Zero) 용어와 개념 > 함수 이전의 기본 개념
여러 가지 식
등식
등호와 수, 식을 이용하여 두 수, 수와 식, 식과 식이 서로 같음을 표현하는 식을 등식이라고 합니다.1등식의 성질은 이 책에서 설명하지 않고 생략합니다. 등식에는 항등식과 방정식이 있습니다. 방정식은 뒤에서 다루고, 먼저 항등식을 다루어 봅시다.항등식
$x$에 대한 항등식은 식의 $x$에 대입할 수 있는 모든 실수 $x$에 대하여 항상 성립하는 등식입니다. 각 변이 $x$에 대한 다항식인 항등식을 정리하면 $0 = 0$꼴이 됩니다. 각 변이 $x$에 대한 다항식인 어떤 등식이 항등식이라면 각 변에서 차수가 같은 항의 계수가 서로 같음을 이용하거나, 식을 간단히 만드는 적당한 값을 대입하여 풀이하면 됩니다.다항식의 연산
덧셈, 뺄셈, 곱셈(전개)의 방법에 대한 서술은 생략합니다. 이 방법을 학습한 후 이 책을 공부하기를 권합니다.곱셈 공식과 인수분해 공식
곱셈 공식을 통해 좌변에서 우변을 얻을 수 있고, 인수분해 공식을 통해 우변에서 좌변을 얻을 수 있습니다.- $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
- $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
- $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
- $(x+a)(x+b)=x^2 + (a+b)x+ab$
- $(ax+b)(cx+d)=acx^2 + (ad+bc)x + bd$
- $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
- $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
- $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3$
- $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3 - b^3$
- $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$
다항식의 나눗셈부터 인수정리까지
나눗셈의 방법과 조립제법에 대한 서술은 생략합니다.나눗셈에 대한 항등식
다항식 $A$를 $0$이 아닌 다항식 $B$로 나누었을 때의 몫을 $Q$, 나머지를 $R$라고 하면 다음이 성립합니다.2만약 $B$가 상수라면 $R$도 상수입니다. \[\begin{align*} A=BQ+R \quad \text{ (단, $R$의 차수는 $B$의 차수보다 낮음)} \end{align*}\]나머지정리
나눗셈에 대한 항등식을 이용하여 다항식 $f\left( x \right) $를 일차식 $x-a$로 나누었을 때의 몫을 $Q\left( x \right) $, 상수인 나머지를 $r$라고 하면 다음이 성립합니다. \[\begin{align*} f\left( x \right) =\left( x-a \right)Q\left( x \right) +r\end{align*}\] 이때 양변에 $x=a$를 대입하면 $f\left( a \right) = r$입니다. 이를 나머지정리라고 합니다.나머지정리는 `다항함수의 함숫값을 해석하는 새로운 관점'을 제시한다는 점에서 의미를 가집니다. 예를 들어, 기존에는 다항함수 $f\left( x \right) $의 함숫값 $f\left( 3 \right) $을 구하기 위해서는 다항식에 포함된 각 항에 $x=3$을 대입하여 그 값을 계산해야 했고, 그 값에서 특별한 의미를 찾기 힘들었습니다. 그러나 이제는 함수 $f(x)$를 다음과 같이 재해석할 수 있습니다.
함수 $(x-a)Q(x)$를 $y$축 방향으로 $r$만큼 평행이동하여 얻은 함수
이는 함수의 극한이나 미적분과 연계되어 다양한 해석과 풀이의 실마리를 제공하기도 합니다.3자세한 내용은 Basic 3.3)에서 다룹니다.
인수정리
나머지정리에서 $r=0$이면, 즉 $f\left( a \right) =0$이면 $f(x)$가 $x-a$로 나누어떨어집니다. 역으로, $f(x)$가 $x-a$로 나누어떨어지면 $r=0$이므로 $f\left( a \right) =0$입니다. 이를 인수정리라 합니다.인수정리는 `다항식을 세련된 방식으로 인수분해하는 방법'을 제시한다는 점에서 의미를 가집니다. 나머지정리와 마찬가지로, 인수정리도 함수의 극한이나 미적분과 연계되어 다양한 해석과 풀이의 실마리를 제공하기도 합니다.4자세한 내용은 Basic 3.3)에서 다룹니다.
방정식
$x$의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 $x$에 대한 등식을 방정식이라고 합니다. 이때 $x$를 미지수라 하며, 이 방정식을 참이 되게 하는 $x$를 해 또는 근이라고 합니다.일차방정식
미지수에 대한 일차 다항식으로 구성된 방정식을 일차방정식이라고 합니다. 적절히 이항하여 근을 구할 수 있습니다.이차방정식의 근과 판별식
미지수에 대한 이차 다항식으로 구성된 방정식을 이차방정식이라고 합니다. 각 항의 계수가 실수인 이차방정식 $ax^2 + bx + c=0\: (a\ne 0)$의 두 근은 다음과 같습니다. \[\begin{align*} x= \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*}\] 이때 $b^2 - 4ac \ge 0$이면 $\sqrt{b^2 - 4ac}$는 실수이고, $b^2 - 4ac < 0$이면 허수5허수 및 복소수는 일반적인 교양 수학에서는 비중이 크지 않으므로 Zero에 수록하지 않았습니다. 복소수에 관한 내용은 교과서 개념을 이해하고, 교과서에 주어지는 기본 문제를 풀이할 수 있으면 충분합니다.입니다. 따라서 계수가 실수인 이차방정식은 복소수의 범위에서 반드시 근을 가지며, 실수인 근을 실근, 허수인 근을 허근이라고 합니다. 이와 같이 $b^2 - 4ac$는 이차방정식의 근을 판별해주는 역할을 하므로 판별식($D$)이라 합니다.고차방정식과 연립방정식
미지수에 대한 삼차 이상의 다항식으로 구성된 방정식을 고차방정식이라 합니다. 인수분해가 가능한 식은 인수분해하여 풀이할 수 있습니다. 그렇지 않은 고차방정식은 미분을 배운 후 제한적으로 풀이할 수 있습니다.둘 이상의 방정식을 연립한 것을 연립방정식이라고 합니다. 연립방정식은 대입/가감 등을 이용하여 미지수를 적절히 소거하여 풀이합니다.
부등식
부등호 $<$, $>$, $\le$, $\ge$을 이용하여 두 수, 수와 식, 식과 식의 크기를 비교하는 식을 부등식이라고 합니다. 어떤 부등식이 마치 방정식처럼 $x$의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 할 때, 그 부등식을 `$x$에 대한 부등식'이라고 합니다. 이때 $x$를 미지수라 하며, 이 부등식을 참이 되게 하는 $x$를 해라고 합니다.6방정식에서는 근과 해가 두루 쓰이지만, 부등식에서는 근이라는 표현을 거의 쓰지 않습니다.일차부등식
적절히 이항하여 해를 구할 수 있습니다.이차부등식의 근과 판별식
이차부등식의 풀이는 단순 암기를 넘어, 수식과 그래프를 넘나드는 복합적 이해를 통해 숙지해야 합니다. 따라서 Graph 0)에서 다룹니다.고차부등식과 연립부등식
삼차 이상의 부등식을 고차부등식이라 합니다. 인수분해가 가능한 식은 인수분해하여 풀이할 수 있습니다. 그렇지 않은 고차부등식은 미분을 배운 후 제한적으로 풀이할 수 있습니다.둘 이상의 부등식을 연립한 것을 연립부등식이라고 합니다. 연립부등식은 각각의 부등식의 해를 구한 후, 모든 부등식의 공통해를 취하여 풀이합니다.