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명제

참인지 거짓인지를 분명하게 판별할 수 있는 문장이나 식을 명제라고 합니다. 예를 들어 `$6$은 $2$의 배수이다'라는 문장과 $2 - 4 = 0$이라는 식은 명제입니다.

조건

`$x$는 $2$의 배수이다'라는 문장과 $x-4 = 0$이라는 식은 그 자체로는 명제가 아니지만, $x$의 값에 $4$를 대입하면 각각 참, 참이고, $x$의 값에 $6$을 대입하면 각각 참, 거짓이고, $x$의 값에 $5$를 대입하면 각각 거짓, 거짓입니다. 이와 같이 변수를 포함하는 문장이나 식이 변수의 값에 따라 참인지 거짓인지 결정될 때, 이러한 문장이나 식을 조건이라고 합니다.

조건의 진리집합

어떤 전체집합 $U$가 주어졌을 때, $U$의 원소 중에서 $p$라는 조건을 참이 되도록 하는 원소의 집합을 조건 $p$의 진리집합이라고 합니다. 집합의 조건제시법에서, 조건 $p$를 제시했을 때 얻는 집합이 바로 진리집합입니다.¹

명제의 부정

명제 $p$에 대하여 `$p$가 아니다'라는 명제를 `명제 $p$의 부정'이라고 하며 $\sim p$라 표기합니다. 이때 기호 $\sim$은 `낫'이라고 읽습니다. $p$가 참이면 $\sim p$는 거짓이고, $p$가 거짓이면 $\sim p$는 참입니다.

조건 $q$에 대하여 `$q$가 아니다'라는 조건을 `조건 $q$의 부정'이라고 하며 $\sim q$라 표기합니다. 전체집합 $U$에 대하여 $q$의 진리집합이 $Q$이면 $\sim q$의 진리집합은 $Q^C$입니다.

`모든'과 `어떤'

`모든'을 포함한 명제

`모든 $x$에 대하여 $p$이다'가 참이라는 것은 전체집합 $U$의 모든 원소 $x$에 대하여 조건 $p$가 참이라는 것(조건을 만족시킨다는 것)을 뜻합니다. `모든 $x$에 대하여 $p$이다'가 거짓이라는 것은 전체집합 $U$의 원소 중 조건 $p$를 참이 되게 하지 않는 원소가 적어도 하나 존재한다는 것을 뜻합니다. 따라서 조건 $p$의 진리집합이 $P$일 때, $P=U$이면 주어진 명제가 참이고, $P \ne U$이면 주어진 명제가 거짓입니다.

`어떤'을 포함한 명제

`어떤 $x$에 대하여 $p$이다'가 참이라는 것은 전체집합 $U$의 원소 중 조건 $p$를 참이 되게 하는 원소가 적어도 하나 존재한다는 것을 뜻합니다. `어떤 $x$에 대하여 $p$이다'가 거짓이라는 것은 전체집합 $U$의 원소 중 조건 $p$가 참이 되게 하는 원소가 하나도 존재하지 않는다는 것을 뜻합니다. 따라서 조건 $p$의 진리집합이 $P$일 때, $P \ne \emptyset$이면 주어진 명제가 참이고, $P =\emptyset$이면 주어진 명제가 거짓입니다.

`모든'과 `어떤'의 관계

`모든 $x$에 대하여 $p$이다'의 부정은 `어떤 $x$에 대하여 $\sim p$이다'이고, `어떤 $x$에 대하여 $p$이다'의 부정은 `모든 $x$에 대하여 $\sim p$이다'입니다.

가정과 결론으로 구성된 명제

진리집합이 각각 $P$, $Q$인 두 조건 $p$와 $q$를 `$p$이면 $q$이다.'의 꼴로 연결한 명제를 $p \longrightarrow q$라 표기하고, $p$를 가정, $q$를 결론이라고 합니다. 이때 기호 $\longrightarrow$는 `이면'이라고 읽습니다. $p \longrightarrow q$가 참이면 $P \subset Q$입니다. 역으로 $P \subset Q$이면 $p \longrightarrow q$는 참입니다. $p \longrightarrow q$가 거짓이면 $P \not\subset Q$입니다. 역으로 $P \not\subset Q$이면 $p \longrightarrow q$는 거짓입니다.

명제의 역과 대우

명제 $q \longrightarrow p$를 $p \longrightarrow q$의 역이라 합니다. 명제 $\sim q \longrightarrow \sim p$를 $p \longrightarrow q$의 대우라고 합니다. 명제가 참이면 대우도 참입니다.² 명제가 참이라고 해서 역이 참인 것은 아닙니다(참인 경우도 있고, 거짓인 경우도 있습니다).

정의, 증명, 정리

용어의 뜻을 명확하게 정한 문장을 정의라 합니다. 정의 혹은 이미 알려진 사실이나 성질을 이용하여 명제가 참 또는 거짓임을 밝히는 과정을 증명이라고 합니다. 또한 참으로 증명된 명제 중에서 기본이 되는 것, 여러 가지 성질을 증명할 때 자주 이용되는 것을 정리라고 합니다. 어떤 명제를 증명할 때에는 명제를 가정과 결론으로 나누어 생각하면 편리합니다.

대우를 이용한 증명법

명제를 증명하기 어려운 경우, 대우를 이용하여 증명하면 편리한 경우가 있습니다.

귀류법

가정에서 결론을 직접 이끌어내기 어렵지만, 명제를 부정하면 모순이 발생함을 보이는 것은 쉬운 경우가 있습니다. 이와 같이 명제의 부정에서 모순을 이끌어내어 원래 명제가 참임을 보이는 증명 방법을 귀류법이라고 합니다.

필요조건과 충분조건

$p \longrightarrow q$가 참이면 $p \Longrightarrow q$라 표기합니다. 이때 기호 $\Longrightarrow$는 `임플라이' 또는 `이면'이라고 읽습니다. 이때 $p$는 $q$이기 위한 충분조건, $q$는 $p$이기 위한 필요조건이라고 합니다.

$p \Longrightarrow q$이고 $q \Longrightarrow p$일 때, $p \Longleftrightarrow q$라 표기하고, $p$는 $q$이기 위한 필요충분조건이라고 합니다. 이때 기호 $\Longleftrightarrow$는 `이퀴발란트' 또는 `필요충분조건'이라고 읽습니다. 이때 두 조건의 진리집합은 서로 같습니다.

1. 조건은 알파벳 소문자로, 진리집합은 알파벳 대문자로 짝지어 표기합니다. 즉, 조건 $p$의 진리집합은 $P$, 조건 $q$의 진리집합은 $Q$입니다.
2. 진리집합의 포함관계를 통해 알 수 있습니다.