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실수 체계와 구간표기법

실수 체계

자연수 집합 $\mathbb{N}$과 정수 집합 $\mathbb{Z}$

자연수는 $1$, $2$, $3$, $4$, $\cdots$와 같은 수를 말합니다. 정수는 $\cdots$, $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, $\cdots$과 같은 수를 말합니다. 자연수 전체를 원소로 갖는 집합을 $\mathbb{N}$, 정수 전체를 원소로 갖는 집합을 $\mathbb{Z}$라 부릅니다.

유리수 집합 $\mathbb{Q}$

$n \in \mathbb{Z}$, $m \in \mathbb{Z}$이고 $n \ne 0$일 때, 유리수는 $\dfrac{m}{n}$의 꼴, 즉 두 정수의 분수꼴로 나타낼 수 있는 수를 말합니다. 유리수 전체를 원소로 갖는 집합을 $\mathbb{Q}$라 부릅니다. 이를 조건제시법으로 나타내면 다음과 같습니다. \[\begin{align*}\mathbb{Q} = \conset[\bigg]{\dfrac{m}{n}}{$n\in\left( \mathbb{Z}-\left\{ 0 \right\} \right) $이고 $m\in \mathbb{Z}$}\end{align*}\]

유리수는 정수와 정수가 아닌 유리수로 나뉩니다. 정수가 아닌 유리수는 기약분수1분수 $\dfrac{q}{p}$에서 $p$와 $q$의 최대공약수가 $1$인 경우, 즉 $p$와 $q$가 서로소인 경우입니다.로 나타내는 경우가 많습니다.

정수가 아닌 유리수는 유한소수와 순환소수로 나뉩니다. 유한소수는 $\dfrac{548}{1000}=0.548$과 같이 소수점 이후의 자리가 유한한 소수이고, 순환소수는 $\dfrac{1}{3}=0.33333\cdots=0.\dot3$, $\dfrac{919}{999}=0.919919919919\cdots=0.\dot91\dot9$, $\dfrac{53}{90}=0.5888\cdots=0.5\dot8$과 같이 소수점 이후의 일부 또는 전부의 자릿값이 규칙적으로 순환하는 무한소수입니다.2규칙적으로 순환하지 않는 무한소수는 비순환소수라 하며, 이는 무리수입니다.

무리수 집합 $\mathbb{I}$

$\pi = 3.141592\cdots$, $e = 2.7182818\cdots$와 같이 규칙적으로 순환하지 않는 무한소수를 비순환소수라 합니다. 모든 비순환소수는 무리수이고, 모든 무리수는 비순환소수입니다. 무리수의 집합을 $\mathbb{I}$라 부릅니다.3대학에서는 새로운 차집합 기호인 $\setminus$를 이용해 $\mathbb R \setminus \mathbb Q$라 표현하는 방법이 더 널리 쓰입니다.

실수 집합 $\mathbb{R}$

유리수와 무리수를 통틀어 실수라고 합니다. 실수 전체를 원소로 갖는 집합을 $\mathbb{R}$라 부릅니다. 이를 조건제시법으로 나타내면 다음과 같습니다. \[\begin{align*}\mathbb{R} = \conset{x}{$x\in \mathbb{Q} $ 또는 $x\in \mathbb{I}$}\end{align*}\]
수직선
실수 집합은 직선, 실수 집합의 원소는 그 직선 위의 한 점에 대응됩니다. 이렇게 실수를 나타내는 직선을 수직선이라 합니다.

실수를 바라보는 관점

정수의 여부 : 정수인가, 정수가 아닌가

주어진 실수 $x$가 정수일 때와 그렇지 않을 때는 다루는데 큰 차이가 두 가지 있습니다.

첫째, $x \in \mathbb Z$일 때에는 `$x$보다 큰 수 중에서 가장 작은 수'라는 개념과 `$x$보다 작은 수 중에서 가장 큰 수'라는 개념이 존재하지만, $x \in \mathbb R$일 때에는 존재하지 않습니다.

