조각함수, 절댓값함수, `취하다'

조각함수

조각함수의 정의

정의역의 구간을 조각내어 각 구간에서 함수식이 다르도록 정의되는 함수를 조각함수, 함수식이 바뀌는 $x$의 값들을 전환점이라고 부르기로 합시다.

조각함수의 종류

기본적인 조각함수의 형태 : 구간을 준다

조각함수의 기본적인 형태는, 정의 그대로 함수식을 $x$의 구간에 따라 조각내어 제시하는 것입니다. 예를 들어, 다음의 함수를 생각해봅시다. \[\begin{align*}f(x) = \begin{cases} x^2 & (x \le 1) \\ 4-x & (1 < x \le 3) \\ (x-3)^2-1 & (x > 3) \end{cases}\end{align*}\] 이 함수는 세 구간 $\oci{-\infty}{1}$, $\oci{1}{3}$, $\ooi{3}{\infty}$에서 각각 함수식이 다르도록 정의되므로 조각함수입니다. $x=1$, $x=3$에서 함수식이 바뀌므로 $x=1$, $x=3$은 전환점입니다.

다른 조각함수의 형태 : 조건에 따라

함수식을 $x$의 구간에 따라 제시하지 않고, 특이한 조건에 따라 함수식을 제시하는 조각함수도 있습니다. 예를 들어, `어떤 항목의 부호에 따라 함수식이 결정되는 경우', `어떤 항목의 대소관계에 따라 함수식이 결정되는 경우'가 있습니다. 각각의 예시는 다음과 같습니다. \[\begin{align*} f\left( x \right) = \begin{cases} x & \left( x^2 - 2x \ge 0 \right) \\ -x & \left( x^2 - 2x < 0 \right) \end{cases} ,\quad\quad f\left( x \right) = \begin{cases} x & \left( x^2 \ge x \right) \\ x^2 & \left( x^2 < x \right) \end{cases} \end{align*}\]

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이러한 경우 다시 $x$의 구간에 따라 조각을 세분화하는 것이 기본적이지만, 문제를 푸는 과정에서 굳이 조각을 나누지 않고 주어진 조건 그대로 생각하는 것이 유리한 경우도 있습니다.

조각함수의 의의

조각함수는 문제를 출제하기 매우 좋은 재료입니다. 출제자가 함수식을 다양하게 설정할 수 있기 때문에 여러 함수를 한꺼번에 물어볼 수 있고, 각 구간에서의 함수식을 적절히 설정하여 전환점에서의 연속성이나 미분가능성을 물어볼 수도 있습니다. 또한 대칭성, 주기성과 연계한 출제도 가능합니다.

절댓값

절댓값의 정의와 해석

실수 $x$에서 부호를 떼어낸 값을 절댓값이라고 하고, $\abs{x}$라 표기합니다. $x>0$이면 $\abs x = x$, $x=0$이면 $\abs x = 0$, $x<0$이면 $\abs x = -x$입니다. 따라서 절댓값이 주어졌을 때, 정의에 따라 절댓값 안의 값의 부호에 따라 경우를 나누어 접근하는 것이 기본입니다.

절댓값을 해석하는 또다른 방법은 `수직선 위에서 원점과 $x$ 사이의 거리'로 보는 것입니다. $\abs{x} = \abs{x - 0} = \abs{0 - x}$이므로 `$x$와 $0$의 차'라는 의미를 갖는 것으로 생각할 수 있습니다. 여기에서 파생된 발상으로, `거리'를 묻는 문제가 있다면 항상 절댓값이 등장할 수 있음을 유념해야 합니다.

절댓값함수

실수 $x$에 대하여 함수 $\abs{x}$를 절댓값함수라 부르기로 합시다. 절댓값함수는 다음과 같이 구간에 따라 함수식이 바뀌는 조각함수입니다. \[\begin{align*} \abs{x} = \begin{cases} x & (x \ge 0 )\\ -x & (x < 0) \end{cases}\end{align*}\] 따라서 함수식에 절댓값이 보이면, 절댓값의 부호를 기준으로 분류하여 조각함수로 해석하는 것이 기본입니다.

