선대칭함수 Without 미적분
$\mrm{P}$와 대칭점 $\mrm{P'}$의 관계
그림과 같이 선분 $\mrm{PP'}$의 중점은 대칭축 위에 있고, 대칭축과 선분 $\mrm{PP'}$은 수직입니다. 대칭축과 $y=f\left( x \right) $는 만날 수도 있고, 만나지 않을 수도 있습니다.
대칭축에 수직인 직선 $l$과의 교점의 개수
어떤 선대칭함수 $f\left( x \right) $의 대칭축에 수직인 직선 $l$을 그었을 때, $l$과 $y=f\left( x \right) $의 서로 다른 교점의 개수를 생각해봅시다.
서로 다른 교점의 개수가 $1$이면 그 교점은 대칭축 위에 있습니다. 그러므로 대칭축과 $y=f\left( x \right) $는 그 교점에서 만납니다. 또한 이 유일한 교점은 자기 자신과 선대칭 관계입니다. 개수가 $2$이면 두 교점은 서로 선대칭 관계입니다. 개수가 $3$이면 한 교점은 `대칭축과 $l$의 교점'이고, 나머지 두 교점은 선대칭 관계입니다. 개수가 $4$이면 $x$좌표가 작은 순서대로 $\mrm{P}$, $\mrm{Q}$, $\mrm{R}$, $\mrm{S}$라 할 때, $\mrm{P}$와 $\mrm{S}$는 선대칭 관계이고 $\mrm{Q}$와 $\mrm{R}$는 선대칭 관계입니다.
이와 같이 교점의 개수가 홀수개이면 그 중 한 교점은 대칭축 위의 점(스스로와 선대칭 관계)이고, 나머지 점들은 두 점씩 짝을 이루어 선대칭 관계입니다. 교점의 개수가 짝수개이면 두 점씩 짝을 이루어 선대칭 관계입니다.
선대칭함수 With 미적분
미분계수
그림과 같이 $\mrm{P}$에서의 접선은 $\mrm{P'}$에서의 접선과 $x=a$에 대하여 선대칭입니다. 따라서 $\mrm{P}$에서의 미분계수가 $m$이면 $\mrm{P}'$에서의 미분계수는 $-m$입니다.
증감성과 극점
선대칭함수의 그래프의 절반인 도형 $C$를 대칭축에 대하여 대칭이동하여 얻은 도형을 $C'$이라 할 때, $C$와 $C'$의 증감성은 서로 반대입니다. 극대점의 대칭점은 극대점이고, 극소점의 대칭점은 극소점입니다.
정적분
그림에서 색칠된 두 부분의 넓이는 서로 같습니다. 따라서 다음이 성립합니다. \[\begin{align*} \int_{a-b}^{a} f\left( x \right) dx = \int_{a}^{a+b} f\left( x \right) dx \end{align*}\]
대칭축과 그래프가 만날 때
선대칭함수 $f\left( x \right) $가 $x=a$에서 미분가능하고 대칭축이 $x=a$일 때, $\xy{a}{f\left( a \right) }$의 선대칭점은 자기자신입니다. 따라서 $f'\left( a \right) =-f'\left( a \right) $이므로 $f'\left( a \right) =0$입니다.
(미적분 선택자 전용) 대칭축과 그래프가 만날 때
$x=a$를 기준으로 볼록성이 바뀔 수 없으므로, $\xy{a}{f\left( a \right) }$는 절대로 변곡점이 될 수 없습니다.
볼록성과 변곡점
선대칭함수의 그래프의 절반인 도형 $C$를 대칭축에 대하여 대칭이동하여 얻은 도형을 $C'$이라 할 때, $C$와 $C'$의 볼록성은 서로 동일합니다. 변곡점의 대칭점은 변곡점입니다.
