응용 : 모둠 만들기

모둠의 이름이 없을 때, 모둠을 만드는 일반적인 관점

간단한 문제를 풀어봅시다.

일반적인 관점에서 자주 범하는 실수, 그리고 그 원인

혹시 각각의 답을 $\NCR 63 \times \NCR 32 \times \NCR 11$, $\NCR 63 \times \NCR 33 $, $\NCR 62 \times \NCR 42 \times \NCR{2}{2}$라고 하셨나요? 이렇게 혼동하기 쉽겠지만, 첫 번째만 정답이고, 두 번째와 세 번째는 오답입니다. 그 이유는 곱해나가는 과정에서 `각 행위가 잇달아 일어난다'는 전제가 깔리므로, 경우의 수가 계산될 때 무엇을 먼저 선택했고 무엇을 나중에 선택했는가가 고려되기 때문입니다.

②의 상황을 생각해봅시다. $\mrm{A}$, $\mrm{B}$, $\mrm{C}$, $\mrm{D}$, $\mrm{E}$, $\mrm{F}$ 여섯 명의 학생들로 모둠을 짤 때, 처음에 $6$명 중에서 $3$명 $\mrm{A}$, $\mrm{B}$, $\mrm{C}$를 고르고 나면, 나중에 $\mrm{D}$, $\mrm{E}$, $\mrm{F}$의 $3$명 중에서 $3$명을 고르게 됩니다.¹이 경우의 수는 $\NCR 33=1$입니다. 이와 같이 모둠을 짤 때 맨 마지막의 조합은 항상 $1$입니다. 그런데 처음에 $\mrm{A}$, $\mrm{B}$, $\mrm{C}$를 고르지 않았더라도 셋이 같은 모둠이 될 수도 있습니다. 처음에 $\mrm{D}$, $\mrm{E}$, $\mrm{F}$를 골랐어도 $\mrm{A}$, $\mrm{B}$, $\mrm{C}$가 같은 모둠이 되기 때문입니다. 즉 $\NCR 63 \times \NCR 33 $으로 계산하면

두 모둠 중 처음에 선택되어 만들어진 모둠의 구성원이 누구이고,
나중에 선택되어 만들어진 모둠의 구성원이 누구인가

라는 정보가 반영됩니다. 따라서 모둠이 $\mrm{ABC}$, $\mrm{DEF}$로 형성되는 경우가 실제로는 $1$가지임에도 불구하고, $2!=2$배로 증폭되는 오류를 일으키게 됩니다.

마찬가지로 \hcn3의 상황을 생각해봅시다. 처음에 $6$명 중에서 두 명 $\mrm{A}$, $\mrm{B}$를 고르고 나면, 나중에 $\mrm{C}$, $\mrm{D}$, $\mrm{E}$, $\mrm{F}$의 $4$명 중에서 $2$명을 고르게 됩니다. 그런데 처음에 $\mrm{A}$, $\mrm{B}$를 고르지 않았더라도 나중에 둘이 같은 모둠이 될 수도 있습니다. 이를테면, 처음에 $\mrm{CD}$를 고르고 나중에 $\mrm{EF}$를 고르면 $\mrm{AB}$가 같은 모둠이 됨을 알 수 있습니다. 즉 $\NCR 62 \times \NCR 42 \times \NCR 22$로 계산하면

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세 모둠 중 어떤 모둠이
첫번째로 만들어진 모둠이고
두번째로 만들어진 모둠이고,
마지막까지 선택되지 못하고 남은 사람들로 만들어진 모둠인가

라는 정보가 반영됩니다. 따라서 모둠이 $\mrm{AB}$, $\mrm{CD}$, $\mrm{EF}$로 형성되는 경우가 실제로는 $1$가지임에도 불구하고, $3!=6$배로 증폭되는 오류를 일으킵니다.

따라서 모둠을 만들 때에는 인원수가 같은 모둠이 몇 개인지에 따라 적절히 값을 나누어주어야 아래와 같이 올바르게 계산할 수 있습니다.²이때 각각의 식에서 맨 마지막 조합인 $\NCR11$, $\NCR33$, $\NCR22$의 값은 모두 $1$이므로, 모둠을 짤 때 마지막 조합은 생략해도 됩니다.

모둠을 해석하는 새로운 `리더 관점' : 리더에게 멤버 선출 권한 부여

모둠을 만들 때, 한 명의 리더를 정하고, 남은 사람 중에서 모둠 멤버를 뽑을 수 있는 권한을 줄 수 있을 것입니다.³전체 인원수, 모둠의 개수, 모둠별 인원수가 그대로 유지되었으므로, 모둠을 정하는 방법의 수는 그대로 유지됩니다. 중간 계산 과정만 달라질 뿐입니다. 이러한 상황에서 모둠 만드는 상황을 재해석하면 문제풀이가 훨씬 간결해지고, 일반적인 관점과 달리 실수를 유발할 요소가 줄어들어 편리합니다.

예를 들어, 앞서 예제 $1$의 ②를 생각해봅시다. 리더가 `자기와 함께 조를 할 사람 $2$명'을 뽑으면 모든 상황이 종결되므로, 방법의 수는 $\NCR 52 = 10$입니다. 마찬가지로 예제 $1$의 \hcn3에서도 생각해봅시다. 리더가 `자기와 같은 조를 할 사람' $1$명을 뽑으면($\NCR 51$) $4$명이 남습니다. 그러면 나머지 $4$명 다시 리더를 생각하고 `자기와 같은 조를 할 사람'을 뽑으면($\NCR31$) 모든 상황이 종결되므로, 구하는 방법의 수는 $\NCR 51 \times \NCR 31 = 15$입니다.

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모둠의 이름이 있을 때 모둠을 만드는 방법

`일반적인 관점'에서는 마지막의 나누기를 생략해주면 됩니다. `리더 관점'에서는 리더가 어느 조에 들어갈지 선택하는 과정을 고려해주면 됩니다.

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1. 1. 이 경우의 수는 $\NCR 33=1$입니다. 이와 같이 모둠을 짤 때 맨 마지막의 조합은 항상 $1$입니다.
2. 2. 이때 각각의 식에서 맨 마지막 조합인 $\NCR11$, $\NCR33$, $\NCR22$의 값은 모두 $1$이므로, 모둠을 짤 때 마지막 조합은 생략해도 됩니다.
3. 3. 전체 인원수, 모둠의 개수, 모둠별 인원수가 그대로 유지되었으므로, 모둠을 정하는 방법의 수는 그대로 유지됩니다. 중간 계산 과정만 달라질 뿐입니다.