`취하다'라는 용어의 정의와 확장

교육과정에서 `취하다'라는 말을 정의하지는 않았습니다. 하지만 여러분은 `등식 $a=b$에 대하여 $\log$을 취하면 $\log a= \log b$이다'와 같은 표현을 많이 접했을 것입니다. 이를 좀 더 형식을 갖추어 표현하면 다음과 같습니다. 이러한 방식으로 등식에서 `양변에 무엇을 취한다'는 것의 의미를 정하기로 합시다. 즉 등식 $a=b$에 대하여 다음과 같이 생각할 수 있습니다. \[\begin{alignat*}{2} \text{양변에 절댓값을 취하면} &\qquad\:\:|a| &&=|b| \\ \text{양변에 근호를 취하면} &\qquad\sqrt{a} &&= \sqrt{b} \\ \text{양변에 로그를 취하면} &\quad\log a &&= \log b \end{alignat*}\] 이제 `취하다'의 의미를 확장하여 함수의 합성에도 적용해봅시다. $y=f\left( x \right) $에 절댓값, 근호, 로그를 취하면 각각 다음과 같습니다. \[\begin{alignat*}{2} \text{양변에 절댓값을 취하면} &\qquad\:\:|y| &&=|f\left( x \right) |\\ \text{양변에 근호를 취하면} &\qquad\sqrt{y} &&= \sqrt{f\left( x \right)} \\ \text{양변에 로그를 취하면} &\quad\log y &&= \log\left\{ f\left( x \right) \right\} \end{alignat*}\] 절댓값, 근호, 로그를 각각 절댓값함수 $|\:|$, 무리함수 $\sqrt{\:}$, 로그함수 $\log$라 생각하면, 다음과 같이 생각할 수 있습니다. \[\begin{alignat*}{3} |f\left( x \right) | &\Leftrightarrow \text{$f$에 절댓값을 취한 함수} &&\Leftrightarrow \left( |\:| \right) \circ f \\ \sqrt{f\left( x \right) } &\Leftrightarrow \text{$f$에 근호를 취한 함수} &&\Leftrightarrow \left( \sqrt{\:} \right) \circ f\\ \log f\left( x \right) &\Leftrightarrow \text{$f$에 로그를 취한 함수} &&\Leftrightarrow \left( \log \:\right) \circ f \end{alignat*}\] 따라서 같은 문장 구조를 함수 $g\left( f\left( x \right) \right) $를 설명할 때 쓴다면, $y=f\left( x \right) $의 양변에 $g$를 취하면 $g\left( y \right) =g\left( f\left( x \right) \right) $이므로 $g\left( f\left( x \right) \right) $를 `$f$에 $g$를 취한 함수'라 부르는 것은 매우 자연스럽습니다. 거꾸로, $f\left( g\left( x \right) \right) $는 `$g$에 $f$를 취한 함수'라 부르면 될 것입니다.

속함수와 겉함수

$f\left( g\left( x \right) \right) $에서 안쪽에(속에) 위치한 $g$를 속함수라 부르기로 하고, 바깥쪽에(겉에) 위치한 $f$를 겉함수라 부르기로 합시다. 지금까지 정의한 용어로 합성함수를 설명하면 `속함수에 겉함수를 취한 함수'라 할 수 있겠습니다.

함수의 합성과 역함수

역함수와 연관지어 원함수 $f : X \to Y$와 역함수 $f^{-1} : Y \to X$를 생각해봅시다. $f$에 $f^{-1}$를 취하면 항등함수 $I_{X\to X}$이고, $f^{-1}$에 $f$를 취해도 항등함수 $I_{Y\to Y}$입니다.¹둘 모두 항등함수이기는 하지만, 정의역과 치역이 달라집니다. 합성되는 순서에 따라

1. 속함수의 정의역
2. 속함수의 치역의 부분집합인 겉함수의 정의역 (단, 현재 $f$와 $f^{-1}$는 역함수 관계이므로 두 집합이 일치함)
3. 겉함수의 치역

을 화살표 순서대로 따라가며 분석해보면, 전자는 $X \to Y \to X$, 후자는 $Y \to X \to Y$가 됩니다. 그래서 전자는 항등함수 $I_{X\to X}$, 후자는 항등함수 $I_{Y\to Y}$인 것입니다. 즉 함수 연산에서 역함수와 원함수가 서로 합성되어 있으면 연산이 취소됩니다. 마치 $\times 3$을 했다가 $\div 3$을 하면 $\times 1$이 되어 곱하기 연산이 취소되는 것과 같은 원리입니다.

