준주기함수 Without 미적분
주기가 $\xy{p}{q}$인 준주기함수의 그래프 $y=f\left( x \right) $ 중 구간 $\COI{a}{a+p}$에서의 그래프를 $C$라 할 때, 준주기함수의 그래프는 $C$를 평행이동한 $C'$을 이용하여 그려집니다.
준주기함수 With 미적분
연속성과 미분가능성
준주기함수가 연속이면, $C$와 $C'$이 겹치는 경계에 놓인 점에서도 연속입니다. 준주기함수가 미분가능하면 $C$와 $C'$이 겹치는 경계에 놓인 점에서도 미분가능합니다.
미분계수
$C$ 위의 점 $\xy[P]{a}{f\left( a \right) }$가 평행이동된 점을 $\xy[P']{b}{f\left( b \right) }$라 할 때, $f'\left( a \right) $가 존재하면 $f'\left( a \right) = f'\left( b \right) $입니다.
증감성과 극점
$C$와 $C'$의 증감성은 서로 동일합니다. 극대점은 극대점으로, 극소점은 극소점으로 평행이동됩니다.
$C$와 $C'$이 겹치는 경계에 놓인 분홍색 점도 극점이 될 가능성이 있습니다.
$C$와 $C'$은 각각 연속이더라도, $C$와 $C'$가 겹치는 경계에 놓인 점에서 불연속인 경우, 준주기함수의 `불연속인 극점'이 될 가능성이 있습니다. (a)에서는 극점이 아니고, (b), (c)에서는 극점입니다.
정적분
각 그림에서 색칠된 두 부분의 넓이는 서로 같고, 회색 직사각형의 넓이는 $pq$입니다. 따라서 다음이 성립합니다.
\[\begin{align*} pq + \int_{a}^{a+p} f\left( x \right)dx = \int_{a+p}^{a+2p} f\left( x \right)dx \end{align*}\]
(미적분 선택자 전용) 볼록성과 변곡점
$C$와 $C'$의 볼록성은 서로 동일합니다. 변곡점은 변곡점으로 평행이동됩니다. 한편 $C$와 $C'$이 겹치는 경계에 놓인 분홍색 점이 변곡점이 될 가능성이 있습니다.
