방정식과 그래프
방정식 $f\left( x \right)= g\left( x \right) $의 (서로 다른) 실근을 그래프를 통해 해석해봅시다.
검은색 점들은 $y=f\left( x \right) $ 위의 점이므로 각각 `$x$좌표가 $x$일 때 $y$좌표가 $f\left( x \right) $인 점'이고, 분홍색 점들은 $y=g\left( x \right) $ 위의 점이므로 `$x$좌표가 $x$일 때 $y$좌표가 $g\left( x \right) $인 점'입니다. 이때 교점은 `$x$좌표가 $x$일 때 $y$좌표가 $f\left( x \right) $이기도 하고 $g\left( x \right) $이기도 한 점'이 됩니다. 따라서 $f\left( x \right) = g\left( x \right) $를 만족하는 점이 두 그래프의 교점입니다.
방정식 $f\left( x \right)=0 $은 $g\left( x \right)=0 $인 경우, 즉 $y=g\left( x \right) $의 그래프가 $x$축인 경우로 해석할 수 있습니다. 따라서 $y=f\left( x \right) $와 $x$축의 교점을 찾으면 방정식을 풀이할 수 있습니다.
부등식과 그래프
부등식 $f\left( x \right) > g\left( x \right) $ 또는 $f\left( x \right) < g\left( x \right) $의 해를 그래프를 통해 해석해봅시다. 검은색 점들은 $y=f\left( x \right) $ 위의 점이므로 각각 `$x$좌표가 $x$일 때 $y$좌표가 $f\left( x \right) $인 점'이고, 분홍색 점들은 $y=g\left( x \right) $ 위의 점이므로 `$x$좌표가 $x$일 때 $y$좌표가 $g\left( x \right) $인 점'입니다. 이때 $x$좌표가 같은 점들을 찾기 위해 직선 $x=k$를 그으면 다음과 같습니다.
①에서는 $f\left( x \right) > g\left( x \right) $이고, ②에서는 $f\left( x \right) = g\left( x \right) $이고, ③에서는 $f\left( x \right) < g\left( x \right) $입니다. 즉 위쪽에 그려진 그래프가 같은 $x$ 좌표를 가질 때 $y$좌표가 더 큽니다. 이를 통해 대소를 비교하여 부등식을 풀이할 수 있습니다.
부등식 $f\left( x \right) > 0$ 또는 $f\left( x \right) <0 $은 $g\left( x \right)=0 $인 경우, 즉 $y=g\left( x \right) $의 그래프가 $x$축인 경우로 해석할 수 있습니다. 따라서 $y=f\left( x \right) $와 $x$축 중 어느 것이 위쪽에 있는지를 보고 부등식을 풀이할 수 있습니다.
이차함수의 그래프와 이차부등식
이차함수의 그래프
최고차항인 이차항의 계수 $a$의 부호에 따라 이차함수의 그래프의 모양이 달라집니다. $a>0$이면 (a)와 같으며, 이러한 모양을 아래로 볼록하다고 합니다. $a<0$이면 (b)와 같으며, 이러한 모양을 위로 볼록하다고 합니다.
이차부등식의 풀이
이차부등식은 다음과 같은 네 가지 상황을 다룹니다. (단, $a \ne 0$)
\[\begin{align*}
&ax^2 + bx + c > 0, \quad ax^2 + bx + c \ge 0, \\
&ax^2 + bx + c < 0, \quad ax^2 + bx + c \le 0
\end{align*}\]
$D>0$일 때 이차방정식 $ax^2 + bx + c=0$의 두 근을 각각 $\alpha$, $\beta$ $(\alpha<\beta)$라 하고, $D=0$일 때 이차방정식의 한 근(중근)을 $\gamma$라 합시다. 이제 이차부등식을 그래프로 풀이하며 수식을 통한 풀이와 연관지어 생각해봅시다.
$ax^2 + bx + c > 0$
$a>0$일 때, $D>0$이면 $\OOI{-\infty}{\alpha}$, $\OOI{\beta}{\infty}$에 포함된 모든 실수가 부등식의 해입니다. $D=0$이면 $\OOI{-\infty}{\gamma}$, $\OOI{\gamma}{\infty}$에 포함된 모든 실수가 부등식의 해이므로, $\gamma$가 아닌 모든 실수가 부등식의 해입니다. $D<0$이면 모든 실수가 부등식의 해입니다.
$a<0$일 때, $D>0$이면 $\OOI{\alpha}{\beta}$에 포함된 모든 실수가 부등식의 해입니다. $D=0$이면 부등식의 해가 없습니다. $D<0$이면 부등식의 해가 없습니다.