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한편 `원함수와 역함수를 서로 합성하면 둘 중 어느 것이 겉함수이고 속함수인지에 관계없이 항등함수가 된다'는 사실 또한 굉장히 중요합니다. 왜냐하면 함수의 합성에서는 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는데, 원함수와 역함수는 합성 순서를 바꾸더라도 연산 결과가 같은 아주 특별한 관계이기 때문입니다.²물론 항등함수라는 점에서만 같고, 디테일에서는 $I_{X\to X}$, $I_{Y\to Y}$로 약간의 차이가 있음을 이미 설명했습니다.

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함수의 그래프와 절댓값 관련 합성함수의 그래프

절댓값과 $f$의 합성을 이용하여 얻은 함수의 그래프가 원래 함수의 그래프와 어떤 관계가 있는지 알아봅시다.

절댓값을 취해도 함수의 그래프인 경우 : $y=f\left( \abs{x} \right) $, $y=\abs{f\left( x \right) }$

어떤 함수 $f$에 대하여, 절댓값함수에 $f$를 취한 $f\left( \abs{x} \right) $를 생각할 수 있고, $f$에 절댓값을 취한 $\abs{f\left( x \right) }$를 생각할 수 있습니다. 이러한 경우 $x$ 하나에 $y$ 하나가 대응되는 함수의 제약조건에서 벗어나지 않으므로 함수의 그래프가 됩니다.

$y={f\left( \abs{x} \right) }$의 그래프

$y={f\left( \abs{x} \right) }$를 $x$의 부호에 따라 조각함수로 해석하면 다음과 같습니다. \[\begin{align*} f\left( \abs{x} \right) = \begin{cases} f\left( x \right) & \left( x \ge 0 \right) \\ f\left( -x \right) & \left( x < 0 \right) \end{cases} \end{align*}\] 따라서 $x \ge 0$일 때에는 $y=f\left( x \right) $의 그래프와 일치하고, $x<0$일 때에는 $x> 0$일 때의 그래프를 $y$축에 대하여 대칭이동한 그래프와 일치합니다. 그러므로 전체의 그래프는 그림과 같이 $x>0$인 부분을 이용하여 대칭축이 $y$축인 그래프를 그리면 됩니다.

$y=\abs{f\left( x \right) }$의 그래프

$y=\abs{f\left( x \right) }$를 $f\left( x \right) $의 부호에 따라 조각함수로 해석하면 다음과 같습니다. \[\begin{align*} \abs{f\left( x \right) } = \begin{cases} f\left( x \right) & \left( f\left( x \right) \ge 0 \right) \\ -f\left( x \right) & \left( f\left( x \right) < 0 \right) \end{cases} \end{align*}\] 따라서 $f\left( x \right) \ge 0 $일 때에는 $y=f\left( x \right) $의 그래프와 일치하고, $f\left( x \right) <0$일 때에는 $y=f\left( x \right) $의 그래프를 $x$축에 대하여 대칭이동한 그래프와 일치합니다. 그러므로 전체의 그래프는 그림과 같이 $x$축 아랫부분에 있는 그래프들을 $x$축을 기준으로 접어올리는 형태의 그래프를 얻게 됩니다.