둘째, $x$의 범위가 한정되었을 때4예를 들어 $-10<x<10$인 $x$, $x\in \mathbb Z$인 정수 $x$의 개수는 몇 개 되지 않으므로 따져야 할 경우가 한정됩니다. 이에 반해 $x \in \mathbb R$인 실수 $x$의 개수는 무수히 많으므로, 특정한 경우별로 다룰 수는 없고 범위에 따라 다루어야 합니다.

이는 주어진 $x$가 `정수의 부분집합'의 원소일 때에도 마찬가지입니다. `$x \in \mathbb N$'과 같이 `$x$가 자연수'인 상황, `$x$가 $2$의 배수'인 상황, `$x$가 $3$으로 나누었을 때의 나머지가 $2$'인 상황 등에서도 `$x \in \mathbb Z$'인 상황과 동일한 개념을 생각할 수 있습니다.

부호에 따라 : 양수인가, 음수인가, $0$인가

수학에서는 주어진 실수의 부호가 중요한 경우가 굉장히 많습니다. 제곱할 때, 제곱근을 취할 때, 절댓값을 취할 때 부호에 주의해야 하는 것 또한 부호에 따라 그 값이 달라지기 때문입니다.

구간표기법

구간표기법이 필요한 이유

부등식의 해를 통해 어떤 실수인 변수가 취하는 범위를 나타낼 수 있습니다. 가령 $2$ 이상 $3$ 이하인 실수 $x$의 범위는 $2 \le x \le 3$입니다. 이 부등식의 해를 원소로 하는 집합 $X=\left\{x \mid 2 \le x \le 3\right\}$를 생각할 수도 있습니다.

그러나 매번 부등식이나 집합의 조건제시법으로 범위를 나타내기는 번거롭습니다. 부등식이나 집합 없이 간단하게 범위를 표현하기 위한 방법인 구간표기법을 배워봅시다.

범위의 양쪽 끝이 모두 제한되어 있을 때

위 그림과 같이 범위의 양쪽 끝이 각각 서로 다른 실수 $a$, $b$ ($a<b$)로 제한되어 있을 때, $a$ 또는 $b$의 포함 여부에 따라 다음과 같이 $4$가지의 범위를 생각할 수 있습니다. \[\begin{align*} a \le x \le b, \: &&a < x < b, \\ a \le x < b, \: &&a < x \le b \end{align*}\] 부등식 $a \le x \le b$를 만족하는 실수 $x$의 범위를 $\CCI{a}{b}$라 표기하고, 이를 `닫힌구간 에이 비'라 읽습니다. $a$를 구간의 왼쪽 끝, $b$를 \iterm구간의 오른쪽 끝이라고 부릅니다. 부등식 $a < x < b$를 만족하는 실수 $x$의 범위를 $\OOI{a}{b}$라 표기하고, 이를 `열린구간 에이 비'라 읽습니다. 같은 방법으로 $a \le x < b$, $a < x \le b$를 각각 $\COI{a}{b}$과 $\OCI{a}{b}$라 정의할 수 있습니다. 이 둘을 일컬어 반닫힌구간 또는 반열린구간이라고 합니다.5두 종류의 반닫힌(반열린) 구간에서, 둘 사이를 명확히 구분하는 용어(예 : `여닫힌구간', `닫열린구간')는 정의되어 있지 않습니다.

범위의 한쪽 끝만 제한되어 있을 때 \& 무한대 $\infty$의 정의

위 그림과 같이 범위의 한쪽 끝만 $a$로 제한되어 있을 때, $a$의 포함 여부에 따라 다음과 같이 $4$가지의 범위를 생각할 수 있습니다. \[\begin{align*} x > a, \: && x < a, \\ x \ge a, \: && x \le a \end{align*}\]
$x>a$가 나타내는 구간의 왼쪽은 열려 있고, 구간의 왼쪽 끝은 $a$임이 확실합니다. 그러나 구간의 오른쪽 끝을 실수로 표기할 수 없습니다. 구간을 $\OCI{a}{b}$라고 표기하면, 이 표기는 부등식 $x>a$와 동일한 범위를 나타내지 않습니다. $b<c$인 실수 $c$가 존재하는데, $c$는 부등식 $x > a$의 해이지만, 구간 $\OCI{a}{b}$에는 포함되지 않기 때문입니다.6이는 열린구간을 잡고 오른쪽 끝을 실수로 취했을 때에도 마찬가지입니다.

