좌표축과 원점
좌표축과 원점은 그래프가 그려질 무대인 좌표평면에 기본적으로 주어진 핵심정보라는 점에서 중요합니다. 또한 각 축의 교점인 원점은 일종의 불변하는 고정점과 같은 역할을 하므로 언제나 활용될 수 있음을 유념해야 합니다.
좌표축에 수직인 직선
좌표평면에서 `좌표'의 정의를 생각해보면, 각 좌표축에 수직인 두 직선이 각 좌표축과 만나는 점을 이용하여 정의됩니다. 따라서 각 축에 수직인 직선을 생각하는 것은 자연스럽습니다. 좌표를 정의할 때의 사고과정과 동일하기 때문입니다.
또한 $x$축에 수직인 직선 위의 모든 점은 $x$좌표가 같고, $y$축에 수직인 직선 위의 모든 점은 $y$좌표가 같습니다. 이를 통해 `$x$좌표가 같은 점' 또는 `$y$좌표가 같은 점'과 같은 조건이 주어졌을 때, `좌표축에 수직인 직선'이 유용하게 쓰일 수 있습니다.
정의역
앞서 Graph 0.1)에서 설명했듯, 함수의 정의역은 좌표평면에서 그래프가 그려지는 가로 범위를 결정합니다. 이는 논의 대상이 되는 $x$의 값의 범위를 결정하므로 매우 중요합니다. 예를 들어 $y=\log_a x$는 양수 $x$에 대해서만 다루지만, $y=a^x$는 모든 실수 $x$에 대해서 다룹니다.
치역
함수의 치역은 좌표평면에서 그래프가 그려지는 세로구간이 어떤지를 결정합니다. 이는 이후에 배울 최점, 쵯값과 매우 밀접한 연관을 가지므로 매우 중요합니다.
좌표축과의 교점(절편)
$x$축과 $y$축은 좌표평면을 네 개의 사분면으로 구분하는 기준이 됩니다. 따라서 각 축과의 교점은 그래프의 위치에 대한 개략적인 정보를 준다는 점에서 중요합니다.
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$x$절편은 방정식 $f\left( x \right) = 0$의 해라는 점에서도 중요하고, 연속함수인 경우 함숫값 부호 변화의 가능성을 따지는 기준점이 되므로 매우 중요합니다. 한 곡선 $y=f\left( x \right) $에 대하여 $x$절편은 존재하지 않을 수도 있고, 오직 하나만 존재할 수도 있고, 여러 개 존재할 수도 있습니다.
다항함수의 경우 주어진 식에서 바로 $y$절편을 알아낼 수 있는 경우가 많아 자주 쓰이는 점 중 하나입니다. 또한 함수의 $y$절편은 반드시 유일하다는 점에서
2 특별한 의미를 갖습니다.
함숫값의 부호
$x$좌표와 $y$좌표가 모두 실수이므로, 실수를 바라보는 관점에 의하면 부호를 기준으로 생각하는 것은 자연스럽습니다. 이때 $x$좌표의 부호는 $x=0$인 $y$축 의해 좌우로 구분되고, $y$좌표의 부호는 $y=0$인 $x$축에 의해 상하로 구분됩니다. 또한 $f\left( x \right) $의 부호가 어떤지에 따라 $x$의 범위를 생각할 수 있습니다. 그러므로 각각의 범위 또한 중요합니다.
한 점 $\xy{a}{f\left( a \right) }$가 주어졌을 때 좌표평면에서 찾을 수 있는 정보
한 점 $\xy{a}{f\left( a \right) }$ $(a \ne 0)$가 주어졌다고 해봅시다. 이 점에서 각 좌표축에 수선의 발을 내리는 것은 자연스럽습니다. 이때 $x$축까지의 거리는 $\abs{f\left( a \right) }$, $y$축까지의 거리는 $\abs{a}$입니다.
한편 기하학적인 관점에서 이 점의 $x$좌표와 $y$좌표를 활용할 수 있습니다. 좌표평면에 기본적으로 주어진 점인 원점과 이 점을 지나는 직선을 생각한다면 그 직선의 기울기는 $\dfrac{f\left( a \right) }{a}$입니다. 또한 원점과 이 점을 한 대각선으로 하는 직사각형을 생각할 수 있으며, 이 직사각형의 넓이는 $\abs{af\left( a \right) }$입니다.
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만약 함수 $f\left( x \right) $가 미분가능하다면 접선의 기울기인 $f'\left( a \right) $를 생각할 수 있고, 접선의 $x$절편과 $y$절편 또한 생각할 수 있습니다.