절댓값을 취한 결과가 함수의 그래프가 아닌 경우 : $\abs y$를 포함한 경우

일반적으로 $y$에 절댓값을 취한 $\abs{y}$가 포함된 방정식은 함수의 그래프가 될 수 없습니다.³$\abs y= 0$인 경우는 예외입니다. 그 이유를 알아봅시다. 어떤 점 $\xy ab$를 지나는 어떤 함수 $y=f\left( x \right) $에 대하여, $y$에 절댓값을 취한 방정식 $\abs{y}=f\left( x \right) $를 생각해봅시다.⁴그림에서 검정색 점이 $\xy{a}{b}$이고, 분홍색 점이 $\abs{y}=f\left( x \right) $를 만족시키는 점입니다. 검정색 점 안에 분홍색 점이 있는 것은 그 점은 검정색 점이면서 동시에 분홍색 점이라는 뜻입니다. $\abs y = b$인 실수 $y$는 $b$가 양수일 때에는 $b$와 $-b$로 두 개이고, $b$가 $0$일 때는 $0$으로 한 개이고, 음수일 때에는 존재하지 않습니다. 그러므로 $\xy ab$가 이 방정식이 나타내는 도형 위의 점이면 $\xy{a}{-b}$도 그 도형 위에 있습니다. 따라서 $\abs{y}=f\left( x \right) $가 나타내는 도형은 원래 함수의 그래프에서 함숫값이 음이 아닌 부분만을 남겨놓은 후, 대칭축이 $x$축이 되도록 하여 얻을 수 있습니다. 그런데 이 방정식이 나타내는 도형은 $x=a$ 하나에 대응되는 $y$가 $y=b$, $y=-b$로 두 개인 경우가 존재합니다. 따라서 이 도형은 함수의 그래프가 될 수 없습니다. 이는 $\abs{y}$를 포함하는 $\abs{y}=f\left( \abs{x} \right) $와 $\abs{y}=\abs{f\left( x \right)} $에서도 마찬가지입니다.

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$\abs{y}=f\left( \abs{x} \right) $와 $\abs{y}=\abs{f\left( x \right)} $는 먼저 $y$에 절댓값이 없는 상황을 상정하여 그래프를 그린 후, $y$에 절댓값을 취하여 그리면 됩니다.

절댓값이 겹겹이 취해진 경우

$y=\abs{f\left( \abs{x} \right) }$처럼 절댓값을 여러 겹으로 취한 경우가 출제될 수 있습니다. 이러한 경우 제일 안쪽의 절댓값부터 차례대로 해석해나가면 됩니다.⁵이는 절댓값이 겹겹이 취해진 것이 곧 함수가 합성된 것이고, 함수의 합성 연산은 속함수에서 겉함수를 취하는 순서대로 처리되기 때문입니다. 이러한 여러 겹 절댓값은 $y=\abs{f\left( \abs{x-p} \right) +q}$와 같이 평행이동과 섞어 출제될 수 있습니다.

예를 들어, 함수 $f(x)=||(x-1)(x-3)| - 2|$의 그래프는 다음 순서대로 그립니다.

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1. 1. 둘 모두 항등함수이기는 하지만, 정의역과 치역이 달라집니다. 합성되는 순서에 따라
   1. 속함수의 정의역
   2. 속함수의 치역의 부분집합인 겉함수의 정의역 (단, 현재 $f$와 $f^{-1}$는 역함수 관계이므로 두 집합이 일치함)
   3. 겉함수의 치역
   을 화살표 순서대로 따라가며 분석해보면, 전자는 $X \to Y \to X$, 후자는 $Y \to X \to Y$가 됩니다. 그래서 전자는 항등함수 $I_{X\to X}$, 후자는 항등함수 $I_{Y\to Y}$인 것입니다.
2. 2. 물론 항등함수라는 점에서만 같고, 디테일에서는 $I_{X\to X}$, $I_{Y\to Y}$로 약간의 차이가 있음을 이미 설명했습니다.
3. 3. $\abs y= 0$인 경우는 예외입니다.
4. 4. 그림에서 검정색 점이 $\xy{a}{b}$이고, 분홍색 점이 $\abs{y}=f\left( x \right) $를 만족시키는 점입니다. 검정색 점 안에 분홍색 점이 있는 것은 그 점은 검정색 점이면서 동시에 분홍색 점이라는 뜻입니다.
5. 5. 이는 절댓값이 겹겹이 취해진 것이 곧 함수가 합성된 것이고, 함수의 합성 연산은 속함수에서 겉함수를 취하는 순서대로 처리되기 때문입니다.