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집합

집합과 원소

집합과 원소의 정의와 포함 관계

어떤 기준에 의하여 그 대상을 분명히 알 수 있는 것들의 모임을 집합이라고 합니다. 이때 집합을 이루는 대상 하나하나를 그 집합의 원소라고 합니다. 일반적으로 집합은 대문자 $A$, $B$, $C$로 나타내고, 원소는 소문자 $a$, $b$, $c$로 나타냅니다.

$a$가 집합 $A$의 원소일 때, `$a$는 집합 $A$에 속한다'고 하며, 이것을 기호로 $a \in A$와 같이 나타냅니다. 이때 기호 $\in$은 `인' 또는 `속한다'라고 읽습니다. $b$가 집합 $A$의 원소가 아닐 때, `$b$는 집합 $A$에 속하지 않는다'고 하며, 이것을 기호로 $b \not\in A$와 같이 나타냅니다. 이때 기호 $\not\in$은 `낫 인' 또는 `속하지 않는다'라고 읽습니다.

집합의 서로 같음

두 집합 $A$, $B$에 대하여 $A$의 모든 원소가 $B$에 속하고, $B$의 모든 원소가 $A$에 속할 때, $A$, $B$는 서로 같다고 하며, $A=B$라 표기합니다. 두 집합 $A$, $B$가 서로 같지 않을 때는 $A \neq B$라 표기합니다.

공집합

원소를 하나도 갖지 않는 집합을 공집합이라고 하며, $\emptyset$라 표기합니다. 이때 기호 $\emptyset$은 `파이' 또는 `공집합'이라고 읽습니다.

원소의 개수

원소의 개수가 유한개인 집합 $A$에 대하여 $A$에 속하는 원소의 개수를 $n\left( A \right) $라 표기합니다. 공집합의 원소의 개수는 정의에 의하여 $0$이므로 $n\left( \emptyset \right)=0$입니다. 한편, 원소의 개수가 무수히 많은 집합에 대해서는 원소의 개수를 생각하지 않습니다.

집합의 표현

집합에 포함된 원소가 무엇인지 표현하는 방법은 세 가지가 있습니다. $n\left( A \right) = 4$이고 $1 \in A$, $2 \in A$, $4 \in A$, $8 \in A$인 집합 $A$를 세 가지 방법으로 나타내봅시다.

첫 번째 방법은 집합에 속하는 모든 원소를 나열하는 방법(원소나열법)입니다. 집합에 속하는 모든 원소를 중괄호 기호 { } 사이에 하나하나 나열하여 적되, 중복된 원소가 없도록 하고, 나열된 원소에 일정한 규칙이 있다면 중간을 $\cdots$로 생략할 수 있습니다. 이 방법에 따르면 $A=\left\{ 1,\:2,\:4,\:8 \right\} $입니다.

두 번째 방법은 집합에 속하는 모든 원소들이 갖는 공통적 성질을 조건1조건이라는 용어는 Zero 1.3)에서 배웁니다.으로 제시하는 방법(조건제시법)입니다. 이 방법에 따르면 $1$, $2$, $4$, $8$은 모두 $8$의 약수라는 공통적 성질을 갖고 있으므로 $A=\conset{x}{$x$는 $8$의 약수}$입니다.

세 번째 방법은 그림을 이용한 방법(벤 다이어그램)입니다. 그림과 같이 집합을 원으로 표시하고, 원소를 원 안에 나열하는 것입니다.

집합 사이의 포함 관계

부분집합과 진부분집합

두 집합 $A$, $B$에 대하여 $A$의 모든 원소가 $B$에 속할 때, $A$를 $B$의 부분집합이라고 하며, $A \subset B$라 표기합니다. 이때 기호 $\subset$은 `컨테인' 또는 `부분집합이다'라고 읽습니다. 한편 $A$의 원소 중에서 단 하나라도 $B$에 속하지 않는 원소가 있으면 $A$는 $B$의 부분집합이 아니며, 이를 $A \not\subset B$라 표기합니다. 이때 기호 $\not\subset$은 `낫 컨테인' 또는 `부분집합이 아니다'라고 읽습니다.

집합 $A$의 모든 원소는 자기 자신인 $A$에 속하므로, 모든 집합은 자기 자신의 부분집합입니다. 또한 공집합은 모든 집합의 부분집합입니다.

