Graph) 함수의 성질과 시각화 > 그래프로 보는 함수 관련 용어

대칭성과 홀짝성

선대칭과 점대칭

선대칭

선대칭은 특정 직선에 대한 대칭입니다. 이때 대칭의 기준이 되는 특정 직선을 대칭축이라 합니다. 점 $\mrm{P}$를 대칭축에 대하여 대칭이동한 점 $\mrm{P'}$을 점 $\mrm{P}$의 선대칭점 또는 대칭점이라 부르기로 합시다. 또한 $\mrm{P}$와 $\mrm{P'}$의 관계를 선대칭 관계라 부르기로 합시다.
그림과 같이 직선 $x=a$에 대칭인 함수를 `대칭축이 $x=a$인 선대칭함수' 또는 선대칭함수라 부르기로 합시다. 선대칭함수의 그래프인 곡선 $y=f\left( x \right) $ 위의 점 $\mrm{P}$에 대하여, 점 $\mrm{P}$의 대칭점 $\mrm{P'}$은 곡선 $y=f\left( x \right) $ 위의 점입니다. 이때 함수 $f\left( x \right) $의 정의역에 속하는 모든 실수 $x$가 다음을 만족시킵니다. \[\begin{align*} f\left( x \right) = f\left( 2a-x \right) \end{align*}\] 이 식에 $x$ 대신 $a+t$를 대입하여1$f\left( x \right) $의 정의역이 실수 전체라면 $x=a+t$를 자유롭게 대입할 수 있겠지만, $f\left( x \right) $의 정의역이 제한되어 있다면 $t$의 범위에 주의해야 합니다. 다음과 같은 표현을 사용할 수도 있습니다. \[\begin{align*} f\left( a+t \right) = f\left( a-t \right)\end{align*}\]

점대칭

점대칭은 특정 점에 대한 대칭입니다. 이때 대칭의 기준이 되는 특정 점을 중심이라 합니다. 점 $\mrm{P}$를 중심에 대하여 대칭이동한 점 $\mrm{P'}$을 점 $\mrm{P}$의 점대칭점 또는 대칭점이라 부르기로 합시다. 또한 $\mrm{P}$와 $\mrm{P'}$의 관계를 점대칭 관계라 부르기로 합시다.
그림과 같이 점 $\xy pq$에 대칭인 함수를 `중심이 $\xy pq$인 점대칭함수' 또는 점대칭함수라 부르기로 합시다. 점대칭함수의 그래프인 곡선 $y=f\left( x \right) $ 위의 점 $\mrm{P}$에 대하여, 점 $\mrm{P}$의 대칭점 $\mrm{P'}$은 곡선 $y=f\left( x \right) $ 위의 점입니다. 이때 함수 $f\left( x \right) $의 정의역에 속하는 모든 실수 $x$가 다음을 만족시킵니다. \[\begin{align*} f\left( x \right) + f\left( 2p-x \right) = 2q \end{align*}\] 이 식의 $x$에 $x=p+t$를 대입하여2$f\left( x \right) $의 정의역이 실수 전체라면 $x = p+t$를 자유롭게 대입할 수 있겠지만, $f\left( x \right) $의 정의역이 제한되어 있다면 $t$의 범위에 주의해야 합니다. 다음과 같은 표현을 사용할 수도 있습니다. \[\begin{align*} f\left( p+t \right) + f\left( p-t \right) = 2q\end{align*}\]

대칭성

함수 $f\left( x \right) $의 그래프 $G$를 대칭이동한 도형 $G'$이 $G$와 일치하는 성질을 대칭성이라 부르기로 합시다. 어떤 함수가 대칭성이 있으면 선대칭함수 또는 점대칭함수이고, 대칭성이 없으면 선대칭함수도 아니고 점대칭함수도 아닙니다. 마치 실수에서 부호가 있으면 음수이거나 양수이고, 부호가 없으면 $0$인 것과 같습니다. 한편 선대칭함수이면서 동시에 점대칭함수인 함수는 상수함수뿐입니다.3이는 본문에서 말하는 선대칭함수가 대칭축이 $x=a$인 경우로 한정되었기 때문입니다. 선대칭의 대칭축이 $x=a$가 아닌 경우를 생각한다면 더 많은 함수들이 선대칭성과 점대칭성을 동시에 갖습니다. 예를 들어 일차함수와 수학에서 배우는 유리함수의 그래프는 점대칭성과 선대칭성을 동시에 갖습니다.

특별한 대칭성 : 홀짝성

대칭성을 띠는 상황 중에서 가장 간결한 상황은 `$y$축에 대한 대칭'과 `원점에 대한 대칭'입니다. 이러한 대칭성을 홀짝성이라 부르기로 하고, 중심이 원점인 점대칭함수를 홀함수라 부르기로 하고, 대칭축이 $y$축인 선대칭함수를 짝함수라 부르기로 합시다.4홀함수와 짝함수라는 용어를 쓰는 것은 용어에 담긴 의미를 생생하게 나타내기 위한 것입니다. 주로 쓰이는 용어인 기함수의 기(奇)는 홀을 의미하고, 우함수의 우(偶)는 짝을 의미합니다. 영어로도 마찬가지인데, odd function과 even function에서 odd와 even이 각각 홀, 짝을 의미합니다.

홀함수는 정의역 내의 모든 실수 $x$에 대하여 $f\left( -x \right) = -f\left( x \right) $를 만족시키고, 짝함수는 정의역 내의 모든 실수 $x$에 대하여 $f\left( -x \right) =f\left( x \right) $를 만족시킵니다. 대표적인 홀함수로는 홀수차항으로만 이루어진 다항함수, $\sin x$, $\tan x$가 있고, 대표적인 짝함수로는 짝수차항으로만 이루어진 다항함수, $\cos x$가 있습니다.

어떤 함수가 홀짝성이 있으면 홀함수 또는 짝함수이고, 홀짝성이 없으면 홀함수도 아니고 짝함수도 아닙니다. 마치 실수에서 부호가 있으면 음수이거나 양수이고, 부호가 없으면 $0$인 것과 같습니다. 한편 홀함수이면서 동시에 짝함수인 함수는 $y=0$뿐입니다.

  1. 1. $f\left( x \right) $의 정의역이 실수 전체라면 $x=a+t$를 자유롭게 대입할 수 있겠지만, $f\left( x \right) $의 정의역이 제한되어 있다면 $t$의 범위에 주의해야 합니다.
  2. 2. $f\left( x \right) $의 정의역이 실수 전체라면 $x = p+t$를 자유롭게 대입할 수 있겠지만, $f\left( x \right) $의 정의역이 제한되어 있다면 $t$의 범위에 주의해야 합니다.
  3. 3. 이는 본문에서 말하는 선대칭함수가 대칭축이 $x=a$인 경우로 한정되었기 때문입니다. 선대칭의 대칭축이 $x=a$가 아닌 경우를 생각한다면 더 많은 함수들이 선대칭성과 점대칭성을 동시에 갖습니다. 예를 들어 일차함수와 수학에서 배우는 유리함수의 그래프는 점대칭성과 선대칭성을 동시에 갖습니다.
  4. 4. 홀함수와 짝함수라는 용어를 쓰는 것은 용어에 담긴 의미를 생생하게 나타내기 위한 것입니다. 주로 쓰이는 용어인 기함수의 기(奇)는 홀을 의미하고, 우함수의 우(偶)는 짝을 의미합니다. 영어로도 마찬가지인데, odd function과 even function에서 odd와 even이 각각 홀, 짝을 의미합니다.