Graph) 함수의 성질과 시각화 > 그래프로 보는 함수의 다양한 성질

증감성과 미분계수

증감성을 갖는 그래프가 그려지는 영역

증가함수 $y=f\left( x \right) $의 그래프 위의 한 점 $\xy{a}{f\left( a \right) }$를 안다면, $y=f\left( x \right) $의 그래프는 색칠된 영역에 그려져야 합니다.
감소함수 $y=f\left( x \right) $의 그래프 위의 한 점 $\xy{a}{f\left( a \right) }$를 안다면, $y=f\left( x \right) $의 그래프는 색칠된 영역에 그려져야 합니다.

증감성 판정

미분계수의 부호를 이용하여 증감성을 판정할 수 있습니다.
미분가능한 함수 $f\left( x \right) $가 구간 $\OOI{a}{b}$에서 $f'\left( x \right) > 0$이면 $f\left( x \right) $는 구간 $\OOI{a}{b}$에서 증가합니다.1단, 함수의 정의역이 닫힌구간 $\CCI{a}{b}$인 경우에는 주의가 필요합니다. 이는 바로 밑 박스에서 다룹니다. 구간 $\OOI{a}{b}$에서 $f'\left( x \right) < 0$이면 $f\left( x \right) $는 구간 $\OOI{a}{b}$에서 감소합니다. 구간 $\OOI{a}{b}$에서 $f'\left( x \right) = 0$이면 $f\left( x \right) $는 구간 $\OOI{a}{b}$에서 상수함수입니다.

닫힌구간에서의 미분가능성(롤의 정리와 평균값 정리의 상황 설정)

구간 끝에서는 미분계수를 정의할 수 없습니다. 따라서 `닫힌구간에서 미분가능하다'는 표현은 쓸 수 없습니다. 이럴 때에는 `닫힌구간에서는 연속이고 열린구간에서는 미분가능한 상황'으로 대체하면 해결됩니다. 즉 끝점에서만 미분가능성을 논하지 않는 것입니다. 그런데 이 상황은 왠지 익숙합니다. 바로 `롤의 정리'와 `평균값 정리'의 상황 설정과 완전히 동일하기 때문입니다. 구간 양 끝의 함숫값을 활용하기 위해 닫힌구간을 설정했지만, 닫힌구간의 구간 끝 점에서는 미분가능할 수 없으니, 닫힌구간에서는 연속이고 열린구간에서는 미분가능한 상황을 설정하는 것입니다. 이는 반닫힌구간 $\COI ab$의 $x=a$와 $\OCI ab$의 $x=b$에서도 마찬가지입니다. 앞으로 이러한 비슷한 상황을 언급할 때에도 동일하게 생각하면 됩니다.

단조증가함수와 단조감소함수

미분가능한 함수 $f\left( x \right) $가 어떤 구간에서 $f'\left( x \right) \ge 0$이면 그 구간에서 증가하거나 상수함수입니다. 다시 말하면, 감소하지는 않습니다.

이를 도함수 없이 함숫값의 대소관계로 표현하면, 이는 함수 $f\left( x \right) $가 어떤 구간 내의 임의의 두 실수 $x_1$, $x_2$에 대하여

$x_1 < x_2$이면 $f\left( x_1 \right) \le f\left( x_2 \right) $
인 상황임을 알 수 있습니다. 이러한 상황을 일컬어 `함수 $f\left( x \right) $가 그 구간에서 단조증가한다' 또는 `함수 $f\left( x \right) $는 그 구간에서 단조증가함수'라 부르기로 합시다. 만약 구간이 정의역과 일치한다면 `함수 $f\left( x \right) $는 단조증가함수'라 부르기로 합시다.
미분가능한 함수 $f\left( x \right) $가 어떤 구간에서 $f'\left( x \right) \le 0$이면 그 구간에서 감소하거나 상수함수입니다. 다시 말하면, 증가하지는 않습니다.

이를 도함수 없이 함숫값의 대소관계로 표현하면, 함수 $f\left( x \right) $가 어떤 구간 내의 임의의 두 실수 $x_1$, $x_2$에 대하여

$x_1 < x_2$이면 $f\left( x_1 \right) \ge f\left( x_2 \right) $
인 상황임을 알 수 있습니다. 이러한 상황을 일컬어 `함수 $f\left( x \right) $가 그 구간에서 단조감소한다' 또는 `함수 $f\left( x \right) $는 그 구간에서 단조감소함수'라 부르기로 합시다. 만약 구간이 정의역과 일치한다면 `함수 $f\left( x \right) $는 단조감소함수'라 부르기로 합시다.

단조증가와 단조감소

단조증가는 세 가지 경우가 있습니다. (a)와 같이 $f'(x)>0$인 경우는 증가와 동일합니다. (b)와 같이 어떤 구간(들)에 속하는 모든 $x$에 대하여 $f'\left( x \right) =0$인 경우, 그 구간(들)에서는 상수함수이고, 나머지 구간들에서는 증가합니다. (c)와 같이 $f'\left( x \right)=0$인 $x$가 구간으로 나타나지는 않는 경우, 모든 구간에서 증가합니다.

단조감소도 세 가지 경우가 있습니다. (a)와 같이 $f'(x)<0$인 경우는 감소와 동일합니다. (b)와 같이 어떤 구간(들)에 속하는 모든 $x$에 대하여 $f'\left( x \right) =0$인 경우, 그 구간(들)에서는 상수함수이고, 나머지 구간들에서는 감소합니다. (c)와 같이 $f'\left( x \right)=0$인 $x$가 구간으로 나타나지는 않는 경우, 모든 구간에서 감소합니다.

쉼점 : 접선의 기울기가 $0$인 점


접선의 기울기가 $0$인 점을 쉼점(stationary point)이라 부르기로 합시다. 극대점과 극소점은 쉼점입니다. 단조증가와 단조감소의 (c)에서 살펴본 `$f'(x)=0$이지만 증감성이 바뀌지 않는 점'은 쉼점이지만 극점은 아닙니다.
  1. 1. 단, 함수의 정의역이 닫힌구간 $\CCI{a}{b}$인 경우에는 주의가 필요합니다. 이는 바로 밑 박스에서 다룹니다.