극점 판정
불연속인 점에서 극점 판정
불연속인 점에서 극점인지의 여부는 미분계수로 판정할 수 없고, 그래프를 그려서 판정해야 합니다.
연속인 점에서 극점 판정
연속함수가 $x=a$에서 증감성이 바뀌면 $\xy{a}{f\left( a \right) }$는 극점입니다. 증가에서 감소로 바뀌면 극대점, 감소에서 증가로 바뀌면 극소점입니다. 한편 어떤 구간에서 상수함수이면, 구간 끝점에서는 극대 또는 극소이고, 그 열린구간에 속하는 모든 $x$에 대하여 $\xy{x}{f\left( x \right) }$는 극대점인 동시에 극소점입니다.
미분가능한 점에서 극점 판정
미분가능한 함수가 $x=a$에서 증감성이 바뀌면 $\xy{a}{f\left( a \right) }$는 극점이고, 이때 $f'\left( a \right)=0 $입니다. 증가에서 감소로 바뀌면 극대점, 감소에서 증가로 바뀌면 극소점입니다. 한편 어떤 구간에 속하는 모든 $x$에 대하여 $f'(x)=0$이면, 그 구간에서 상수함수이며, 구간 끝점에서는 극대 또는 극소이고, 그 열린구간에 속하는 모든 $x$에 대하여 $\xy{x}{f\left( x \right) }$는 극대점인 동시에 극소점입니다.
미분가능한 함수의 극점에서의 미분계수
미분가능한 함수 $f\left( x \right) $에 대하여 $\xy{a}{f\left( a \right) }$가 극점이면 $f'\left( a \right) =0$입니다. 즉 극점은 항상 쉼점입니다.
이 명제의 역은 성립하지 않습니다. $f'(a)=0$이더라도 $x=a$를 기준으로 증감성이 바뀌지 않는다면 극점이 아닙니다. 즉 쉼점이라고 해서 항상 극점인 것은 아닙니다.
최점 판정
닫힌구간에서 연속일 때
닫힌구간 $\CCI{p}{q}$에서 연속인 함수 $f\left( x \right) $는 최대·최소 정리에 의하여 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖습니다.
최대점은 극대점(들)과 구간의 양 끝 점 중에서 함숫값이 가장 큰 점입니다.
최소점은 극소점(들)과 구간의 양 끝 점 중에서 함숫값이 가장 작은 점입니다.
열린구간에서 연속일 때
열린구간 $\OOI{p}{q}$에서 연속인 함수 $f\left( x \right) $는 최댓값을 가진다는 보장이 없고, 최솟값을 가진다는 보장도 없습니다. (a), (b)와 같은 상황이 그 예입니다. 닫힌구간에서는 구간 끝 점이 최점이라고 말할 수 있었지만, 열린 구간에서는 최점이 존재하지 않습니다.
만약 열린구간 $\OOI{p}{q}$에서 연속인 함수 $f\left( x \right) $가 최댓값을 갖는 상황이 주어진다면, 최대점은 극대점(들) 중에서 함숫값이 가장 큰 점입니다.
만약 열린구간 $\OOI{p}{q}$에서 연속인 함수 $f\left( x \right) $가 최솟값을 갖는 상황이 주어진다면, 최소점은 극소점(들) 중에서 함숫값이 가장 작은 점입니다.
