엄밀한 볼록성(미적분 선택자 전용)

볼록을 정의하기 위해 필요한 용어 정의

구간 $\CCI{a}{b}$에서 곡선 $y=f(x)$ 위의 임의의 서로 다른 두 점 $\mrm{P}$, $\mrm{Q}$에 대하여 선분 $\mrm{PQ}$를 할선이라 부르기로 하고, $y=f\left( x \right) $를 곡선이라 부르기로 합시다. 그림에서 색칠된 모든 선분들은 할선들입니다.

아래로 볼록

임의의 구간 $\OOI{a}{b}$에서 곡선이 할선보다 아랫부분에 있으면 `곡선 $y=f\left( x \right) $는 구간 $\CCI{a}{b}$에서 아래로 볼록'하다고 합니다.

위로 볼록

임의의 구간 $\OOI{a}{b}$에서 곡선이 할선보다 윗부분에 있으면 `곡선 $y=f\left( x \right) $는 구간 $\CCI{a}{b}$에서 위로 볼록'하다고 합니다.

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변곡점과 변곡

이계도함수가 존재하는 함수 $f\left( x \right) $에 대하여 $x=c$에서 함수 $y=f\left( x \right) $의 볼록성이 바뀔 때, 점 $\xy{c}{f\left( c \right) }$를 곡선 $y=f\left( x \right) $의 변곡점이라 합니다. 또한 이러한 상황을 `함수 $f\left( x \right) $가 $x=c$에서 변곡한다'고 부르기로 합시다.

볼록성의 전제조건 : 이계도함수 존재

교육과정상 볼록성은 구간 $\CCI{a}{b}$에서 정의되고 $\OOI ab$에서 이계도함수가 존재하는 경우에 대해서만 다룹니다. $f\left( x \right) $가 구간 $\CCI{a}{b}$에서 정의되고 $\OOI ab$에서 이계도함수가 존재한다는 것은 다음의 두 가지를 의미합니다.

1. $f'\left( x \right) $가 $\OOI{a}{b}$에서 존재.
   이는 $\OOI{a}{b}$에서 $f\left( x \right) $가 미분가능함을 의미합니다. 미분가능하면 연속이므로, $f\left( x \right) $가 연속임도 알 수 있습니다.
2. $f''\left( x \right) $가 $\OOI{a}{b}$에서 존재.
   이는 $\OOI{a}{b}$에서 $f'\left( x \right) $가 미분가능함을 의미합니다. 미분가능하면 연속이므로, $f'\left( x \right) $가 연속임도 알 수 있습니다.

볼록성 판정

이계도함수의 부호를 이용하여 볼록성을 판정할 수 있습니다. 이계도함수가 존재하는 함수 $f\left( x \right) $가 구간 $\OOI{a}{b}$에서 $f''\left( x \right) > 0$이면 곡선 $y=f\left( x \right) $는 구간 $\OOI{a}{b}$에서 아래로 볼록합니다. $f''\left( x \right) < 0$이면 곡선 $y=f\left( x \right) $는 구간 $\OOI{a}{b}$에서 위로 볼록합니다. $f''\left( x \right) = 0$이면 $f\left( x \right) $는 구간 $\OOI{a}{b}$에서 상수함수 또는 일차함수입니다.

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변곡점 판정

이계도함수가 존재하는 함수 $f\left( x \right) $가 $x=a$에서 $f''\left( x \right) $의 부호가 바뀌면 $\xy{a}{f\left( a \right) }$는 변곡점이고, 이때 $f''\left( a \right) =0$입니다.

$f''(a)=0$이더라도 $x=a$를 기준으로 볼록성이 바뀌지 않는다면 변곡점이 아님을 주의합시다. (a)와 같이 위로 볼록에서 아래로 볼록으로 바뀌거나, (b)와 같이 아래로 볼록에서 위로 볼록으로 바뀌는 경우는 변곡점이 맞지만, (c), (d)와 같이 볼록성이 있다가 없어지는 경우, (e)와 같이 $x=a$ 근방에서 볼록성이 없는 경우는 변곡점이 아닙니다.