Graph) 함수의 성질과 시각화 > 그래프에 대해 못다 한 이야기

다항함수 분석 (1) : $n$차방정식의 근으로 해석하기

근의 중복

$n$차방정식이 $x=a$에서 근이 몇 번 중복되느냐를 다항함수의 그래프와 연관지어 이야기해봅시다. 논의에 앞서 $2$ 이상의 자연수 $m$에 대하여 $m$번 중복된 실근을 $m$중근이라 부르기로 하고, $x=a$에서 $m$중근을 갖지 않을 때 `한 근'이라 부르기로 합시다.1허근은 좌표평면에서 나타나지 않으므로 허근을 `한 근'으로 부르지는 않을 것입니다. 좌표평면에서 허근은 오직 실근의 개수를 결정할 때에만 의미가 있습니다.
다항함수 $f\left( x \right) $가 $x=a$에서 한 근을 가지면 $x=a$를 기준으로 $f\left( x \right) $의 부호가 바뀝니다. $f\left( x \right) $의 부호가 $\left( - \right) $에서 $\left( + \right) $로 바뀌면 $f'\left( a \right) >0$이고, $\left( + \right) $에서 $\left( - \right) $로 바뀌면 $f'\left( a \right) < 0$입니다.
$n$이 짝수일 때, 다항함수 $f\left( x \right) $가 $x=a$에서 $n$중근을 가지면 $x=a$를 기준으로 $f\left( x \right) $의 부호가 바뀌지 않고, $f'\left( a \right) = 0 $입니다. 한편 $\xy{a}{f\left( a \right) }$는 극점입니다.
$n$이 홀수일 때, 다항함수 $f\left( x \right) $가 $x=a$에서 $n$중근을 가지면 $x=a$를 기준으로 $f\left( x \right) $의 부호가 바뀌고, $f'\left( a \right) = 0 $입니다. 한편 $\xy{a}{f\left( a \right) }$는 변곡점입니다.

$n$차방정식의 성질

$n$차방정식의 근을 알면 $n$차함수의 그래프와 $x$절편을 알 수 있으므로, $n$차방정식의 성질을 알면 그래프를 그리는 데 도움이 될 수 있습니다. $n$차방정식은 다음과 같은 성질이 있습니다.
  1. $n$개의 근을 갖는다.
  2. 실근의 개수를 $a$,허근의 개수를 $b$라 하면 $a+b=n$이다.
  3. 허근의 개수는 항상 짝수이고, $c+di$가 근이면 $c-di$도 근이다.
  4. $n$이 홀수이면 적어도 하나의 실근을 갖는다.

다항함수의 개략적인 그래프

$n$차방정식의 성질과 두 극한 $\lim_{x \to \infty} f\left( x \right) $, $\lim_{x \to -\infty} f\left( x \right) $를 조사하면 다항함수의 그래프를 개략적으로 그려볼 수 있습니다.2각 함수가 갖는 세세한 특징까지 파악할 수 있는 것은 아니고, 근에 따른 함숫값의 부호 변화 등으로 큰 틀을 예상하는 것에 그칩니다. 상세한 특징은 Calculus에서 미분과 적분을 이용하여 확인할 수 있습니다. 여러 가지 다항함수의 그래프를 `근의 양상'과 `$f\left( x \right) $의 부호'에 따라 그려봅시다. 단, 최고차항의 계수가 양수일 때만을 다룹니다.

들어가기 전에 : 미적분을 선택하지 않는 학생들에게

중간중간에 `변곡점', `변곡한다'는 용어가 등장할 것입니다. 앞서 말했듯이 이 내용은 원래 미적분 범위인 미적분에서 다루는 내용이므로 미적분 미선택 범위인 수학 II에서는 이에 대해 출제할 수 없습니다.3다만 삼차함수는 대칭의 중심이 변곡점이므로, 삼차함수와 사차함수를 자주 다루게 될 여러분께 매우 중요하게 느껴질 것입니다. 따라서 가볍게 받아들이고 읽어나가면 됩니다.

일차함수

일차함수 $y=ax+b$의 그래프는 오직 한 가지 경우가 있습니다.

항상 하나의 실근을 가지며, 그 값은 $x$절편인 $-\dfrac{b}{a}$입니다.

이차함수

근의 양상을 분석하기 이전에 고려해야 할 중요한 사항이 있습니다. 바로 이차함수 $y=ax^2 + bx + c $가 `대칭축이 $x=-\dfrac{b}{2a}$인 선대칭함수'라는 점입니다.4왜 선대칭함수인지에 대해서는 Calculus에서 배웁니다. 따라서 대칭축과 근의 관계를 확인해야 합니다. 대칭축이 $x=k$인 이차함수의 그래프는 세 가지 경우가 있습니다.

(a)와 같이 서로 다른 두 실근을 갖는 경우, 부호가 두 근에서 각각 한 번씩 바뀌므로 총 두 번 부호가 바뀝니다. 이때 $k$는 두 실근의 평균(산술평균)과 같습니다.5앞으로 특별한 언급이 없는 한 평균은 산술평균을 지칭하는 것으로 약속합시다.

(b)와 같이 서로 같은 두 실근(중근)을 갖는 경우, 근에서 부호가 바뀌지 않습니다. 이때 $k$는 근과 같습니다.

