원리 : 집합으로 경우의 수를 해석하는 관점

집합을 이용하면 경우의 수를 보다 매끄럽게 논할 수 있습니다. 그러나 교과서에서는 경우의 수를 집합으로 설명하고 있지 않으므로, 이에 대한 용어도 정의되어 있지 않습니다. 따라서 교과 외 용어를 먼저 약속하도록 합시다.¹교과서에는 없지만, 일반적인 수학에서 널리 쓰이는 용어입니다.

집합으로 정의하는 여러 가지 용어들

전사건

반복할 수 있는 실험이나 관찰에 의하여 일어날 수 있는 모든 각각의 결과들을 원소로 가지는 집합을 전사건이라 부르기로 합시다.²전사건은 뒤의 확률 단원에서 배울 표본공간(Sample Space)과 동일한 개념입니다. 따라서 집합의 이름을 주로 $S$라 짓습니다.

예를 들어, 주사위를 한 번 던지는 상황을 생각해보겠습니다. 주사위를 던지면 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$이 나올 수 있으므로 $S = \{1,\:2,\:3,\:4,\:5,\:6\}$라 생각할 수 있습니다.

근원사건, 사건, 공사건

전사건 $S$의 부분집합을 경우의 수에서의 사건이라 하고, 특히 원소의 개수가 $1$인 사건을 경우의 수에서의 근원사건이라 부르기로 합시다. 사건 $A$의 원소의 개수를 $n\left( A \right) $라 할 때, $n\left( A \right) =0$인 경우, 사건 $A$를 공사건이라 부르기로 합시다.³본문에서는 $A$를 $S$의 부분집합으로 전제하였으므로 $n\left( A \right) =0$이면 $A$를 공사건이라 할 수 있었습니다. $A$가 $S$의 부분집합이 아닌 상황도 일반적으로 설명하기 위해서는 `$n\left( A \cap S \right) =0$인 집합 $A$'를 공사건이라 부르는 것이 자연스럽습니다.

앞서 주사위를 한 번 던지는 상황을 전사건으로 할 때, 각각의 예를 들면 다음과 같습니다.

1. $S$의 부분집합인 $B=\{ 1 \}$은 `주사위를 한 번 던질 때 $1$이 나오는 사건'을 의미하며, 동시에 근원사건입니다.

2. $S$의 부분집합인 $C=\{ 2,\:4,\:6 \}$은 `주사위를 한 번 던질 때 짝수가 나오는 사건'을 의미합니다.
3. $D = \{ 7\}$은 $S$의 부분집합이 아니므로 공사건입니다.

합사건, 곱사건, 여사건

두 사건 $A$와 $B$에 대하여 다음의 세 사건 $C$, $D$, $E$를 생각할 수 있습니다. \[\begin{align*} C = A \cup B,\quad D= A \cap B, \quad E=A^C \end{align*}\] 이때 $C$를 `$A$와 $B$의 합사건', $D$를 `$A$와 $B$의 곱사건', $E$를 `$A$의 여사건'이라 부르기로 합시다. 합사건은 `$A$ 또는 $B$가 일어나는 사건'을 의미하고, 곱사건은 `$A$와 $B$가 동시에 일어나는 사건'을 의미하고, 여사건은 `$A$가 일어나지 않는 사건'을 의미합니다.

배반사건

한편 $A \cap B = \emptyset$인 경우, 즉 곱사건이 공사건인 경우, 두 사건 $A$, $B$를 서로 배반사건이라고 합니다. 사건 $A$와 $A$의 여사건 $A^C$는 서로 배반사건입니다.

정리

결국 지금까지 정의한 내용은 모두 집합 관련 용어에서 `집합'을 `사건'으로 바꾸었을 뿐입니다. 따라서 우리는 앞으로 경우의 수를 다룰 때 집합의 연산 체계를 그대로 가져다 쓸 수 있습니다.

