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이해 : 확률의 세계관

확률은 실제 현실에서 일어날 가능성을 정확히 나타내야 하므로, 확률을 다루기 전 절대로 혼동하지 말아야 할 관점들이 있습니다. 이 관점들을 꼭 기억해야 합니다.

0. 가능성이 동일하다고 언급하는 용어들 : 주사위 / 동전 / 임의로

주사위는 항상 각각의 눈이 나올 가능성이 동일하며, 동전은 앞과 뒤가 나올 가능성이 동일합니다. 이외에도 문제에서 `무엇 중에서 임의로 선택한다(뽑는다)'라 말하면, `무엇에 해당되는 항목들'에 대하여 각각이 선택될 가능성이 동일하다는 전제가 확률의 기본 규칙입니다.¹

1. 확률의 세계에는 동시도 없으며, 동일한 것도 없다.

문제에서 `동일한 모양의 주사위 $2$개를 동시에 던진다', `주머니 안에 동일한 흰 공 $7$개와 동일한 검은 공 $5$개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 $1$개의 공을 뽑는다'라는 조건이 주어졌다면, 확률의 세계관에서는 전자와 후자를 각각 다음과 같이 해석해야 합니다.

서로 다른 두 주사위를 순서대로 던진다.
서로 구별되는 흰 공 $7$개와 서로 구별되는 검은 공 $5$개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 $1$개의 공을 뽑는다.

아무리 동일하다고 해도, 아무리 구별되지 않는다고 해도 항상 구별이 가능하다

아무리 동일하다고 말해도, 아무리 구별되지 않는다고 해도 구별해야 합니다. 그렇지 않으면 근원사건이 기대될 가능성이 달라지므로 확률을 오해할 수 있습니다. 극단적인 예를 들어봅시다.

서로 구별되지 않는 흰 공 $998$개와 검은 공 $2$개가 들어 있는 상자에서, 검은 공을 뽑을 확률은 $\dfrac{1}{2}$이다. 흰 공도 서로 구별되지 않고, 검은 공도 서로 구별되지 않으므로, 흰 공을 뽑거나, 검은 공을 뽑거나 둘 중 하나니까.
로또복권에 당첨될 확률은 $\dfrac{1}{2}$이다. 당첨되거나, 당첨되지 않거나 둘 중 하나니까.

여러분이 확률에서 실수하기 가장 쉬운 부분이 바로 이 부분이므로 주의하시기 바랍니다.

구별되지 않는 동일한 주사위 $2$개를 동시에 던져도, 구별되는 주사위 $2$개를 순서대로 던진 것으로 생각해야 한다.

유명한 사례가 있습니다. 동일하게 생긴 두 개의 주사위를 던졌을 때, 두 눈의 합을 생각해봅시다. 두 주사위가 동일해서 구별되지 않는다고 생각하고 두 눈의 합이 $6$, $7$, $8$인 경우를 세면 아래에서 검은색 순서쌍만 세게 되고, 두 주사위가 구별되고 순서대로 던진다고 생각하면 아래에서 검은색 순서쌍과 함께 주황색 순서쌍까지 세게 됩니다.

$2$인 경우 : $\xy 11$
$3$인 경우 : $\xy 12$, $\cxy 21$
$4$인 경우 : $\xy 13$, $\xy 22$, $\cxy 31$
$5$인 경우 : $\xy 14$, $\xy 23$, $\cxy 32$, $\cxy 41$
$6$인 경우 : $\xy 15$, $\xy 24$, $\xy 33$, $\cxy 42$, $\cxy 51$
$7$인 경우 : $\xy 16$, $\xy 25$, $\xy 34$, $\cxy 43$, $\cxy 52$, $\cxy 61$
$8$인 경우 : $\xy 26$, $\xy 35$, $\xy 44$, $\cxy 53$, $\cxy 62$
$9$인 경우 : $\xy 36$, $\xy 45$, $\xy 54$, $\cxy 63$
$10$인 경우 : $\xy 46$, $\xy 55$, $\cxy64$
$11$인 경우 : $\xy 56$, $\cxy 65$
$12$인 경우 : $\xy 66$

어떤 식으로 생각하는 것이 옳을지 지금까지 배운 내용을 통해 한 번 고민해보시기 바랍니다.

2. 경우의 수로 풀어도, 확률의 논리로 풀어도 결과는 항상 같다.

