Graph) 함수의 성질과 시각화 > 그래프에 대해 못다 한 이야기

그래프의 변형(신축)

$f\left( x \right) $에 $kx$를 취하거나, $kx$에 $f\left( x \right)$를 취하면 함수 $y=f\left( x \right) $ 그래프의 모양이 쪼그라들거나 늘어나면서 변형됩니다. 이는 마치 고무줄과 같이 신축성이 있는 물체를 한 방향으로¹세로는 가만히 둔 채 가로로만 쪼그리거나, 가로는 가만히 둔 채 세로로만 쪼그리거나 늘리는 상황을 말합니다. 쪼그리거나 늘였을 때 나타나는 모습과 유사합니다. 이를 그래프의 신축이라고 부르기로 합시다.²신축성에서의 신축(伸縮)입니다. 네이버 국어사전에서는 표제어 신축¹으로 `늘고 줆. 또는 늘이고 줄임.'을 제시하고 있습니다. 따라서 이때 우리가 그래프를 쪼그리거나 늘이는 행위는 `그래프를 신축하다', 늘여지거나 쪼그려진 그래프는 `신축된 그래프'라 부를 수 있습니다. `신축'이라는 표현을 최초로 제안한 kzunny님의 글은 아래의 QR코드를 통해 확인하실 수 있습니다.

\includegraphics[scale=0.05]pic/kzunny.png

상하로(위쪽과 아래쪽으로) 신축

상수 $k$에 대하여 $f\left( x \right) $에 $kx$를 취한 함수 $y=kf\left( x \right) $의 그래프를 생각해봅시다. 이는 신축 전과 비교하였을 때, 같은 $x$를 대입했을 때 얻을 수 있는 $y$의 값이 $f\left( x \right) $에서 $\times k$한 $kf\left( x \right) $가 된 것입니다.³ 따라서 $y$값이 $0$인 경우를 제외하고는 $x$축으로부터 멀어지거나 가까워지게 되므로, 그래프가 상하로 신축됩니다.

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

상하로 신축하더라도 $x$절편은 그대로 유지됩니다. $0<k<1$일 때에는 그래프가 $x$축을 향하여 위아래로 쪼그라들고, $k>1$일 때에는 그래프가 $x$축에서 멀어지며 위아래로 늘어납니다.

$\text{[math]}$

$k$가 음수인 경우, $y=-kf\left(x \right) $의 그래프를 먼저 생각한 후, $x$축에 대하여 대칭이동한 것이라 볼 수 있습니다.

상하로 신축하면 쵯값과 극값이 바뀐다.

위 그림에서 알 수 있듯, 그래프가 상하로 신축하면 $0$이 아닌 쵯값과 극값이 바뀝니다. 따라서 그래프가 상하로 신축될 때 쵯값과 극값의 변화에 따른 상황이 출제될 수 있습니다.

좌우로(왼쪽과 오른쪽으로) 신축

상수 $k$에 대하여 $kx$에 $f\left( x \right) $를 취한 함수 $y=f\left( kx \right) $의 그래프를 생각해봅시다. 이는 신축 전과 비교하였을 때, 같은 $y$값을 얻기 위한 $x$의 값이 $\div k$된 것입니다.⁴ 따라서 $x$값이 $0$인 경우를 제외하고는 $y$축으로부터 멀어지거나 가까워지게 되므로, 그래프가 좌우로 신축됩니다.

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

좌우로 신축하더라도 $y$절편은 변하지 않고 그대로 유지됩니다. $k>1$일 때에는 그래프가 $y$축을 향하여 좌우로 쪼그라들고, $0<k<1$일 때에는 그래프가 $y$축에서 멀어지며 좌우로 늘어납니다.

$\text{[math]}$

$k$가 음수인 경우, $y=f\left( -kx \right) $의 그래프를 먼저 생각한 후, $y$축에 대하여 대칭이동한 것이라 볼 수 있습니다.

좌우로 신축하면 주기함수와 준주기함수의 주기가 바뀐다.