합의 법칙의 재해석

합의 법칙은 두 사건이 서로 배반사건인 경우를 논하는 것이다.

앞서 말했듯이 우리는 경우의 수를 다룰 때 집합의 연산 체계를 그대로 활용할 수 있습니다. 이를 이용하여 합의 법칙을 다시 설명해봅시다. 우리는 위의 벤 다이어그램을 통해 집합에서 다음의 식이 성립함을 고등학교 $1$학년 수학에서 배웠습니다. \[\begin{align*} n \left( A \cup B \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) - n\left( A \cap B \right) \end{align*}\] 이는 합사건과 곱사건에도 그대로 적용할 수 있습니다. 이를 확실히 숙지한 상태에서, 우리가 합의 법칙을 어떻게 정의했는지 다시 살펴봅시다. 여기서 두 사건 $A$, $B$가 동시에 일어나지 않는다는 것은 두 사건이 서로 배반사건임을 의미합니다. 따라서 합의 법칙은 두 사건이 배반사건인 아주 간단한 상황만을 논하고 있음을 알 수 있습니다. 그러나 집합을 이용하면 두 사건이 서로 배반사건이 아니더라도 곱사건의 원소의 수를 빼줌으로써 합의 법칙을 확장할 수 있습니다.⁴이를 포함과 배제의 원리라는 이름으로 부르기도 합니다.

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세 개 이상의 사건에도 확장된 합의 법칙을 적용할 수 있다.

세 개 이상의 사건에 대해서도 합의 법칙을 일반화할 수 있습니다. 단 보통 네 개 이상의 사건에 대해서 서로가 모두 배반사건이 아니라면 상황이 너무 복잡해집니다. 따라서 네 개 이상의 사건에 대해서는 서로가 모두 배반사건인 경우⁵즉 기본적인 합의 법칙으로 논할 수 있는 경우만 다룹니다. 세 개의 사건에 대해서만 합의 법칙을 확장하여 논해봅시다.

위의 벤 다이어그램을 통해 다음의 식이 성립함을 알 수 있습니다. \[\begin{align*} n \left( A \cup B \cup C \right) &= n\left( A \right) + n\left( B \right) + n\left( C \right)\\ &\quad - n\left( A \cap B \right)- n\left( B \cap C \right) - n\left( C \cap A \right)\\ &\quad + n\left( A \cap B \cap C \right) \end{align*}\] 이를 이용하여 앞서 풀었던 아래의 문제를 집합의 관점으로 다시 풀어봅시다. 이번에는 풀이 과정에서 같은 것이 있는 순열(같있순)을 사용하세요.

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마치며

위 문제를 풀며 같은 문제도 완전히 다른 관점으로 풀이할 수 있으며, 어떻게 풀더라도 답은 동일하다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 여러 관점으로 풀이하며 경험을 쌓아나가고, 그 중 자신에게 가장 잘 맞는 방법을 찾아보시기 바랍니다.

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1. 1. 교과서에는 없지만, 일반적인 수학에서 널리 쓰이는 용어입니다.
2. 2. 전사건은 뒤의 확률 단원에서 배울 표본공간(Sample Space)과 동일한 개념입니다. 따라서 집합의 이름을 주로 $S$라 짓습니다.
3. 3. 본문에서는 $A$를 $S$의 부분집합으로 전제하였으므로 $n\left( A \right) =0$이면 $A$를 공사건이라 할 수 있었습니다. $A$가 $S$의 부분집합이 아닌 상황도 일반적으로 설명하기 위해서는 `$n\left( A \cap S \right) =0$인 집합 $A$'를 공사건이라 부르는 것이 자연스럽습니다.
4. 4. 이를 포함과 배제의 원리라는 이름으로 부르기도 합니다.
5. 5. 즉 기본적인 합의 법칙으로 논할 수 있는 경우
6. 6. 아래의 식이 왜 성립하는지 바로 이해가 되지 않더라도, 조금만 더 고민해보세요!