어떤 집합에 대하여, 자기 자신이 아닌 부분집합을 그 집합의 진부분집합이라고 합니다. 즉 두 집합 $A$, $B$에 대하여 $A \subset B$이고 $A \neq B$일 때, $A$는 $B$의 진부분집합입니다.

부분집합의 개수와 진부분집합의 개수

사실 이 내용은 확률과 통계의 `경우의 수'에서 다루지만, 어렵지 않은 내용이므로 가볍게 살펴봅시다.

$n\left( A \right) = k $인 집합의 원소를 각각 $a_1$, $a_2$, $\cdots$, $a_k$라 할 때, $A$의 부분집합 $B$에는 $a_1$이 속할 수도 있고, 속하지 않을 수도 있습니다. 이는 $a_2$, $a_3$, $\cdots$, $a_k$ 모두 마찬가지이고, 각각의 사건은 서로 동시에(잇달아) 일어납니다. 따라서 곱의 법칙에 의하여 $k$개의 $2$를 서로 곱하면 $2\times2\times\cdots\times2=2^k$이므로 서로 다른 $B$의 개수는 $2^k$입니다. 진부분집합의 개수는 이 값에서 `집합 자기 자신의 개수'인 $1$을 뺀 $2^k -1$입니다.

두 집합 사이의 포함 관계


두 집합 $A$, $B$ 사이의 포함 관계는 그림과 같이 다섯 가지가 있습니다. (a), (b)는 한 집합이 다른 집합의 진부분집합인 경우입니다. (c)는 각 집합이 일부 원소만을 공유하는 경우입니다. (d)는 각 집합이 공유하는 원소가 없는 경우입니다. (e)는 두 집합이 서로 같은 경우입니다.

집합의 연산

교집합, 합집합, 서로소

두 집합 $A$, $B$의 포함관계가 그림과 같을 때, 색칠된 부분은 $A$에도 속하고 $B$에도 속하는 원소들을 나타냅니다. 이러한 모든 원소로 이루어진 집합을 `$A$와 $B$의 교집합'이라 하며, $A \cap B$라 표기합니다. 이때 기호 $\cap$은 `캡' 또는 `교집합'이라고 읽습니다. 이를 조건제시법으로 나타내면 다음과 같습니다.2`속하고'라는 표현이 `그리고'로 바뀌는 것에 주목할 필요가 있습니다. \[\begin{align*}A\cap B = \conset{x}{$x\in A$ 그리고 $x\in B$} \end{align*}\]
두 집합 $A$, $B$의 포함관계가 그림과 같을 때, 색칠된 부분은 $A$에 속하거나 $B$에 속하는 원소들을 나타냅니다. 이러한 모든 원소로 이루어진 집합을 `$A$와 $B$의 합집합'이라 하며, $A \cup B$라 표기합니다. 이때 기호 $\cup$은 `컵' 또는 `합집합'이라고 읽습니다. 이를 조건제시법으로 나타내면 다음과 같습니다.3`속하거나'라는 표현이 `또는'으로 바뀌는 것에 주목할 필요가 있습니다. \[\begin{align*}A\cup B = \conset{x}{$x\in A$ 또는 $x\in B$} \end{align*}\]
두 집합 $A$, $B$의 포함관계가 그림과 같아서 각 집합이 공유하는 원소가 없을 때, 즉 $A \cap B = \emptyset$인 경우, 두 집합 `$A$와 $B$는 서로소'라고 합니다.

합집합의 원소의 개수

원소의 개수가 유한개인 두 집합 $A$, $B$에 대하여 다음이 성립합니다. \[\begin{align*}n\left( A\cup B \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) - n\left( A \cap B \right)\end{align*}\]

차집합

두 집합 $A$, $B$의 포함관계가 그림과 같을 때, 색칠된 부분은 $A$에는 속하고 $B$에는 속하지 않는 원소들을 나타냅니다. 이러한 모든 원소로 이루어진 집합을 `$A$에 대한 $B$의 차집합'이라 하며, $A - B$라 표기합니다. 이때 기호 $-$는 `차집합'이라고 읽습니다. 이를 조건제시법으로 나타내면 다음과 같습니다. \[\begin{align*}A-B= \conset{x}{$x\in A$ 그리고 $x\not\in B$} \end{align*}\]

