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$\xy xy$는 좌표평면 전체를 나타낸다

일반적으로 좌표평면 위의 점 $\xy xy$라 하면, $x$와 $y$에 아무런 제약이 없으므로 $x$는 임의의 실수, $y$는 임의의 실수입니다. 이때 $\xy xy$는 `순서쌍 엑스 콤마 와이'라고 읽습니다. 따라서 $\xy xy$가 나타내는 영역을 색칠하면 (b)와 같이 좌표평면 전체를 칠하게 됩니다.

$x=k$와 $y=k$가 나타내는 도형

$x=3$이라는 방정식은 $\xy{3}{y}$라 할 수 있고, $x$는 상수 $3$으로 고정, $y$는 임의의 실수입니다. 이러한 점들은 (a)와 같이 좌표평면에서 $x$축에 수직이고 $\xy 30$을 지나는 직선을 나타냅니다. $y=2$라는 직선도 마찬가지 방법으로 (b)와 같이 $y$축에 수직이고 $\xy 02$를 지나는 직선을 나타내게 됩니다.

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$y=f\left( x \right) $가 나타내는 도형

앞에서와 같은 방법으로 $y=f\left( x \right) $라는 식을 해석하면, $x$에는 제약이 없고¹여기까지만 보았을 때는 제약이 없어 보입니다., $y$에는 $f\left( x \right) $라는 제약이 생깁니다. 이때 $f(x)$는 `에프 엑스'라고 읽습니다. 그러면 $x$좌표가 $k$일 때 $y$좌표가 $f\left( k \right) $인 점을 찍으면 됩니다. 즉 $x$좌표는 $x$를 취하고, $y$좌표는 (해당하는 $x$에 대하여 오직 하나의 값인) $f\left( x \right) $를 취하여 점을 찍기 때문에, 방정식의 이름이 $y = f\left( x \right) $인 것입니다.

그런데 함수의 제약조건 (2)에 의해²정의역의 원소 $x$ 하나에 대응하는 공역의 원소 $y$는 유일합니다. $k$ 하나에 대응하는 $f\left( k \right) $는 유일하므로 $x=k$와 $y=f\left( x \right) $가 만나는 점은 오직 $\xy{k}{f\left( k \right) }$로 유일합니다. 이를 이용하면 주어진 그래프가 함수의 그래프인지 아닌지를 판정할 수 있습니다. $x$축에 수직인 직선을 그어 교점의 개수가 $2$ 이상이면 함수의 그래프가 아니고, $1$ 이하이면 함수의 그래프입니다.³$x=c$와 $y=f(x)$의 교점의 개수가 $0$이면 $c$는 $f$의 정의역에 포함되지 않습니다.

한편, 앞서 $x$좌표에는 제약이 없어 보였지만, 잘 생각해보면 $f\left( k \right) $는 $k$가 $f\left( x \right) $의 정의역의 원소일 때에만 정의되는 값입니다. 따라서 `$k$가 $f$의 정의역의 원소'라는 제약이 간접적으로 주어진 셈이 됩니다. 따라서 정의역은 좌표평면에서 $y=f\left( x \right) $가 그려지는 가로 범위를 결정합니다.

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기본적인 부등식이 나타내는 도형

이 내용(부등식의 영역)은 일반적인 교육과정에서는 다루지 않지만, 부등식과 좌표평면을 이해하고 미적분과 접목하는 데에 큰 도움이 되므로 소개합니다.⁴우리가 부등식의 영역을 이용하여 미적분을 해석하는 것을 막을 수는 없으니까요. 게다가 그다지 어려운 내용도 아닙니다. 좌표평면에서 $x>3$이라는 부등식은 $x$좌표가 $3$보다 큰 실수이고 $y$좌표는 임의의 실수인 점 $\xy{x}{y}$를 나타냅니다. 이러한 점들은 (a)와 같이 좌표평면에서 색칠된 영역을 나타냅니다. 직선 $x=3$은 이 영역의 경계가 됩니다. $y<2$라는 부등식도 마찬가지 방법으로 (b)와 같이 좌표평면에서 색칠된 영역을 나타내며, 직선 $y=2$는 이 영역의 경계가 됩니다.

$y>f\left( x \right) $와 $y<f\left( x \right) $가 나타내는 도형

앞서 $y=f\left( x \right) $ 위의 점 $\xy{k}{f\left( k \right) }$가 $x$ 좌표는 $k$, $y$ 좌표는 $f\left( k \right) $인 점을 포함하는 것을 배웠습니다. $y>f\left( x \right) $라면, $x$좌표가 $k$일 때, $y$좌표가 $f\left( k \right) $보다 큰 점들을 의미하게 됩니다. 이러한 점이 나타내는 도형은 왼쪽 그림에서의 색칠된 직선과 같습니다. 정의역에 속하는 모든 실수 $x$에 대하여 같은 방법으로 해석하면, 오른쪽 그림과 같이 곡선 위쪽 영역을 모두 색칠하게 됩니다. 이때 $y=f\left( x \right) $는 부등식의 영역에 포함되지 않으므로 점선으로 그려줍니다. 같은 방법으로 $y \ge f\left( x \right) $, $y<f\left( x \right) $, $y \le f\left( x \right) $가 나타내는 영역을 차례대로 표시하면 각각 위 그림과 같습니다.

부등식의 영역

부등식의 영역좌표평면에서 부등식 $y>f(x)$의 영역은 곡선 $y=f(x)$의 윗부분(위쪽)이고, 부등식 $y<f(x)$의 영역은 아랫부분(아래쪽)입니다. 부등식에 등호가 포함되어 있으면 곡선 $y=f(x)$도 포함하며, 영역의 경계선인 곡선을 실선으로 나타냅니다. 부등식 등호가 포함되어 있지 않으면 곡선 $y=f(x)$를 포함하지 않으며, 영역의 경계선인 곡선을 점선으로 나타냅니다. 좌표평면에서 부등식 $x^2 + y^2 < r^2$의 영역은 원 $x^2 + y^2 = r^2$의 내부이고, 부등식 $x^2 + y^2 > r^2$의 영역은 원 $x^2 + y^2 = r^2$의 외부입니다. 부등식에 등호가 포함되어 있으면 원 $x^2 + y^2 = r^2$도 포함하며, 영역의 경계선인 원을 실선으로 나타냅니다. 부등식에 등호가 포함되어 있지 않으면 원 $x^2 + y^2 = r^2$을 포함하지 않으며 영역의 경계선인 원을 점선으로 나타냅니다.

연립부등식의 영역은 연립된 각각의 부등식의 영역의 공통 영역입니다. 예를 들어 연립부등식 \( \begin{cases} x+y+1 \ge 0 \\[-.2em] x^2 + 1 \ge y\end{cases}\)가 나타내는 영역은 (a)와 같은데, 이는 (b)에서 색칠된 영역인 $x+y+1 \ge 0$와 (c)에서 색칠된 영역인 $x^2 + 1 \ge y$의 공통영역입니다.

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1. 1. 여기까지만 보았을 때는 제약이 없어 보입니다.
2. 2. 정의역의 원소 $x$ 하나에 대응하는 공역의 원소 $y$는 유일합니다.
3. 3. $x=c$와 $y=f(x)$의 교점의 개수가 $0$이면 $c$는 $f$의 정의역에 포함되지 않습니다.
4. 4. 우리가 부등식의 영역을 이용하여 미적분을 해석하는 것을 막을 수는 없으니까요. 게다가 그다지 어려운 내용도 아닙니다.