함수의 증가와 감소
증가함수 (증가)
함수 $f\left( x \right) $가 어떤 구간
1 내의 임의의 두 실수 $x_1$, $x_2$에 대하여
$x_1 < x_2$이면 $f\left( x_1 \right) < f\left( x_2 \right) $
일 때, `함수 $f\left( x \right) $는 그 구간에서
증가함수' 또는 `함수 $f\left( x \right) $가 그 구간에서
증가한다'라 합니다. 만약 구간이 정의역과 일치한다면 `함수 $f\left( x \right) $는 증가함수'라 합니다.
감소함수 (감소)
함수 $f\left( x \right) $가 어떤 구간 내의 임의의 두 실수 $x_1$, $x_2$에 대하여
$x_1 < x_2$이면 $f\left( x_1 \right) > f\left( x_2 \right) $
일 때, `함수 $f\left( x \right) $는 그 구간에서
감소함수' 또는 `함수 $f\left( x \right) $가 그 구간에서
감소한다'라 합니다. 만약 구간이 정의역과 일치한다면 `함수 $f\left( x \right) $는 감소함수'라 합니다.
증감성
함수가 증가 또는 감소하는 성질을
증감성이라 부르기로 합시다. 어떤 구간에서 증감성이 있으면 그 구간에서 증가하거나 감소하고, 증감성이 없으면 그 구간에서 상수함수입니다. 마치 실수에서 부호가 있으면 음수이거나 양수이고, 부호가 없으면 $0$인 것과 같습니다.
연속인 함수의 증감성을 다루는 경우가 많기는 하지만, 증감성과 연속성은 무관합니다. 증가와 감소의 판정은 부등식의 성립 여부일 뿐이고, 이 성립 여부는 연속과 관계없기 때문입니다. 그림의 함수들은 불연속인 점이 존재하지만 모두 증가함수이거나 감소함수입니다.
함수의 극대와 극소
함수의 극대
$x=a$를 포함하는 어떤 열린구간
2에 속하는 모든 $x$에 대하여 $f\left( x \right) \le f\left( a \right) $이면 `함수 $f\left( x \right) $는 $x=a$에서
극대가 된다'고 하고, 그때의 함숫값 $f\left( a \right) $를
극댓값이라고 합니다.
함수의 극소
$x=a$를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 $x$에 대하여 $f\left( x \right) \ge f\left( a \right) $이면 `함수 $f\left( x \right) $는 $x=a$에서
극소가 된다'고 하고, 그때의 함숫값 $f\left( a \right) $를
극솟값이라고 합니다.
극대와 극소에서 주의할 점
(a)와 같은 경우 $x=a$에서 극대이자 동시에 극소입니다. (b)와 같은 경우 $x=a$에서 극대이고, (c)와 같은 경우 $x=a$에서 극소입니다.
극대와 극소는 함수의 연속과 무관합니다. 위 그림에서 왼쪽의 두 경우 $x=a$에서 극대이고, 오른쪽의 두 경우 $x=a$에서 극소입니다.
극값과 극점
$x=c$에서 함수 $f\left( x \right) $가 극대가 되면 점 $\xy{c}{f\left( c \right) }$를 곡선 $y=f\left( x \right) $의
극대점이라 부르기로 합시다. $x=c$에서 함수 $f\left( x \right) $가 극소가 되면 점 $\xy{c}{f\left( c \right) }$를 곡선 $y=f\left( x \right) $의
극소점이라 부르기로 합시다.
극댓값과 극솟값을 통틀어 극값이라 하고, 극대점과 극소점을 통틀어 극점이라 부르기로 합시다.
구간 끝점은 극점이 될 수 없다
정의역이 $\CCI pq$인 함수 $f\left( x \right) $에서 $f\left( p \right) $, $f\left( q \right) $는 극값이 될 수 없습니다. $x=q$일 때에도 마찬가지입니다.
어떤 책은 끝점도 극점으로 취급하던데, 왜 끝점은 극점이 될 수 없다고 하나요?
이 책에서 구간 끝점을 극점의 후보에서 배제한 이유는, 이 책이 철저히 교과서의 서술을 따르기 때문입니다. 교과서에서는 명백히 구간 끝점을 극점으로 취급하지 않고 있습니다. 이는 교과서 최점을 판정할 때 `극점 중에서'가 아니라 `극점과 구간 양 끝점 중에서' 최점을 찾는 것을 통해 알 수 있습니다.
사실 수학적으로는 `구간 끝점을 극점으로 인정하는 것'과 `구간 끝점을 극점으로 인정하지 않는 것' 중 하나의 정의를 택하여 일관성을 유지한다면 어느 쪽이든 틀리지 않습니다. 교과서가 이 둘 중 후자를 택한 이유를 추정해보면 다음과 같습니다.
첫째, `구간 끝점이 항상 극점'이라는 오해를 원천적으로 차단하기 위함일 수 있습니다. 만약 `구간 끝점도 극점의 정의를 만족시킨다면 극점이다'라고 가르친다면, `구간 끝점은 어차피 항상 극점의 정의를 만족시킬 것이다'라고 오해할 가능성이 높습니다. 그러나 그 함수가 이 오해의 반례가 됩니다. 그 함수가 무엇인지는 Basic 1.1)에서 다룹니다.
둘째, `극점에서의 미분계수'에 대한 명제에 대한 오해를 원천적으로 차단하기 위함일 수 있습니다. 평균값 정리를 증명할 때 사용되는 명제인 `미분가능한 함수의 극점에서의 미분계수는 $0$이다'는 구간 끝점에 적용할 수 없습니다. 구간 끝이라 미분계수를 논할 수 없기 때문입니다. 구간 끝점을 극점의 후보에서 제외하고 별도로 판정하도록 정의하면 이 문제를 해결할 수 있습니다.
함수의 최대와 최소
함수의 최대
정의역에 속하는 모든 $x$에 대하여 $f\left( x \right) \le f\left( a \right) $이면 `함수 $f\left( x \right) $는 $x=a$에서
최대가 된다'고 하고, 그때의 함숫값 $f\left( a \right) $를
최댓값이라고 합니다.
함수의 최소
정의역에 속하는 모든 $x$에 대하여 $f\left( x \right) \ge f\left( a \right) $이면 `함수 $f\left( x \right) $는 $x=a$에서
최소가 된다'고 하고, 그때의 함숫값 $f\left( a \right) $를
최솟값이라고 합니다.
쵯값과 최점
$x=c$에서 함수 $f\left( x \right) $가 최대가 되면 점 $\xy{c}{f\left( c \right) }$를 곡선 $y=f\left( x \right) $의 최대점이라 부르기로 합시다. $x=c$에서 함수 $f\left( x \right) $가 최소가 되면 점 $\xy{c}{f\left( c \right) }$를 곡선 $y=f\left( x \right) $의 최소점이라 부르기로 합시다.
최댓값과 최솟값을 통틀어 쵯값이라고 부르기로 하고, 최대점과 최소점을 통틀어 최점이라고 부르기로 합시다.
구간 끝점도 최점이 될 수 있다
그림에서 보았듯이 정의역이 $\CCI pq$인 함수 $f\left( x \right) $에서 $f\left( p \right) $, $f\left( q \right) $는 쵯값이 될 수 있습니다. 극값에서와 달리 열린구간을 설정할 필요가 없이 정의역 내의 모든 $x$를 대상으로 주어진 부등식의 성립 여부를 확인하면 되기 때문입니다.