$ax^2 + bx + c \ge 0$
$a>0$일 때, $D>0$이면 $\OCI{-\infty}{\alpha}$, $\COI{\beta}{\infty}$에 포함된 모든 실수가 부등식의 해입니다. $D=0$이면 $\OCI{-\infty}{\gamma}$, $\OOI{\gamma}{\infty}$에 포함된 모든 실수가 부등식의 해이므로, 모든 실수가 부등식의 해입니다. $D<0$이면 모든 실수가 부등식의 해입니다.
$a<0$일 때, $D>0$이면 $\CCI{\alpha}{\beta}$에 포함된 모든 실수가 부등식의 해입니다. $D=0$이면 $x=\gamma$가 부등식의 해입니다. $D<0$이면 부등식의 해가 없습니다.
$ax^2 + bx + c < 0$
$a>0$일 때, $D>0$이면 $\OOI{\alpha}{\beta}$에 포함된 모든 실수가 부등식의 해입니다. $D=0$이면 부등식의 해가 없습니다. $D<0$이면 부등식의 해가 없습니다.
$a<0$일 때, $D>0$이면 $\OOI{-\infty}{\alpha}$, $\OOI{\beta}{\infty}$에 포함된 모든 실수가 부등식의 해입니다. $D=0$이면 $\OOI{-\infty}{\gamma}$, $\OOI{\gamma}{\infty}$에 포함된 모든 실수가 부등식의 해이므로, $\gamma$가 아닌 모든 실수가 부등식의 해입니다. $D<0$이면 모든 실수가 부등식의 해입니다.
$ax^2 + bx + c \le 0$
$a>0$일 때, $D>0$이면 $\CCI{\alpha}{\beta}$에 포함된 모든 실수가 부등식의 해입니다. $D=0$이면 $x=\gamma$가 부등식의 해입니다. $D<0$이면 부등식의 해가 없습니다.
$a<0$일 때, $D>0$이면 $\OCI{-\infty}{\alpha}$, $\COI{\beta}{\infty}$에 포함된 모든 실수가 부등식의 해입니다. $D=0$이면 모든 실수가 부등식의 해입니다. $D<0$이면 모든 실수가 부등식의 해입니다.
절대부등식과 이차부등식
절대부등식
주어진 전체 범위에 포함된 임의의 실수에 대하여 성립하는 부등식을
절대부등식이라고 합니다. 절대부등식의 대표적인 예는 다음과 같습니다.
1
- 산술평균과 기하평균의 관계 : 임의의 양수 $a$, $b$에 대하여 $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$
- 절댓값 부등식 : 임의의 실수 $a$, $b$에 대하여 $\abs{a} + \abs{b} \ge \abs{a+b} $
이차부등식이 절대부등식이 될 조건
이차부등식이 임의의 실수 $x$에 대하여 성립한다면 이 또한 절대부등식입니다. 이차부등식이 절대부등식이 되기 위한 조건을 알아봅시다.
최고차항의 계수가 양수인 경우, $ax^2 + bx + c > 0$이 모든 실수 $x$에 대하여 성립하려면 $D<0$이어야 합니다. $D=0$이면 부등식이 성립하지 않도록 하는 실수 $\gamma$가 하나 존재하게 되고, $D>0$이면 $\CCI{\alpha}{\beta}$에 포함된 모든 실수 $x$가 부등식을 성립하지 않도록 하는 실수입니다.
최고차항의 계수가 양수인 경우, $ax^2 + bx + c \ge 0$이 모든 실수 $x$에 대하여 성립하려면 $D \le 0$이어야 합니다. 이때 $D<0$이면 등호는 성립하지 않고, $D=0$이면 등호가 성립하도록 하는 실수가 하나 존재합니다. $D>0$이면 $\OOI{\alpha}{\beta}$에 포함된 모든 실수 $x$가 부등식을 성립하지 않도록 하는 실수입니다.
최고차항의 계수가 음수인 경우, $ax^2 + bx + c < 0$이 모든 실수 $x$에 대하여 성립하려면 $D<0$이어야 합니다. $D=0$이면 부등식이 성립하지 않도록 하는 실수 $\gamma$가 하나 존재하게 되고, $D>0$이면 $\CCI{\alpha}{\beta}$에 포함된 모든 실수 $x$가 부등식을 성립하지 않도록 하는 실수입니다.
최고차항의 계수가 음수인 경우, $ax^2 + bx + c \le 0$이 모든 실수 $x$에 대하여 성립하려면 $D \le 0$이어야 합니다. 이때 $D<0$이면 등호는 성립하지 않고, $D=0$이면 등호가 성립하도록 하는 실수가 하나 존재합니다. $D>0$이면 $\OOI{\alpha}{\beta}$에 포함된 모든 실수 $x$가 부등식을 성립하지 않도록 하는 실수입니다.