이 실수 $c$를 포함하기 위하여 구간을 $\OCI{a}{c}$로 잡더라도 마찬가지입니다. $c<d$인 실수 $d$를 생각하면 모순이 발생하기 때문입니다. 이와 같이 부등식으로 나타낸 특정 값 이상, 이하, 초과, 미만을 의미하는 실수 구간을 구간표기법으로 나타내는 것은 불가능합니다.7이해를 돕기 위해 구체적인 숫자를 넣어 생각해보는 것도 좋습니다. 구간의 오른쪽 끝을 $1$억으로 잡으면 $2$조를 포함하지 못하고, $2$조를 포함하기 위해 구간의 오른쪽 끝을 $3$조로 잡으면 $10$조를 포함하지 못하는 것처럼, 어떤 실수를 잡더라도 더 큰 수가 존재하고, 그 수를 포함할 수 없습니다.

따라서 $x>a$가 나타내는 범위를 표기하기 위하여 `어떤 실수와 비교해도 더 큰 것'을 의미하는 기호인 $\infty$를 도입하고, $\OOI{a}{\infty}$라 표기합니다. 마찬가지로 $x \le a$가 나타내는 범위를 표기하기 위하여 `어떤 실수와 비교해도 더 작은 것'을 의미하는 기호인 $-\infty$를 도입하고, $\OCI{-\infty}{a}$라 표기합니다. 그리고 $\infty$는 무한대 또는 양의 무한대, $-\infty$는 음의 무한대라 합니다.

주의할 점은, $\infty$와 $-\infty$는 절대로 실수가 아니라는 것입니다. 앞서 설명했듯 구간의 오른쪽 끝은 어떤 실수도 될 수 없으므로, $\infty$는 어떤 실수와도 같을 수 없습니다. 따라서 $\infty$는 실수가 아닙니다. $-\infty$ 또한 마찬가지입니다. 이를 달리 말하면, $\infty$와 $-\infty$는 $\mathbb{R}$의 원소가 아님에도 불구하고, $a \in \mathbb R$인 실수 $a$와 크기를 비교할 수 있는 특별한 개체8임의의 $a$에 대하여 $-\infty < a < \infty$입니다.라 할 수 있습니다.

실수 전체의 범위

지금까지 설명한 내용을 바탕으로 생각하면, 실수 전체의 범위를 나타내기 위해서 구간의 왼쪽 끝과 구간의 오른쪽 끝을 각각 $-\infty$, $\infty$로 하여 $\OOI{-\infty}{\infty}$라 표기하는 것이 자연스럽습니다.
  1. 1. 분수 $\dfrac{q}{p}$에서 $p$와 $q$의 최대공약수가 $1$인 경우, 즉 $p$와 $q$가 서로소인 경우입니다.
  2. 2. 규칙적으로 순환하지 않는 무한소수는 비순환소수라 하며, 이는 무리수입니다.
  3. 3. 대학에서는 새로운 차집합 기호인 $\setminus$를 이용해 $\mathbb R \setminus \mathbb Q$라 표현하는 방법이 더 널리 쓰입니다.
  4. 4. 예를 들어 $-10<x<10$인 $x$
  5. 5. 두 종류의 반닫힌(반열린) 구간에서, 둘 사이를 명확히 구분하는 용어(예 : `여닫힌구간', `닫열린구간')는 정의되어 있지 않습니다.
  6. 6. 이는 열린구간을 잡고 오른쪽 끝을 실수로 취했을 때에도 마찬가지입니다.
  7. 7. 이해를 돕기 위해 구체적인 숫자를 넣어 생각해보는 것도 좋습니다. 구간의 오른쪽 끝을 $1$억으로 잡으면 $2$조를 포함하지 못하고, $2$조를 포함하기 위해 구간의 오른쪽 끝을 $3$조로 잡으면 $10$조를 포함하지 못하는 것처럼, 어떤 실수를 잡더라도 더 큰 수가 존재하고, 그 수를 포함할 수 없습니다.
  8. 8. 임의의 $a$에 대하여 $-\infty < a < \infty$입니다.