주기성

주기함수

함수 $f\left( x \right) $가 $0$이 아닌 상수 $a$와 정의역 내의 임의의 실수 $x$에 대하여 \[\begin{align*}f\left( x + a\right) = f\left( x \right)\end{align*}\] 를 만족시킬 때, `함수 $f\left( x \right) $는 주기함수'라 합니다. $f\left( x + a\right) = f\left( x \right)$를 만족하는 주기함수의 그래프는 $y=f\left( x \right) $를 $x$축 방향으로 $a$만큼 평행이동한 그래프가 $y=f\left( x \right) $와 일치하므로, $a$마다 동일한 모양이 반복됩니다.

준주기함수

함수 $f\left( x \right) $가 상수 $a$와 정의역 내의 임의의 실수 $x$에 대하여 \[\begin{align*}f\left( x - a\right) + b= f\left( x \right)\end{align*}\] 를 만족시킬 때, `함수 $f\left( x \right) $는 준주기함수'라 부르기로 합시다.<sup>1</sup>`주기함수의 정의'와 일관된 표현을 위해서는 좌변을 $f\left( x+a \right)-b $로 적는 것이 좋지만, 평행이동을 고려하면 본문의 표현이 더 자연스럽습니다. $f\left( x - a\right) = f\left( x \right) - b$를 만족하는 준주기함수의 그래프 $y=f\left( x \right) $를 $x$축 방향으로 $a$만큼, $y$축 방향으로 $b$만큼 평행이동하면 $y=f\left( x \right) $와 일치하므로, $a$마다 동일한 모양이 반복됩니다.

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주기성

함수의 그래프를 적절히 평행이동했을 때 자기 자신과 일치하는 성질을 주기성이라 부르기로 합시다. 주기함수와 준주기함수는 주기성을 갖습니다.

주기

함수 $f\left( x \right) $가 주기성을 가질 때, $y=f\left( x \right) $에는 동일한 모양이 계속 반복하여 나타납니다. 그렇다면 반복되는 가장 작은 단위가 있을 것입니다. 이를 일컬어 주기라고 합니다.

주기함수의 주기

주기함수의 주기는 $f\left( x+p \right) = f\left( x \right) $를 만족하는 상수 $p$ 중 가장 작은 양수입니다.

준주기함수의 주기

준주기함수는 $y$축 방향 평행이동도 있으므로 주기를 순서쌍으로 나타내어야 합니다. $f\left( x-p \right) + q = f\left( x \right) $를 만족하는 두 상수 $p$, $q$의 순서쌍 $\xy pq$ 중에서 $p$가 가장 작은 양수일 때의 순서쌍이 준주기함수의 주기입니다.

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주기에서 주의할 점

상수 $a$가 $f\left( x+a \right) = f\left( x \right) $를 만족할 때, $a$가 항상 $f\left( x \right) $의 주기인 것은 아니므로 주의합시다. 예를 들어 그림의 세 함수를 봅시다. $f\left( x +4 \right) = f\left( x \right) $를 만족하고, $4$마다 동일한 모양이 반복된다는 점에서는 세 함수가 모두 동일합니다. 그러나 (a)는 $4$마다 동일한 모양이 반복되고, (b)는 $2$마다 반복되고, (c)는 $1$마다 반복됩니다. 따라서 (a), (b), (c)의 주기는 각각 $4$, $2$, $1$입니다.

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1. 1. `주기함수의 정의'와 일관된 표현을 위해서는 좌변을 $f\left( x+a \right)-b $로 적는 것이 좋지만, 평행이동을 고려하면 본문의 표현이 더 자연스럽습니다.