앞에서 배운 이차함수의 위로 볼록과 아래로 볼록에 대한 정의를 확장하여, 일반적인 함수의 위로 볼록과 아래로 볼록을 정의할 수 있습니다. 볼록성과 볼록이 바뀌는 지점은 그래프를 통해 직관적으로 받아들이도록 합시다.
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볼록성
함수가 갖는 볼록한 성질을
볼록성이라 부르기로 합시다. 어떤 구간에서 볼록성이 있으면 그 구간에서 위로 볼록하거나 아래로 볼록하고, 어떤 구간에서 볼록성이 없으면 평평한 직선입니다. 마치 실수에서 부호가 있으면 음수이거나 양수이고, 부호가 없으면 $0$인 것과 같습니다.
변곡점과 변곡
함수 $f\left( x \right) $에 대하여 $x=c$에서 함수 $y=f\left( x \right) $의 볼록성이 바뀔 때, 점 $\xy{c}{f\left( c \right) }$를 곡선 $y=f\left( x \right) $의
변곡점이라 합니다. 또한 이러한 상황을 `함수 $f\left( x \right) $가 $x=c$에서
변곡한다'고 부르기로 합시다.
지수로그함수의 볼록성
수학 I 교육과정에서 쓰는 표현은 아니지만, 지수함수 $y=a^x$에서 $a>1$일 때의 그래프를 `아래로 볼록하면서 증가한다'고 표현한 것을 들어보신 적이 있을 것입니다. 이는 점점 $a$가 곱해지면서 함숫값이 증가하는 값의 폭이 커지기 때문입니다. 예를 들어 함수 $y=2^x$에서 $x$의 값이 $1$, $2$, $3$, $4$, $\cdots$와 같이 $+1$씩 변할 때, $y$의 값은 $2$, $4$, $8$, $16$, $\cdots$와 같이 $\times 2$씩 변하는데, 이를 살펴보면 $+2$, $+4$, $+8$, $\cdots$과 같이 $y$의 증가폭이 점점 커집니다. 이렇게 함수가 증가할 때는 특정 구간에서 $x$가 커질수록 $y$의 증가폭이 커지면 그래프가 아래로 볼록하다고 합니다.
마찬가지로
수학 I 교육과정에서 쓰는 표현은 아니지만, $0<r<1$일 때의 그래프를 `아래로 볼록하면서 감소한다'고 표현한 것을 들어보신 적이 있을 것입니다. 이는 점점 $r$이 곱해지면서 함숫값이 감소하는 값의 폭이 작아지기 때문입니다. 예를 들어 함수 $y=\left( \dfrac{1}{2} \right) ^x$에서 $x$의 값이 $1$, $2$, $3$, $4$, $\cdots$와 같이 $+1$씩 변할 때, $y$의 값은 $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{8}$, $\dfrac{1}{16}$, $\cdots$과 같이 $\times \dfrac{1}{2}$씩 변하는데, 이를 살펴보면 $-\dfrac{1}{4}$, $-\dfrac{1}{8}$, $-\dfrac{1}{16}$, $\cdots$과 같이 $y$의 감소폭이 점점 작아집니다. 이렇게 함수가 감소할 때에는 $x$가 커질수록 $y$의 감소폭이 작아지면 그래프가 아래로 볼록하다고 합니다.
이는 (a)와 같은 이차함수의 그래프를 아래로 볼록하다고 부른 것과 일맥상통합니다. 아래로 볼록한 이차함수의 그래프를 보면 대칭축 $x=a$를 기준으로 $x<a$에서는 감소하면서 감소폭이 점점 작아지고, $x>a$에서는 증가하면서 증가폭이 점점 커짐을 알 수 있습니다. 역으로 (b)와 같은 이차함수의 그래프를 위로 볼록하다고 부른 것을 통해 위로 볼록한 이차함수의 그래프에서는 대칭축 $x=a$를 기준으로 $x<a$에서는 증가하면서 증가폭이 점점 작아지고, $x>a$에서는 감소하면서 감소폭이 점점 커짐을 알 수 있습니다.
이를 통해 로그함수 $y=\log_a x$의 그래프가 $a>1$일 때 (a)와 같이 위로 볼록하며 증가하고, $0<a<1$일 때 (b)와 같이 아래로 볼록하며 감소함을 알 수 있습니다.
