점대칭함수 Without 미적분
$\mrm{P}$와 대칭점 $\mrm{P'}$의 관계
선분 $\mrm{PP'}$의 중점은 중심입니다. 중심은 $y=f\left( x \right) $ 위의 점일 수도 있고, 아닐 수도 있습니다.
중심을 지나는 직선 $l$과의 교점의 개수
어떤 점대칭함수 $f\left( x \right) $의 중심을 지나는 직선 $l$을 그었을 때, $l$과 $y=f\left( x \right) $의 서로 다른 교점의 개수를 생각해봅시다.
서로 다른 교점의 개수가 $1$이면 그 교점은 중심입니다. 그러므로 중심은 $y=f\left( x \right) $ 위의 점입니다. 또한 이 유일한 교점은 자기 자신과 점대칭 관계입니다. 개수가 $2$이면 두 교점은 서로 점대칭 관계입니다. 한편 중심은 $y=f\left( x \right) $ 위의 점이 아닙니다. 개수가 $3$이면 한 교점은 중심이고, 나머지 두 교점은 점대칭 관계입니다. 개수가 $4$이면 $x$좌표가 작은 순서대로 $\mrm{P}$, $\mrm{Q}$, $\mrm{R}$, $\mrm{S}$라 할 때, $\mrm{P}$와 $\mrm{S}$는 점대칭 관계이고 $\mrm{Q}$와 $\mrm{R}$는 점대칭 관계입니다. 한편 중심은 $y=f\left( x \right) $ 위의 점이 아닙니다.
이와 같이 교점의 개수가 홀수개이면 그 중 한 교점은 중심(자기 자신과 점대칭)이고, 나머지 점들은 두 점씩 짝을 이루어 점대칭 관계입니다. 교점의 개수가 짝수개이면 중심은 곡선 위의 점이 아니고, 교점들은 두 점씩 짝을 이루어 점대칭 관계입니다.
점대칭함수 With 미적분
미분계수
그림과 같이 $\mrm{P}$에서의 접선은 $\mrm{P}'$에서의 접선과 서로 중심에 대하여 점대칭입니다. 따라서 $\mrm{P}$에서의 미분계수가 $m$이면 $\mrm{P}'$에서의 미분계수는 $m$입니다.
증감성과 극점
점대칭함수의 그래프의 절반인 도형 $C$를 중심에 대하여 대칭이동하여 얻은 도형을 $C'$이라 할 때, $C$와 $C'$의 증감성은 서로 동일합니다. 극대점의 대칭점은 극소점이고, 극소점의 대칭점은 극대점입니다.
정적분
각 그림에서 색칠된 두 부분의 넓이는 서로 같습니다. 따라서 다음이 성립합니다.
\[\begin{align*} \int_{a-b}^{a+b} \left\{ f\left( x \right) - f\left( a \right) \right\} dx = 0\end{align*}\]
중심이 그래프 위의 점일 때
점대칭함수 $f\left( x \right) $가 $x=a$에서 미분가능하고 중심이 $\xy{a}{f\left( a \right) }$일 때, $\xy{a}{f\left( a \right) }$의 점대칭점은 자기 자신입니다. 따라서 $f'\left( a \right) =f'\left( a \right) $이므로, 점대칭함수의 중심의 미분계수에 대해서 특별히 얻는 정보는 없습니다.
(미적분 선택자 전용) 중심이 그래프 위의 점일 때 추가내용
한편 함수 $y=f\left( x \right) $의 그래프가 $x=a$ 근방에서 직선이 아니라면 볼록성이 바뀌므로, 이러한 경우 점대칭함수의 중심은 변곡점입니다. $x=a$ 근방에서 직선이라면 $x=a$ 근방에서 볼록성이 없으므로 변곡점이 아닙니다. 변곡점 여부는 앞서 배운대로 $f''(a)$의 부호 변화로 판정해도 됩니다.
(미적분 선택자 전용) 볼록성과 변곡점
점대칭함수의 그래프의 절반인 도형 $C$를 중심에 대하여 대칭이동하여 얻은 도형을 $C'$이라 할 때, $C$와 $C'$의 볼록성은 서로 반대입니다. 변곡점의 대칭점은 변곡점입니다. $C$에서 직선인 구간은 볼록성이 없으므로 대칭이동된 $C'$에서 직선인 구간도 볼록성이 없음을 주의합시다.