전체집합과 여집합

주어진 어떤 집합에 대하여 그의 부분집합을 생각할 때, 처음에 주어진 집합을 전체집합이라고 하며, $U$라 표기합니다. 전체집합을 벤 다이어그램에 나타낼 때, 관습적으로 모서리가 둥근 네모꼴로 나타냅니다.
전체집합 $U$의 부분집합 $A$에 대하여 $U$의 원소 중에서 $A$에 속하지 않는 모든 원소로 이루어진 집합을 `$U$에 대한 $A$의 여집합'이라고 하며, $A^C$라 표기합니다. 이때 기호 $C$는 `컴플리먼트' 또는 `여집합'이라고 읽습니다. 이를 조건제시법으로 나타내면 다음과 같습니다.\[\begin{align*}A^C= \conset{x}{$x\in U$ 그리고 $x\not\in A$} \end{align*}\]

집합의 연산

전체집합, 여집합, 차집합의 연산

전체집합 $U$의 부분집합 $A$에 대하여, $A\cup A^C = U$, $\left( A^C \right)^C = A $가 성립합니다. 위 그림은 이 연산을 벤 다이어그램으로 나타낸 것입니다.
전체집합 $U$에 속하는 두 집합 $A$, $B$의 포함관계가 그림과 같은 경우, 여집합 기호와 집합의 연산을 이용하여 $A$에 대한 $B$의 차집합을 $A\cap B^C$와 같이 표현할 수 있습니다. 위 그림은 이 연산을 벤 다이어그램으로 나타낸 것입니다.
앞서 배운 연산을 이용하여 $U^C=\emptyset$, $\emptyset^C=U$, $A \cap A^C = \emptyset$이 성립함을 보일 수 있습니다. 위 그림은 각각의 상황을 나타낸 것입니다.

교환법칙

일반적으로 두 집합 $A$, $B$에 대하여 다음이 성립하며, 이를 각각 합집합에 대한 교환법칙, 교집합에 대한 교환법칙이라고 합니다. \[\begin{align*} A\cup B =& B \cup A\\ A\cap B =& B \cap A \end{align*}\]

결합법칙

일반적으로 세 집합 $A$, $B$, $C$에 대하여 다음이 성립하며, 이를 각각 합집합에 대한 결합법칙, 교집합에 대한 결합법칙이라고 합니다. \[\begin{align*} \left( A\cup B \right) \cup C &= A\cup \left( B\cup C \right) = A\cup B \cup C \\ \left( A\cap B \right) \cap C &= A\cap \left( B\cap C \right) = A\cap B \cap C \end{align*}\]

분배법칙

일반적으로 세 집합 $A$, $B$, $C$에 대하여 다음이 성립하며, 이를 집합의 연산에 대한 분배법칙이라고 합니다. \[\begin{align*} A \cap\left( B \cup C \right) &= \left( A \cap B \right) \cup \left( A\cap C \right) \\ A \cup\left( B \cap C \right) &= \left( A \cup B \right) \cap \left( A\cup C \right) \end{align*}\]

드모르간의 법칙

일반적으로 전체집합 $U$의 두 부분집합 $A$, $B$에 대하여 다음과 같은 연산법칙이 성립합니다. 이를 드모르간의 법칙이라고 합니다.4윗첨자 자리의 ${}^C$를 $A$, $B$에 각각 분배하고, 연산기호는 뒤집어준다고 생각하면 외우기 쉽습니다. \[\begin{align*} \left( A \cup B \right)^C &=A^C \cap B^C \\ \left( A \cap B \right)^C &=A^C \cup B^C \\ \end{align*}\]
  1. 1. 조건이라는 용어는 Zero 1.3)에서 배웁니다.
  2. 2. `속하고'라는 표현이 `그리고'로 바뀌는 것에 주목할 필요가 있습니다.
  3. 3. `속하거나'라는 표현이 `또는'으로 바뀌는 것에 주목할 필요가 있습니다.
  4. 4. 윗첨자 자리의 ${}^C$를 $A$, $B$에 각각 분배하고, 연산기호는 뒤집어준다고 생각하면 외우기 쉽습니다.