$k>1$이면 좌우로 쪼그라들기 때문에 주기함수의 주기가 작아지고, $0<k<1$이면 좌우로 늘어나기 때문에 주기함수의 주기가 커지게 됩니다. 원래의 주기가 $p$라면 $y=f\left( kx \right) $의 주기는 $\dfrac{p}{\abs{k}}$가 됩니다. 이는 준주기함수도 마찬가지입니다. 원래의 주기가 $\xy pq$라면 $y=f\left( kx \right) $의 주기는 $\xy{\dfrac{p}{\abs{k}}}{q}$가 됩니다.

그래프의 신축과 미적분

신축된 그래프는 원래의 그래프 위의 점과 일대일대응됩니다. 원래의 그래프와 신축된 그래프의 관계를 미적분을 이용하여 더 알아봅시다.

상하로의 신축과 미적분

$\text{[math]}$

$h\left( x \right) =kf\left( x \right) $라 하고, $y=f\left( x \right) $ 위의 점 $\mrm{A}$, $\mrm{B}$가 각각 그래프 $y=h\left( x \right) $ 위의 점 $\mrm{P}$, $\mrm{Q}$와 대응되고, 각각의 $x$좌표가 $a$, $b$, $p$, $q$일 때, 상하로 신축되었으므로 $p=a$, $q=b$입니다. 또한 다음이 성립합니다. \[\begin{align*} kf'\left( a \right) &= h'\left( a \right) \\ k\int_{a}^{b}f\left( x \right) dx &= \int_{a}^{b}h\left( x \right) dx \end{align*}\]

(미적분 선택자 전용) 좌우로의 신축과 미적분

$\text{[math]}$

$g\left( x \right) =f\left( kx \right) $라 하고, $y=f\left( x \right) $ 위의 점 $\mrm{A}$, $\mrm{B}$가 각각 그래프 $y=g\left( x \right) $ 위의 점 $\mrm{P}$, $\mrm{Q}$와 대응되고, 각각의 $x$좌표가 $a$, $b$, $p$, $q$일 때, 다음이 성립합니다. \[\begin{align*} kf'\left( a \right) &= g'\left( p \right) \\ \int_{a}^{b}f\left( x \right) dx &= k\int_{p}^{q}g\left( x \right) dx \end{align*}\]

1. 세로는 가만히 둔 채 가로로만 쪼그리거나, 가로는 가만히 둔 채 세로로만 쪼그리거나 늘리는 상황을 말합니다.
2. 신축성에서의 신축(伸縮)입니다. 네이버 국어사전에서는 표제어 신축¹으로 `늘고 줆. 또는 늘이고 줄임.'을 제시하고 있습니다. 따라서 이때 우리가 그래프를 쪼그리거나 늘이는 행위는 `그래프를 신축하다', 늘여지거나 쪼그려진 그래프는 `신축된 그래프'라 부를 수 있습니다. `신축'이라는 표현을 최초로 제안한 kzunny님의 글은 아래의 QR코드를 통해 확인하실 수 있습니다.
\includegraphics[scale=0.05]pic/kzunny.png
3. $f\left( 3 \right)=2 $이고 $k=5$인 상황을 생각해봅시다. $f\left( x \right) $에서는 $x=3$을 대입하여 $2$를 얻지만, $5f\left( x \right) $에서는 $x=3$을 대입하여 $10$를 얻습니다. 동일하게 $x=3$을 대입하였을 때 얻는 함숫값이 $2$에서 $\times 5$된 $10$으로 바뀐 것입니다.
4. $f\left( 3 \right)=2 $이고 $k=5$인 상황을 생각해봅시다. $f\left( x \right) $에서는 $x=3$을 대입하여 $2$를 얻지만, $f\left( 5x \right) $에서는 $x=\frac{3}{5}$을 대입하여 $2$를 얻습니다. 같은 함숫값 $f\left( 3 \right)=2$를 얻기 위하여 필요한 $x$의 값이 $3$에서 $\div 5$된 $\frac{3}{5}$으로 바뀐 것입니다.