(c)와 같이 서로 다른 두 허근을 갖는 경우, 실근이 존재하지 않으므로 함숫값이 $0$인 점이 존재하지 않습니다. 따라서 모든 실수 $x$에 대하여 부호가 같습니다. 실근이 없으므로 $k$와 실근의 관계를 다룰 수 없습니다.

삼차함수

근의 양상을 분석하기 이전에 고려해야 할 중요한 사항이 있습니다. 바로 삼차함수가 `중심이 변곡점인 점대칭함수'라는 점입니다.6왜 점대칭함수인지에 대해서는 Calculus에서 배웁니다. 따라서 중심과 근의 관계를 확인해야 합니다. 삼차함수 $y=ax^3 + bx^2 + cx + d$의 그래프는 네 가지 경우가 있습니다.
서로 다른 세 실근을 갖는 경우, 부호가 세 근에서 각각 한 번씩 바뀌므로 총 세 번 부호가 바뀝니다. 이때 세 근이 등차수열을 이루면 가운데 근이 중심이고, 등차수열을 이루지 않으면 근 사이의 간격이 먼 쪽에 중심이 있습니다.
$2$중근과 한 근을 갖는 경우, 중근에서는 부호가 바뀌지 않고, 한 근에서는 부호가 바뀝니다. 중근과 한 근의 대소관계에 따라 그래프는 두 가지 경우가 있으며, 중심은 중근과 한 근 사이에 있습니다.
$3$중근을 갖는 경우, 함숫값의 부호가 한 번만 바뀝니다. 이때 $3$중근에서 변곡합니다.
한 실근과 두 허근을 갖는 경우, 함숫값의 부호가 한 번만 바뀝니다. 그러나 이러한 근의 양상만으로는 그래프의 개략적인 형태와 변곡점의 위치는 알 수 없습니다.

사차함수

사차함수 $y=ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$의 그래프를 근의 양상으로 분석해봅시다.

서로 다른 네 실근을 갖는 경우, 부호가 네 근에서 각각 한 번씩 바뀌므로 총 네 번 부호가 바뀝니다. 이때 네 근이 어떤 대칭축에 대하여 둘씩 짝지어 대칭일 경우, 사차함수의 그래프도 그 대칭축에 대하여 대칭입니다.
$2$중근과 서로 다른 두 실근을 갖는 경우, 중근에서는 부호가 바뀌지 않고, 각각의 한 근에서는 부호가 바뀝니다. $2$중근을 $\alpha$라 할 때, $\alpha$와 나머지 두 `한 근'의 대소관계에 따라 그래프는 세 가지 경우가 있습니다.
  1. $\alpha$가 최소인 실근
  2. $\alpha$가 두 개의 `한 근' 사이에 놓임 : 이때 두 실근의 평균이 $2$중근 $\alpha$인 경우, 사차함수의 그래프는 $x=\alpha$에 대하여 대칭입니다.
  3. $\alpha$가 최대인 실근

두 개의 $2$중근 $\alpha$, $\beta$를 갖는 경우, 각 중근에서 부호가 바뀌지 않습니다. 이때 사차함수의 그래프는 $x=\dfrac{\alpha+\beta}{2}$에 대하여 대칭입니다.
$3$중근과 한 근을 갖는 경우, $3$중근에서는 부호가 바뀌고, 미분계수가 $0$이며, 변곡합니다. 한 근에서는 부호가 바뀝니다. $3$중근과 한 근의 대소관계에 따라 그래프는 두 가지 경우가 있습니다.
$4$중근을 갖는 경우, 함숫값의 부호가 바뀌지 않습니다.

허근을 갖는 경우, 근의 양상만으로는 부호의 변화만을 알 수 있을 뿐, 그래프의 개략적인 형태를 알 수 없습니다. (a)와 같이 두 근과 두 허근을 갖는 경우, 각각의 한 실근에서는 부호가 바뀝니다. (b)와 같이 $2$중근과 두 허근을 갖는 경우, 부호가 바뀌지 않습니다. (c)와 같이 네 허근을 갖는 경우, 부호가 항상 (+)입니다.

  1. 1. 허근은 좌표평면에서 나타나지 않으므로 허근을 `한 근'으로 부르지는 않을 것입니다. 좌표평면에서 허근은 오직 실근의 개수를 결정할 때에만 의미가 있습니다.
  2. 2. 각 함수가 갖는 세세한 특징까지 파악할 수 있는 것은 아니고, 근에 따른 함숫값의 부호 변화 등으로 큰 틀을 예상하는 것에 그칩니다. 상세한 특징은 Calculus에서 미분과 적분을 이용하여 확인할 수 있습니다.
  3. 3. 다만 삼차함수는 대칭의 중심이 변곡점이므로, 삼차함수와 사차함수를 자주 다루게 될 여러분께 매우 중요하게 느껴질 것입니다.
  4. 4. 왜 선대칭함수인지에 대해서는 Calculus에서 배웁니다.
  5. 5. 앞으로 특별한 언급이 없는 한 평균은 산술평균을 지칭하는 것으로 약속합시다.
  6. 6. 왜 점대칭함수인지에 대해서는 Calculus에서 배웁니다.