확률 문제는 $\dfrac{n\left( A \right) }{n\left( S \right) }$, 즉 $\dfrac{\text{해당 사건의 경우의 수}}{\text{전사건의 경우의 수}}$로 풀어도 되고, 확률에서 배운 논리를 이용하여 풀어도 동일한 값이 나옵니다. 이는 상황에 따라 편한 방법을 선택할 수 있다는 점을 시사함과 동시에, 문제를 검토할 때 다른 방법으로 풀어 구한 답이 정확한지 검증할 수 있다는 점에서도 중요합니다.

동일한 두 개의 주사위를 동시에 던져서 나온 눈의 수의 합이 $k$일 확률을 $p_k$라 하자. $p_6$, $p_7$, $p_8$을 구하시오.

[ 동일한 두 개의 주사위를 동시에 던져서 나온 눈의 수의 합이 $k$일 확률을 $p_k$라 하자. $p_6$, $p_7$, $p_8$을 구하시오.] 경우의 수로 구해봅시다. 전체 경우의 수는 $36$이고, $k=6$인 경우의 수는 $5$, $k=7$인 경우의 수는 $6$, $k=8$인 경우의 수는 $5$입니다. 따라서 $p_6=\dfrac{5}{36}$, $p_7=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$, $p_8=\dfrac{5}{36}$입니다.

확률로 구해봅시다. 주사위를 순서대로 두 번 던진다고 생각해야 합니다.

합이 $6$이려면 첫 번째 주사위에서 $6$이 나오지 않아야 하고, 두 번째 주사위에서는 합이 $6$이 되도록 하는 수가 나와야 합니다. 따라서 $\dfrac{5}{6}\times \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{36}$입니다.
합이 $7$이려면 첫 번째 주사위에서 어떤 수가 나와도 상관이 없고, 두 번째 주사위에서는 합이 $7$이 되도록 하는 수가 나와야 합니다. 따라서 $\dfrac{6}{6}\times \dfrac{1}{6} = 1 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{6}$입니다.
합이 $8$이려면 첫 번째 주사위에서 $1$이 나오지 않아야 하고, 두 번째 주사위에서는 합이 $8$이 되도록 하는 수가 나와야 합니다. 따라서 $\dfrac{5}{6}\times \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{36}$입니다.

3. 확률에서는 중복조합과 같있순(같은 것이 있는 순열)을 경계해야 한다.

중복조합과 같있순은 근본적으로 확률의 세계관에 어울리지 않는 개념입니다. 확률에서는 같은 것도 다르게 보아야 하는데, 중복조합은 중복된 것끼리 구별하지 않으며 헤아리는 개념이고, 같있순은 같은 것끼리 구별하지 않으며 헤아리는 개념이기 때문에, 확률의 세계관에서 사용하는 논리와 충돌합니다.

따라서 기본적으로 확률 문제를 풀 때에는 논리의 충돌 문제가 해결되지 않는 한, 중복조합과 같있순을 쓰면 안 됩니다. 왜 쓰면 안 되는지와 언제 쓸 수 있는 지에 대해서는 헤아림과 확률에 대한 깊은 이해가 필요한 내용이므로, 자세한 내용은 응용 파트에서 다루겠습니다.

4. 조건부확률은 표본공간을 축소하는 것이라 생각할 수 있다.

조건부확률의 정의를 이용하여 $\pI AS$를 계산해보면 다음과 같습니다. \[\begin{align*} \pI AS = \dfrac{\pn AS}{\pr S } = \dfrac{\pr A}{\pr S} = \dfrac{n\left( A \right) }{n\left( S \right) } = \pr A \end{align*}\] 즉 $\pr A = \pI AS$는 표본공간 $S$가 일어났다는 전제 조건 하에 $A$가 일어날 확률이라고 재해석할 수 있습니다. 그러면 이를 바탕으로 다시 $\pI BA$를 해석하면 다음과 같습니다.

$A$를 표본공간으로 보았을 때, $B$가 일어날 확률

1. 주사위가 실제로 완벽한 정육면체일수도 없고, 바닥면이 완벽히 평평한 면일수도 없으므로 각각이 나올 가능성이 미묘하게 다를 수 있지 않을까하고 생각할 수 있습니다. 어느 정도는 일리가 있는 말이지만, 그렇게 생각하면 확률에 대한 논의를 시작할 수가 없습니다. 동전이나 나머지 상황들도 비슷한 주장을 할 수 있지만, 이러한 경우도 마찬가지입니다. 따라서 그런 오차는 고려하지 않기로 합시다.