m + T_m = \left(6 - \dfrac{2}{3}\sqrt3 \right) + \left( -\dfrac{4}{3}\sqrt3 \right) = 6 - 2\sqrt3 $입니다.

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1. 1. 각각의 벡터를 성분화하여 내적을 계산한 후 수식으로 나타낼 수도 있고, 크기와 각도를 이용하여 삼각함수로 나타낼 수도 있습니다.